Циссоида Диокла — плоская алгебраическая кривая третьего порядка. В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по ${\displaystyle OX}$, а ось ординат по ${\displaystyle OY}$, на отрезке ${\displaystyle OA=2a}$, как на диаметре строится вспомогательная окружность. В точке ${\displaystyle A}$ проводится касательная ${\displaystyle UV}$. Из точки ${\displaystyle O}$ проводится произвольная прямая ${\displaystyle OF}$, которая пересекает окружность в точке ${\displaystyle E}$ и касательную в точке ${\displaystyle F}$. От точки ${\displaystyle F}$, в направлении точки ${\displaystyle O}$, откладывается отрезок ${\displaystyle FM}$, длина которого равна длине отрезка ${\displaystyle OE}$. При вращении линии ${\displaystyle OF}$ вокруг точки ${\displaystyle O}$, точка ${\displaystyle M}$ описывает линию, которая называется Циссоида Диокла. Две ветви этой линии на рис. 1 показаны синим и красным цветами.

Уравнение циссоиды в прямоугольной системе координат записывается так:

${\displaystyle y^{2}={\frac {x^{3)){2a-x)).\qquad \qquad (1)}$

Уравнение циссоиды в полярной системе координат:

${\displaystyle \rho ={\frac {2a\sin ^{2}\varphi }{\cos \varphi )).}$

Иногда уравнение циссоиды в полярной системе координат записывают так:

${\displaystyle \rho ={\frac {2a\left(1-\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi ))=}$

${\displaystyle =2a\left({\frac {1}{\cos \varphi ))-\cos \varphi \right)=}$

${\displaystyle =2a\left(\sec \varphi -\cos \varphi \right).}$

Параметрическое уравнение циссоиды:

${\displaystyle x={\frac {2au^{2)){1+u^{2))},}$ ${\displaystyle y={\frac {2au^{3)){1+u^{2))},}$

где

${\displaystyle u=\mathrm {tg} \,\varphi }$.

Впервые циссоиду исследовал греческий математик Диокл во II веке до н. э. Диокл строил кривую так: находится точка ${\displaystyle P}$, которая расположена на вспомогательной окружности симметрично точке ${\displaystyle E}$; ось симметрии — диаметр ${\displaystyle BD}$. Из точки ${\displaystyle P}$ проводится перпендикуляр к оси абсцисс. Точка ${\displaystyle M}$, принадлежащая циссоиде, находится на пересечении этого перпендикуляра и прямой ${\displaystyle OE}$. Этим методом Диокл построил только кривую ${\displaystyle DOB}$ внутри вспомогательной окружности. Если эту часть циссоиды (${\displaystyle DOB}$) замкнуть дугой окружности ${\displaystyle EAD}$, то получается фигура, напоминающая своей формой лист плюща. По-гречески плющ — κισσός («киссос»), от чего и произошло название кривой — «Циссоида».

В современном виде циссоиду воспроизвел французский математик Жиль Роберваль в 1640 году. Позднее циссоиду также исследовал голландский математик Слюз.

• Циссоида симметрична относительно оси абсцисс.
• Циссоида пересекает вспомогательную окружность в точках ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle D}$, которые принадлежат диаметру этой окружности.
• Циссоида имеет один касп и асимптоту ${\displaystyle UV}$, уравнение которой: ${\displaystyle x=2a}$, где ${\displaystyle a}$ — радиус вспомогательной окружности.
• Циссоида является эвольвентой параболы с каспом в вершине параболы. При этом директриса параболы является асимптотой циссоиды.^[1]

Эта площадь равна:

${\displaystyle S_{1}=3\pi a^{2}.}$

Объём (${\displaystyle V_{1))$) тела, образованного при вращении ветви ${\displaystyle OL}$ вокруг оси абсцисс, рассчитывается так:

${\displaystyle V_{1}=\pi \int \limits _{0}^{2a}{\frac {x^{3)){2a-x))\,dx=}$

${\displaystyle =\pi \int \limits _{0}^{2a}\left(-x^{2}-2ax-4a^{2}+{\frac {8a^{3)){2a-x))\right)\,dx=}$

${\displaystyle =\left.-{\frac {44\pi a^{3)){3))-8\pi a^{3}(\ln(2a-x))\right|_{0}^{2a}.}$

Если ${\displaystyle x\to 2a}$, то ${\displaystyle \ln(2a-x)\to -\infty }$, то есть ${\displaystyle V_{1}\to \infty }$.

• Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство). — Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960. — 293 с.
• Смогоржевский А.С., Столова Е.С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. — Москва: Физматгиз, 1961. — 263 с.

• J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. — Dover Publications, 1972. — 53—56 с. — ISBN 0-486-60288-5.
• Brieskorn E., Knörrer H. Ebene algebraische Kurven. Basel: Birkhäuser, 1981. 721 p.

Кривые
Определения	Аналитическая Жордана Канторова Урысона Уникурсальная Рациональная нормальная Овал Овоид Длина Кривизна
Преобразованные	Эволюта Эвольвента окружности Подера Антиподера Параллельная (эквидистанта) Двойственная Конхоида Никомеда, Слюза Инверсия Циссоида
Неплоские	Вивиани Винтовая линия Линия откоса Локсодрома Ортодромия Пространственная кардиоида Клелия
Плоские алгебраические	Конические сечения Гипербола Парабола Эллипс Окружность Прямая 3-й порядок (Кубика) Эллиптические Эллиптическая кривая Эллиптические функции Якоби Эллиптический интеграл Эллиптические функции Другие Аньезиана Декартов лист Трисектриса Маклорена Чирнгауза Офиурида Строфоида Полукубическая парабола Трезубец Циссоида Диокла 4-й порядок Каппа Кардиоида Уатта Персея Овал Декарта Лемнискаты Бернулли Овал Кассини Бута Жероно Аппроксимационные Сплайн B-сплайн Кубический Моносплайн Сглаживающий Совершенный Эрмита Безье Циклоидальные Кардиоида Нефроида Дельтоида Астроида Улитка Паскаля Другие Кривая Ферма
Плоские трансцендентные	Спирали Архимедова Ферма Галилея Гиперболическая «Жезл» Золотая Клотоида Логарифмическая Синусоидальная Циклоидальные Трохоида Циклоида Эпитрохоида Эпициклоида Гипотрохоида Гипоциклоида Квазитрохоида «Роза» Квадрифолий Скорейшего спуска (брахистохрона, дуга циклоиды) Другие Квадратриса Кохлеоида Погони Трактриса Трохоида Цепная линия перевёрнутая арочная Постоянной ширины Синусоида Рибокура Суперформула Суперэллипс Треугольник Рёло многоугольник Фигуры Лиссажу
Фрактальные	Простые Гильберта Госпера Кривая дракона Коха Леви Минковского Пеано Серпинского Топологические Салфетка Серпинского Ковёр Серпинского Губка Менгера Круговой фрактал Ковёр Аполлония