數學上,矩阵 或有界線性算子 的谱半径 (spectral radius)是其特徵值 絕對值 中的最大值(也就是矩阵的谱 中元素絕對值中的最小上界 ),會表示為ρ(·)。
令λ 1 , ..., λn 是矩陣A ∈ C n ×n 中的特徵值,則其谱半径 ρ (A ) is 定義為:
ρ
(
A
)
=
max
{
|
λ
1
|
,
…
,
|
λ
n
|
}
.
{\displaystyle \rho (A)=\max \left\{|\lambda _{1}|,\dotsc ,|\lambda _{n}|\right\}.}
A
{\displaystyle A}
的条件数 可以用譜半徑表示,公式為
ρ
(
A
)
ρ
(
A
−
1
)
{\displaystyle \rho (A)\rho (A^{-1})}
。
譜半徑是矩陣所有範數的一種下确界 (infimum)。另一方面,
ρ
(
A
)
⩽
‖
A
‖
{\displaystyle \rho (A)\leqslant \|A\|}
對每一個矩陣範數
‖
⋅
‖
{\displaystyle \|\cdot \|}
都成立,Gelfand公式指出
ρ
(
A
)
=
lim
k
→
∞
‖
A
k
‖
1
/
k
{\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k))
。不過,針對任意向量
v
∈
C
n
{\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n))
,譜半徑不一定會滿足
‖
A
v
‖
⩽
ρ
(
A
)
‖
v
‖
{\displaystyle \|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|}
。若要說明原因,可以令
r
>
1
{\displaystyle r>1}
為任意數,考慮矩陣
C
r
=
(
0
r
−
1
r
0
)
{\displaystyle C_{r}={\begin{pmatrix}0&r^{-1}\\r&0\end{pmatrix))}
。
C
r
{\displaystyle C_{r))
的特徵多項式 是
λ
2
−
1
{\displaystyle \lambda ^{2}-1}
,因此其特徵值為
±
1
{\displaystyle \pm 1}
,且
ρ
(
C
r
)
=
1
{\displaystyle \rho (C_{r})=1}
。不過
C
r
e
1
=
r
e
2
{\displaystyle C_{r}\mathbf {e} _{1}=r\mathbf {e} _{2))
,因此
‖
C
r
e
1
‖
=
r
>
1
=
ρ
(
C
r
)
‖
e
1
‖
{\displaystyle \|C_{r}\mathbf {e} _{1}\|=r>1=\rho (C_{r})\|\mathbf {e} _{1}\|}
,其中
‖
⋅
‖
{\displaystyle \|\cdot \|}
是
C
n
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n))
上的任何
ℓ
p
{\displaystyle \ell ^{p))
範數。至於可以當
k
→
∞
{\displaystyle k\to \infty }
時,讓
‖
C
r
k
‖
1
/
k
→
1
{\displaystyle \|C_{r}^{k}\|^{1/k}\to 1}
的原因是
C
r
2
=
I
{\displaystyle C_{r}^{2}=I}
,因此當
k
→
∞
{\displaystyle k\to \infty }
時,使
‖
C
r
k
‖
1
/
k
⩽
‖
C
r
‖
1
/
k
=
r
1
/
k
→
1
{\displaystyle \|C_{r}^{k}\|^{1/k}\leqslant \|C_{r}\|^{1/k}=r^{1/k}\to 1}
。
‖
A
v
‖
⩽
ρ
(
A
)
‖
v
‖
{\displaystyle \|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|}
針對所有
v
∈
C
n
{\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n))
成立的條件是
A
{\displaystyle A}
為埃尔米特矩阵 及
‖
⋅
‖
{\displaystyle \|\cdot \|}
為欧几里得範數 。
有限图 的谱半径定義為其邻接矩阵 的谱半径。
此一定義可以擴散到無限圖,但是其每個頂點都只連接有限個頂點(存在一實數C 使得每一個頂點的度 都小於C )。此情形下,針對圖G 可定義:
ℓ
2
(
G
)
=
{
f
:
V
(
G
)
→
R
:
∑
v
∈
V
(
G
)
‖
f
(
v
)
2
‖
<
∞
}
.
