Рациональная нормальная кривая — гладкая рациональная кривая степени^[англ.] n в n-мерном проективном пространстве ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}.}$ Она является одним из сравнительно простых проективных многообразий, более формально, она является образом вложения Веронезе, применённого к проективной прямой.

Рациональная нормальная кривая может быть задана параметрически как образ отображения

${\displaystyle \nu :\mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{n))$

которое переводит точку с однородными координатами ${\displaystyle [s:t]}$ в точку

${\displaystyle [s^{n}:s^{n-1}t:s^{n-2}t^{2}:\ldots :t^{n}].}$

В аффинной карте ${\displaystyle x_{0}=1}$ это отображение записывается более простым образом:

${\displaystyle \nu :x\mapsto (x,x^{2},\ldots ,x^{n}).}$

Нетрудно видеть, что рациональная нормальная кривая получается замыканием аффинной кривой ${\displaystyle (x,x^{2},\dots ,x^{n})}$ при помощи единственной бесконечно удалённой точки^[англ.].

Эквивалентным образом, рациональную нормальную кривую можно задать как множество общих нулей однородных многочленов

${\displaystyle F_{i,j}(x_{0},\ldots ,x_{n})=x_{i}x_{j}-x_{i+1}x_{j-1},}$

где ${\displaystyle [x_{0}:\ldots :x_{n}]}$ — однородные координаты на ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n))$. Рассматривать все эти многочлены не обязательно, для задания кривой достаточно выбрать, например, ${\displaystyle F_{i,i))$ и ${\displaystyle F_{1,n-1}.}$

Пусть ${\displaystyle [a_{i}:b_{i}]}$ — ${\displaystyle n+1}$ различных точек на ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}.}$ Тогда многочлен

${\displaystyle G(s,t)=\Pi _{i=0}^{n}(a_{i}s-b_{i}t)}$

является однородным многочленом степени ${\displaystyle n+1}$ с различными корнями. Многочлены

${\displaystyle H_{i}(s,t)={\frac {G(s,t)}{(a_{i}s-b_{i}t)))}$

образуют базис пространства однородных многочленов степени n. Отображение

${\displaystyle [s:t]\mapsto [H_{0}(s,t):H_{1}(s,t):\ldots :H_{n}(s,t)]}$

также задаёт рациональную нормальную кривую. Действительно, мономы ${\displaystyle s^{n},s^{n-1}t,s^{n-2}t^{2},\ldots ,t^{n))$ являются всего лишь одним из возможных базисов в пространстве однородных многочленов, и его можно перевести линейным преобразованием в любой другой базис.

Данное отображение отправляет нули многочлена ${\displaystyle G(s,t)}$ в «координатные точки», то есть точки, все однородные координаты которых, кроме одной, равны нулю. Обратно, рациональная нормальная кривая, проходящая через эти точки, может быть задана параметрически при помощи некоторого многочлена ${\displaystyle G.}$

• Любые ${\displaystyle n+1}$ точки на рациональной нормальной кривой в ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n))$ линейно независимы. Обратно, любая кривая с таким свойством является рациональной нормальной.
• Для любых ${\displaystyle n+3}$ точек в ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n},}$ таких что любые ${\displaystyle n+1}$ из них линейно независимы, существует единственная рациональная нормальная кривая, проходящая через эти точки. Для построения такой кривой достаточно перевести ${\displaystyle n+1}$ из точек в «координатные», а затем, если оставшиеся точки перешли в ${\displaystyle [c_{0}:c_{1}:\ldots :c_{n}],[d_{0}:d_{1}:\ldots :d_{n}],}$ в качестве многочлена ${\displaystyle G}$ выбрать многочлен, зануляющийся в точках ${\displaystyle [a_{i}:b_{1}]=[c_{i}^{-1}:d_{i}^{-1}].}$
• Рациональная нормальная кривая в случае ${\displaystyle n>2}$ не является полным пересечением, то есть её невозможно задать числом уравнений, равным её коразмерности.^[1]

• Харрис, Дж. Алгебраическая геометрия. Начальный курс. — М.: МЦНМО, 2005. — 400 с. — ISBN 5-94057-084-4.

Кривые
Определения	Аналитическая Жордана Канторова Урысона Уникурсальная Рациональная нормальная Овал Овоид Длина Кривизна
Преобразованные	Эволюта Эвольвента окружности Подера Антиподера Параллельная (эквидистанта) Двойственная Конхоида Никомеда, Слюза Инверсия Циссоида
Неплоские	Вивиани Винтовая линия Линия откоса Локсодрома Ортодромия Пространственная кардиоида Клелия
Плоские алгебраические	Конические сечения Гипербола Парабола Эллипс Окружность Прямая 3-й порядок (Кубика) Эллиптические Эллиптическая кривая Эллиптические функции Якоби Эллиптический интеграл Эллиптические функции Другие Аньезиана Декартов лист Трисектриса Маклорена Чирнгауза Офиурида Строфоида Полукубическая парабола Трезубец Циссоида Диокла 4-й порядок Каппа Кардиоида Уатта Персея Овал Декарта Лемнискаты Бернулли Овал Кассини Бута Жероно Аппроксимационные Сплайн B-сплайн Кубический Моносплайн Сглаживающий Совершенный Эрмита Безье Циклоидальные Кардиоида Нефроида Дельтоида Астроида Улитка Паскаля Другие Кривая Ферма
Плоские трансцендентные	Спирали Архимедова Ферма Галилея Гиперболическая «Жезл» Золотая Клотоида Логарифмическая Синусоидальная Циклоидальные Трохоида Циклоида Эпитрохоида Эпициклоида Гипотрохоида Гипоциклоида Квазитрохоида «Роза» Квадрифолий Скорейшего спуска (брахистохрона, дуга циклоиды) Другие Квадратриса Кохлеоида Погони Трактриса Трохоида Цепная линия перевёрнутая арочная Постоянной ширины Синусоида Рибокура Суперформула Суперэллипс Треугольник Рёло многоугольник Фигуры Лиссажу
Фрактальные	Простые Гильберта Госпера Кривая дракона Коха Леви Минковского Пеано Серпинского Топологические Салфетка Серпинского Ковёр Серпинского Губка Менгера Круговой фрактал Ковёр Аполлония