Эллиптические функции Якоби — это набор основных эллиптических функций комплексного переменного и вспомогательных тета-функций, которые имеют прямое отношение к некоторым прикладным задачам (например, уравнение маятника). Они также имеют полезные аналогии с тригонометрическими функциями, как показывает соответствующее обозначение ${\displaystyle \operatorname {\mathrm {sn} } }$ для ${\displaystyle \sin }$. Они не дают самый простой способ развить общую теорию, как замечено недавно: это может быть сделано на основе эллиптических функций Вейерштрасса. Эллиптические функции Якоби имеют в основном параллелограмме по два простых полюса и два простых нуля.

Существует эллиптическая функция, имеющая в основном параллелограмме один полюс второго порядка и два простых нуля; это — «эллиптическая функция Вейерштрасса». Впрочем, более полезны «эллиптические функции Якоби», имеющие по два простых полюса и по два простых нуля в каждом основном параллелограмме. Каждая из этих функций в основном параллелограмме принимает любое значение в точности два раза.

Для эллиптических функций можно встретить разнообразные обозначения, которые могут запутать суть дела. Эллиптические функции — функции двух переменных. Первую переменную можно дать в терминах амплитуды ${\displaystyle \varphi }$, или обычно, в терминах ${\displaystyle u}$, данного ниже. Вторую переменную можно было бы дать в терминах параметра ${\displaystyle m}$, или как эллиптический модуль ${\displaystyle k}$, где ${\displaystyle k^{2}=m}$, или в терминах модулярного угла ${\displaystyle {\mbox{æ))}$, где ${\displaystyle m=\sin ^{2}{\mbox{æ))}$.

Приведённое выше определение в терминах мероморфных функций абстрактно. Существует более простое, но абсолютно эквивалентное определение, задающее эллиптические функции как обратные к неполному эллиптическому интегралу первого рода. Пусть

${\displaystyle u=\int \limits _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta ))}.}$

Эллиптическая функция ${\displaystyle \operatorname {sn} u}$ задаётся как

${\displaystyle \operatorname {sn} u=\sin \varphi }$

и ${\displaystyle \operatorname {cn} u}$ определяется

${\displaystyle \operatorname {cn} u=\cos \varphi ,}$

а

${\displaystyle \operatorname {dn} u={\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi )).}$

Здесь угол ${\displaystyle \varphi }$ называется амплитудой. ${\displaystyle \operatorname {dn} u=\Delta (u)}$ называется дельта амплитудой. Значение ${\displaystyle m}$ является свободным параметром, который полагается реальным в диапазоне ${\displaystyle 0\leqslant m\leqslant 1}$, и таким образом эллиптические функции являются функциями двух аргументов: амплитуды ${\displaystyle \varphi }$ и параметра ${\displaystyle m}$.

Оставшиеся девять эллиптических функций легко построить из трёх вышеприведённых. Это будет сделано ниже.

Заметьте, что когда ${\displaystyle \varphi =\pi /2}$, то ${\displaystyle u}$ равен четверти периода ${\displaystyle K}$.

Эквивалентно эллиптические функции Якоби можно определить в терминах θ-функций. Если мы определим ${\displaystyle \vartheta (0;\;\tau )}$ как ${\displaystyle \vartheta }$, и ${\displaystyle \vartheta _{01}(0;\;\tau ),\vartheta _{10}(0;\;\tau ),\;\vartheta _{11}(0;\;\tau )}$ соответственно как ${\displaystyle \vartheta _{01},\;\vartheta _{10},\;\vartheta _{11))$ (тета константы) тогда эллиптический модуль ${\displaystyle k}$ равен ${\displaystyle k=\left({\frac {\vartheta _{10)){\vartheta ))\right)^{2))$. Полагая ${\displaystyle u=\pi \vartheta ^{2}z}$, получим

${\displaystyle \operatorname {sn} (u;\;k)=-{\frac {\vartheta \vartheta _{11}(z;\;\tau )}{\vartheta _{10}\vartheta _{01}(z;\;\tau ))),}$

${\displaystyle \operatorname {cn} (u;\;k)={\frac {\vartheta _{01}\vartheta _{10}(z;\;\tau )}{\vartheta _{10}\vartheta _{01}(z;\;\tau ))),}$

${\displaystyle \operatorname {dn} (u;\;k)={\frac {\vartheta _{01}\vartheta (z;\;\tau )}{\vartheta \vartheta _{01}(z;\;\tau ))).}$