{\displaystyle \ell ^{2}(G)=\left\{f:V(G)\to \mathbf {R} \ :\ \sum \nolimits _{v\in V(G)}\left\|f(v)^{2}\right\|<\infty \right\}.}
令γ 是 G 的邻接算子:
{
γ
:
ℓ
2
(
G
)
→
ℓ
2
(
G
)
(
γ
f
)
(
v
)
=
∑
(
u
,
v
)
∈
E
(
G
)
f
(
u
)
{\displaystyle {\begin{cases}\gamma :\ell ^{2}(G)\to \ell ^{2}(G)\\(\gamma f)(v)=\sum _{(u,v)\in E(G)}f(u)\end{cases))}
G 的谱半径定義為有界線性算子γ 的谱半径。
以下的命題指出了一個簡單但是有用的矩陣譜半徑上界:
命題 :令A ∈ C n ×n ,其譜半徑為ρ (A ) ,以及相容(Consistent)矩陣範數 ||⋅|| 。則針對每一個整數
k
⩾
1
{\displaystyle k\geqslant 1}
:
ρ
(
A
)
≤
‖
A
k
‖
1
k
.
{\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k)).}
證明
令(v , λ ) 為矩陣A 的特徵值-特徵向量對。利用矩陣範數的次可乘性(sub-multiplicative property),可得:
|
λ
|
k
‖
v
‖
=
‖
λ
k
v
‖
=
‖
A
k
v
‖
≤
‖
A
k
‖
⋅
‖
v
‖
{\displaystyle |\lambda |^{k}\|\mathbf {v} \|=\|\lambda ^{k}\mathbf {v} \|=\|A^{k}\mathbf {v} \|\leq \|A^{k}\|\cdot \|\mathbf {v} \|}
因為v ≠ 0 ,可得
|
λ
|
k
≤
‖
A
k
‖
{\displaystyle |\lambda |^{k}\leq \|A^{k}\|}
因此
ρ
(
A
)
≤
‖
A
k
‖
1
k
.
{\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k)).}
有關n 個頂點,m 個邊的圖,有許多的譜半徑的上界公式。例如,若
(
k
−
2
)
(
k
−
3
)
2
≤
m
−
n
≤
k
(
k
−
3
)
2
{\displaystyle {\frac {(k-2)(k-3)}{2))\leq m-n\leq {\frac {k(k-3)}{2))}
其中
3
≤
k
≤
n
{\displaystyle 3\leq k\leq n}
為整數,則[ 1] :
ρ
(
G
)
≤
2
m
−
n
−
k
+
5
2
+
2
m
−
2
n
+
9
4
{\displaystyle \rho (G)\leq {\sqrt {2m-n-k+{\frac {5}{2))+{\sqrt {2m-2n+{\frac {9}{4))))))}
谱半径和矩陣乘幂數列是否收斂有緊密的關係。以下的定理會成立:
定理 :令A ∈ C n ×n ,其譜半徑ρ (A ) 。則ρ (A ) < 1 若且唯若
lim
k
→
∞
A
k
=
0.
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }A^{k}=0.}
另一方面,若ρ (A ) > 1 ,
lim
k
→
∞
‖
A
k
‖
=
∞
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|=\infty }
。上述敘述針對C n ×n 上的任何矩陣範數都有效。 假設問題中的極限值為零,可以證明ρ (A ) < 1 。令(v , λ ) 為A 的特征值和特征向量 對。因為Ak v = λk v 可得:
0
=
(
lim
k
→
∞
A
k
)
v
=
lim
k
→
∞
(
A
k
v
)
=
lim
k
→
∞
λ
k
v
=
v
lim
k
→
∞
λ
k
{\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left(\lim _{k\to \infty }A^{k}\right)\mathbf {v} \\&=\lim _{k\to \infty }\left(A^{k}\mathbf {v} \right)\\&=\lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\mathbf {v} \\&=\mathbf {v} \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\end{aligned))}
因為假設v ≠ 0 ,會得到
lim
k
→
∞
λ
k
=
0
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}=0}
表示|λ| < 1。因為這對任何一個特征值都會成立,因此可知ρ(A ) < 1。
接下來假設A 的譜半徑小於1 。根據若尔当标准型 定理,可以知道針對所有的A ∈ C n ×n ,存在V , J ∈ C n ×n 以及非奇異的V 和J 分塊對角矩陣使得:
A
=
V
J
V
−
1
{\displaystyle A=VJV^{-1))
而
J
=
[
J
m
1
(
λ
1
)
0
0
⋯
0
0
J
m
2
(
λ
2
)
0
⋯
0
⋮
⋯
⋱
⋯
⋮
0
⋯
0
J
m
s
−
1
(
λ
s
−
1
)
0
0
⋯
⋯
0
J
m
s
(
λ
s
)
]
{\displaystyle J={\begin{bmatrix}J_{m_{1))(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2))(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1))(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s))(\lambda _{s})\end{bmatrix))}
其中
J
m
i
(
λ
i
)
=
[
λ
i
1
0
⋯
0
0
λ
i
1
⋯
0
⋮
⋮
⋱
⋱
⋮
0
0
⋯
λ
i
1
0
0
⋯
0
λ
i
]
∈
C
m
i
×
m
i
,
1
≤
i
≤
s
.