Поскольку функции Якоби определяются в терминах эллиптического модуля ${\displaystyle k(\tau )}$, необходимо найти обратные к ним и выразить ${\displaystyle \tau }$ в терминах ${\displaystyle k}$. Начнём с дополнительного модуля ${\displaystyle k'={\sqrt {1-k^{2))))$. Как функция ${\displaystyle \tau }$ запишем

${\displaystyle k'(\tau )=\left({\frac {\vartheta _{01)){\vartheta ))\right)^{2}.}$

Введём обозначение

${\displaystyle \ell ={\frac {1}{2)){\frac {1-{\sqrt {k'))}{1+{\sqrt {k'))))={\frac {1}{2)){\frac {\vartheta -\vartheta _{01)){\vartheta +\vartheta _{01))}.}$

Определим также ном ${\displaystyle q}$ как ${\displaystyle q=\exp(\pi i\tau )}$ и разложим ${\displaystyle \ell }$ в ряд по степеням нома ${\displaystyle q}$. Получим

${\displaystyle \ell ={\frac {q+q^{9}+q^{25}+\ldots }{1+2q^{4}+2q^{16}+\ldots )).}$

Обращение ряда даёт

${\displaystyle q=\ell +2\ell ^{5}+15\ell ^{9}+150\ell ^{13}+1707\ell ^{17}+20910\ell ^{21}+268616\ell ^{25}+\ldots }$

Поскольку мы можем рассмотреть частный случай когда мнимая часть ${\displaystyle \tau }$ больше или равна ${\displaystyle {\sqrt {3))/2}$, мы можем сказать, что значение ${\displaystyle q}$ меньше или равно ${\displaystyle \exp(-\pi {\sqrt {3))/2)}$. Для таких малых значений вышеприведённый ряд сходится очень быстро, и это позволяет легко найти подходящее значение для ${\displaystyle q}$.

Изменением порядка двух букв в названии функций обычно обозначают обратные к трём функциям приведённых выше:

${\displaystyle \operatorname {ns} (u)=1/\operatorname {sn} (u),}$

${\displaystyle \operatorname {nc} (u)=1/\operatorname {cn} (u),}$

${\displaystyle \operatorname {nd} (u)=1/\operatorname {dn} (u).}$

Отношения трёх главных функций обозначают первой буквой числителя, следующей перед первой буквой знаменателя:

${\displaystyle \operatorname {sc} (u)=\operatorname {sn} (u)/\operatorname {cn(u)} ,}$

${\displaystyle \operatorname {sd} (u)=\operatorname {sn} (u)/\operatorname {dn(u)} ,}$

${\displaystyle \operatorname {dc} (u)=\operatorname {dn} (u)/\operatorname {cn(u)} ,}$

${\displaystyle \operatorname {ds} (u)=\operatorname {dn} (u)/\operatorname {sn(u)} ,}$

${\displaystyle \operatorname {cs} (u)=\operatorname {cn} (u)/\operatorname {sn(u)} ,}$

${\displaystyle \operatorname {cd} (u)=\operatorname {cn} (u)/\operatorname {dn(u)} .}$

Более кратко запишем

${\displaystyle \operatorname {pq} (u)={\frac {\operatorname {pr} (u)}{\operatorname {qr(u)} )),}$

где все буквы ${\displaystyle \operatorname {p} }$, ${\displaystyle \operatorname {q} }$, и ${\displaystyle \operatorname {r} }$ являются любыми буквами ${\displaystyle \operatorname {s} }$, ${\displaystyle \operatorname {c} }$, ${\displaystyle \operatorname {d} }$, ${\displaystyle \operatorname {n} }$ (следует помнить, что ${\displaystyle \operatorname {ss} =\operatorname {cc} =\operatorname {dd} =\operatorname {nn} =1}$).

Функции удовлетворяют двум алгебраическим соотношениям

${\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}+\operatorname {sn} ^{2}=1,}$

${\displaystyle \operatorname {dn} ^{2}+k^{2}\operatorname {sn} ^{2}=1.}$

Видно, что (${\displaystyle \operatorname {cn} }$, ${\displaystyle \operatorname {sn} }$, ${\displaystyle \operatorname {dn} }$) параметризует эллиптическую кривую, которая является пересечением двух квадрик определённой вышеупомянутыми двумя уравнениями. Мы теперь можем определить групповой закон для точек на этой кривой с помощью дополнительных формул для функций Якоби

${\displaystyle \operatorname {cn} (x+y)={\frac {\operatorname {cn} (x)\,\operatorname {cn} (y)-\operatorname {sn} (x)\,\operatorname {sn} (y)\,\operatorname {dn} (x)\,\operatorname {dn} (y)}{1-k^{2}\,\operatorname {sn} ^{2}(x)\,\operatorname {sn} ^{2}(y))),}$

${\displaystyle \operatorname {sn} (x+y)={\frac {\operatorname {sn} (x)\,\operatorname {cn} (y)\,\operatorname {dn} (y)+\operatorname {sn} (y)\,\operatorname {cn} (x)\,\operatorname {dn} (x)}{1-k^{2}\,\operatorname {sn} ^{2}(x)\,\operatorname {sn} ^{2}(y))),}$

${\displaystyle \operatorname {dn} (x+y)={\frac {\operatorname {dn} (x)\,\operatorname {dn} (y)-k^{2}\,\operatorname {sn} (x)\,\operatorname {sn} (y)\,\operatorname {cn} (x)\,\operatorname {cn} (y)}{1-k^{2}\,\operatorname {sn} ^{2}(x)\,\operatorname {sn} ^{2}(y))).}$

• Если ${\displaystyle m=1}$, то

${\displaystyle u=\int \limits _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}{\theta ))))=\operatorname {ln} \left({\frac {1}{\cos \varphi ))-\operatorname {tg} \varphi \right).}$

Отсюда

${\displaystyle \sin \varphi =\operatorname {sn} \,u={\frac {e^{2u}-1}{e^{2u}+1))=\operatorname {th} \,u.}$

Отсюда

${\displaystyle \operatorname {cn} \,u={\sqrt {1-\operatorname {sn} ^{2}\,u))={\frac {1}{\operatorname {ch} \,u))}$

и

${\displaystyle \operatorname {dn} \,u={\sqrt {1-\operatorname {sn} ^{2}\,u))={\frac {1}{\operatorname {ch} \,u)).}$

Таким образом, при ${\displaystyle m=1}$ эллиптические функции вырождаются в гиперболические.

• Если ${\displaystyle m=0}$, то

${\displaystyle u=\int \limits _{0}^{\varphi }d\theta =\varphi .}$

Отсюда

${\displaystyle \sin \varphi =\sin \,u=\operatorname {sn} \,u,}$

а также

${\displaystyle \operatorname {cn} \,u=\cos \,u,}$

${\displaystyle \operatorname {dn} \,u=1.}$

Таким образом, при ${\displaystyle m=0}$ эллиптические функции вырождаются в тригонометрические.

Для квадратов этих функций верны следующие соотношения

${\displaystyle -\operatorname {dn} ^{2}(u)+m_{1}=-m\;\operatorname {cn} ^{2}(u)=m\;\operatorname {sn} ^{2}(u)-m,}$

${\displaystyle -m_{1}\;\operatorname {nd} ^{2}(u)+m_{1}=-mm_{1}\;\operatorname {sd} ^{2}(u)=m\;\operatorname {cd} ^{2}(u)-m,}$

${\displaystyle m_{1}\;\operatorname {sc} ^{2}(u)+m_{1}=m_{1}\;\operatorname {nc} ^{2}(u)=\operatorname {dc} ^{2}(u)-m,}$

${\displaystyle \operatorname {cs} ^{2}(u)+m_{1}=\operatorname {ds} ^{2}(u)=\operatorname {ns} ^{2}(u)-m,}$

где ${\displaystyle m+m_{1}=1}$ и ${\displaystyle m=k^{2))$.

Дополнительные равенства для квадратов можно получить если заметить, что ${\displaystyle \operatorname {pq} ^{2}\cdot \operatorname {qp} ^{2}=1}$, а также ${\displaystyle \operatorname {pq} =\operatorname {pr} /\operatorname {qr} }$, где ${\displaystyle \operatorname {p} }$, ${\displaystyle \operatorname {q} }$, ${\displaystyle \operatorname {r} }$ — любые буквы ${\displaystyle \operatorname {s} }$, ${\displaystyle \operatorname {c} }$, ${\displaystyle \operatorname {d} }$, ${\displaystyle \operatorname {n} }$ и ${\displaystyle \operatorname {ss} =\operatorname {cc} =\operatorname {dd} =\operatorname {nn} =1}$.