{\displaystyle J_{m_{i))(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}&1&0&\cdots &0\\0&\lambda _{i}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}&1\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}\end{bmatrix))\in \mathbf {C} ^{m_{i}\times m_{i)),1\leq i\leq s.}
因此可得
A
k
=
V
J
k
V
−
1
{\displaystyle A^{k}=VJ^{k}V^{-1))
因為J 是分塊對角矩陣
J
k
=
[
J
m
1
k
(
λ
1
)
0
0
⋯
0
0
J
m
2
k
(
λ
2
)
0
⋯
0
⋮
⋯
⋱
⋯
⋮
0
⋯
0
J
m
s
−
1
k
(
λ
s
−
1
)
0
0
⋯
⋯
0
J
m
s
k
(
λ
s
)
]
{\displaystyle J^{k}={\begin{bmatrix}J_{m_{1))^{k}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2))^{k}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1))^{k}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s))^{k}(\lambda _{s})\end{bmatrix))}
而
m
i
×
m
i
{\displaystyle m_{i}\times m_{i))
若尔当方塊矩陣k 次方可以得到,針對
k
≥
m
i
−
1
{\displaystyle k\geq m_{i}-1}
:
J
m
i
k
(
λ
i
)
=
[
λ
i
k
(
k
1
)
λ
i
k
−
1
(
k
2
)
λ
i
k
−
2
⋯
(
k
m
i
−
1
)
λ
i
k
−
m
i
+
1
0
λ
i
k
(
k
1
)
λ
i
k
−
1
⋯
(
k
m
i
−
2
)
λ
i
k
−
m
i
+
2
⋮
⋮
⋱
⋱
⋮
0
0
⋯
λ
i
k
(
k
1
)
λ
i
k
−
1
0
0
⋯
0
λ
i
k
]
{\displaystyle J_{m_{i))^{k}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&{k \choose 2}\lambda _{i}^{k-2}&\cdots &{k \choose m_{i}-1}\lambda _{i}^{k-m_{i}+1}\\0&\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&\cdots &{k \choose m_{i}-2}\lambda _{i}^{k-m_{i}+2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}^{k}\end{bmatrix))}
因此,若
ρ
(
A
)
<
1
{\displaystyle \rho (A)<1}
,則針對所有的i ,
|
λ
i
|
<
1
{\displaystyle |\lambda _{i}|<1}
都會成立。因此針對所有的i ,可得:
lim
k
→
∞
J
m
i
k
=
0
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }J_{m_{i))^{k}=0}
這也表示
lim
k
→
∞
J
k
=
0.
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }J^{k}=0.}
因此
lim
k
→
∞
A
k
=
lim
k
→
∞
V
J
k
V
−
1
=
V
(
lim
k
→
∞
J
k
)
V
−
1
=
0
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }A^{k}=\lim _{k\to \infty }VJ^{k}V^{-1}=V\left(\lim _{k\to \infty }J^{k}\right)V^{-1}=0}
另一方面,若
ρ
(
A
)
>
1
{\displaystyle \rho (A)>1}
,當k增加時,在J 中至少有一個元素無法維持有界,因此證明了定理的第二部份。
以下的定理可以用[矩陣範數的極限來計算T谱半径
定理(Gelfand公式,1941年) :令任何矩陣範數 ||⋅||, ,可得
ρ
(
A
)
=
lim
k
→
∞
‖
A
k
‖
1
k
.
{\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k)).}
[ 2] .令任意ε > 0 ,先建構以下二個矩陣:
A
±
=
1
ρ
(
A
)
±
ε
A
.
{\displaystyle A_{\pm }={\frac {1}{\rho (A)\pm \varepsilon ))A.}
則:
ρ
(
A
±
)
=
ρ
(
A
)
ρ
(
A
)
±
ε
,
ρ
(
A
+
)
<
1
<
ρ
(
A
−
)
.