Пусть ном равен ${\displaystyle q=\exp(-\pi K'/K)}$ и пусть аргумент — ${\displaystyle v=\pi u/(2K)}$. Тогда функции можно представить в виде сумм Ламберта

${\displaystyle \operatorname {sn} (u)={\frac {2\pi }{K{\sqrt {m))))\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2)){1-q^{2n+1))}\sin(2n+1)v,}$

${\displaystyle \operatorname {cn} (u)={\frac {2\pi }{K{\sqrt {m))))\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2)){1+q^{2n+1))}\cos(2n+1)v,}$

${\displaystyle \operatorname {dn} (u)={\frac {\pi }{2K))+{\frac {2\pi }{K))\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n)){1+q^{2n))}\cos 2nv.}$

Производные трёх основных эллиптических функций Якоби записываются в виде:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z))\,\mathrm {sn} \,(z;\;k)=\mathrm {cn} \,(z;\;k)\,\mathrm {dn} \,(z;\;k),}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z))\,\mathrm {cn} \,(z;\;k)=-\mathrm {sn} \,(z;\;k)\,\mathrm {dn} \,(z;\;k),}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z))\,\mathrm {dn} \,(z;\;k)=-k^{2}\mathrm {sn} \,(z;\;k)\,\mathrm {cn} \,(z;\;k).}$

Используя теорему, формулировка которой приведена выше получим для заданного ${\displaystyle k}$ (${\displaystyle 0<k<1}$) уравнения решениями которых являются эллиптические функции Якоби:

• ${\displaystyle \mathrm {sn} \,(x;\;k)}$ является решением уравнения ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2))}+(1+k^{2})y-2k^{2}y^{3}=0}$ и ${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x))\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2}y^{2});}$

• ${\displaystyle \mathrm {cn} \,(x;\;k)}$ является решением уравнения ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2))}+(1-2k^{2})y+2k^{2}y^{3}=0}$ и ${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x))\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2}+k^{2}y^{2});}$

• ${\displaystyle \mathrm {dn} \,(x;\;k)}$ является решением уравнения ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2))}-(2-k^{2})y+2y^{3}=0}$ и ${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x))\right)^{2}=(y^{2}-1)(1-k^{2}-y^{2}).}$

• Weisstein, Eric W. Jacobi Elliptic Functions (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Эллиптические функции (недоступная ссылка) — Процедуры для Matlab

• Бобылёв Д. К. Эллиптические интегралы и функции // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (англ.). — New York: Dover, 1972. See Chapter 16

• Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций (неопр.). — М.: Наука, 1970.

• Ватсон Дж. Н., Уиттекер Э. Т. Курс современного анализа. Часть 2. Трансцендентные функции (рус.). — М.: Мир, 1963. или Москва: УРСС, 2010

Кривые
Определения	Аналитическая Жордана Канторова Урысона Уникурсальная Рациональная нормальная Овал Овоид Длина Кривизна
Преобразованные	Эволюта Эвольвента окружности Подера Антиподера Параллельная (эквидистанта) Двойственная Конхоида Никомеда, Слюза Инверсия Циссоида
Неплоские	Вивиани Винтовая линия Линия откоса Локсодрома Ортодромия Пространственная кардиоида Клелия
Плоские алгебраические	Конические сечения Гипербола Парабола Эллипс Окружность Прямая 3-й порядок (Кубика) Эллиптические Эллиптическая кривая Эллиптические функции Якоби Эллиптический интеграл Эллиптические функции Другие Аньезиана Декартов лист Трисектриса Маклорена Чирнгауза Офиурида Строфоида Полукубическая парабола Трезубец Циссоида Диокла 4-й порядок Каппа Кардиоида Уатта Персея Овал Декарта Лемнискаты Бернулли Овал Кассини Бута Жероно Аппроксимационные Сплайн B-сплайн Кубический Моносплайн Сглаживающий Совершенный Эрмита Безье Циклоидальные Кардиоида Нефроида Дельтоида Астроида Улитка Паскаля Другие Кривая Ферма
Плоские трансцендентные	Спирали Архимедова Ферма Галилея Гиперболическая «Жезл» Золотая Клотоида Логарифмическая Синусоидальная Циклоидальные Трохоида Циклоида Эпитрохоида Эпициклоида Гипотрохоида Гипоциклоида Квазитрохоида «Роза» Квадрифолий Скорейшего спуска (брахистохрона, дуга циклоиды) Другие Квадратриса Кохлеоида Погони Трактриса Трохоида Цепная линия перевёрнутая арочная Постоянной ширины Синусоида Рибокура Суперформула Суперэллипс Треугольник Рёло многоугольник Фигуры Лиссажу
Фрактальные	Простые Гильберта Госпера Кривая дракона Коха Леви Минковского Пеано Серпинского Топологические Салфетка Серпинского Ковёр Серпинского Губка Менгера Круговой фрактал Ковёр Аполлония