{\displaystyle \rho \left(A_{\pm }\right)={\frac {\rho (A)}{\rho (A)\pm \varepsilon )),\qquad \rho (A_{+})<1<\rho (A_{-}).}
先將之前的定理應用到A + :
lim
k
→
∞
A
+
k
=
0.
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }A_{+}^{k}=0.}
這表示,根據級數極限定理,一定存在N + ∈ N 使得針對所有的k ≥ N+ ,下式都成立
‖
A
+
k
‖
<
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A_{+}^{k}\right\|<1\end{aligned))}
因此
‖
A
k
‖
1
k
<
ρ
(
A
)
+
ε
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k))<\rho (A)+\varepsilon .\end{aligned))}
將之前的定理用在A − ,表示
‖
A
−
k
‖
{\displaystyle \|A_{-}^{k}\|}
無界,一定存在N − ∈ N 使得針對所有的k ≥ N− ,下式都成立
‖
A
−
k
‖
>
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A_{-}^{k}\right\|>1\end{aligned))}
因此
‖
A
k
‖
1
k
>
ρ
(
A
)
−
ε
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k))>\rho (A)-\varepsilon .\end{aligned))}
令N = max{N + , N − }, ,可得:
∀
ε
>
0
∃
N
∈
N
∀
k
≥
N
ρ
(
A
)
−
ε
<
‖
A
k
‖
1
k
<
ρ
(
A
)
+
ε
{\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbf {N} \quad \forall k\geq N\quad \rho (A)-\varepsilon <\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k))<\rho (A)+\varepsilon }
因此,依定義,可得下式
lim
k
→
∞
‖
A
k
‖
1
k
=
ρ
(
A
)
.
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k))=\rho (A).}
考慮以下矩陣
A
=
[
9
−
1
2
−
2
8
4
1
1
8
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}9&-1&2\\-2&8&4\\1&1&8\end{bmatrix))}
其中的特徵值為5, 10, 10 。依照定義,ρ (A ) = 10 。在以下的表中,會以四個最常用的矩陣範式,在k增加時,計算
‖
A
k
‖
1
k
{\displaystyle \|A^{k}\|^{\frac {1}{k))}
(注意,因為此矩陣特殊的形式,
‖
.
‖
1
=
‖
.
‖
∞
{\displaystyle \|.\|_{1}=\|.\|_{\infty ))
):
k
‖
.
‖
1
=
‖
.
‖
∞
{\displaystyle \|.\|_{1}=\|.\|_{\infty ))
‖
.
‖
F
{\displaystyle \|.\|_{F))
‖
.
‖
2
{\displaystyle \|.\|_{2))
1
14
15.362291496
10.681145748
2
12.649110641
12.328294348
10.595665162
3
11.934831919
11.532450664
10.500980846
4
11.501633169
11.151002986
10.418165779
5
11.216043151
10.921242235
10.351918183
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
10
10.604944422
10.455910430
10.183690042
11
10.548677680
10.413702213
10.166990229
12
10.501921835
10.378620930
10.153031596
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
20
10.298254399
10.225504447
10.091577411
30
10.197860892
10.149776921
10.060958900
40
10.148031640
10.112123681
10.045684426
50
10.118251035
10.089598820
10.036530875
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
100
10.058951752
10.044699508
10.018248786
200
10.029432562
10.022324834
10.009120234
300
10.019612095
10.014877690
10.006079232
400
10.014705469
10.011156194
10.004559078
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
1000
10.005879594
10.004460985
10.001823382
2000
10.002939365
10.002230244
10.000911649
3000
10.001959481
10.001486774
10.000607757
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
10000
10.000587804
10.000446009
10.000182323
20000
10.000293898
10.000223002
10.000091161
30000
10.000195931
10.000148667
10.000060774
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
100000
10.000058779
10.000044600
10.000018232
針對有界線性算子 A 及算子范数 ||·||,可以得到
ρ
(
A
)
=
lim
k
→
∞
‖
A
k
‖
1
k
.
{\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{\frac {1}{k)).}
(複數希爾伯特空間上的)有界算子若其谱半径等於數值半徑 ,可以稱為「譜算子」(spectraloid operator)。其中一個例子是正规算子 。
Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob, Linear operators II. Spectral Theory: Self Adjoint Operators in Hilbert Space, Interscience Publishers, Inc., 1963
Lax, Peter D., Functional Analysis, Wiley-Interscience, 2002, ISBN 0-471-55604-1