线性代数
A
=
[
1
2
3
4
]
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix))}
向量 · 向量空间 ·
基底 ·
行列式 ·
矩阵
向量
标量 ·
向量 · 向量空间 ·
向量投影 ·
外积 (
向量积 ·
七维向量积 ) ·
内积 (
数量积 ) ·
二重向量
矩阵与行列式
矩阵 ·
行列式 ·
线性方程组 ·
秩 ·
核 ·
跡 ·
單位矩陣 ·
初等矩阵 ·
方块矩阵 ·
分块矩阵 ·
三角矩阵 ·
非奇异方阵 ·
转置矩阵 ·
逆矩阵 ·
对角矩阵 ·
可对角化矩阵 ·
对称矩阵 ·
反對稱矩陣 ·
正交矩阵 ·
幺正矩阵 ·
埃尔米特矩阵 ·
反埃尔米特矩阵 ·
正规矩阵 ·
伴随矩阵 ·
余因子矩阵 ·
共轭转置 ·
正定矩阵 ·
幂零矩阵 ·
矩阵分解 (
LU分解 ·
奇异值分解 ·
QR分解 ·
极分解 ·
特征分解 ) ·
子式和余子式 ·
拉普拉斯展開 ·
克罗内克积
线性空间与线性变换
线性空间 ·
线性变换 ·
线性子空间 ·
线性生成空间 ·
基 ·
线性映射 ·
线性投影 ·
線性無關 ·
线性组合 ·
线性泛函 ·
行空间与列空间 ·
对偶空间 ·
正交 ·
特征向量 ·
最小二乘法 ·
格拉姆-施密特正交化
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查 论 编
向量空間是可以縮放和相加的(叫做向量 的)對象的集合 向量空間 是一群可縮放 和相加的 數學實體(如實數 甚至是函数 )所構成的特殊集合 ,其特殊之處在於縮放和相加後仍屬於這個集合 。這些數學實體被稱為向量 ,而向量空間正是線性代數 的主要研究对象。
給定域
(
K
,
+
,
×
)
{\displaystyle \left(K,\,+,\,\times \right)}
和某集合
V
{\displaystyle V}
,它們具有了以下兩種运算 (函数 ):[1]
向量加法
⊕
:
V
×
V
→
V
{\displaystyle \oplus :V\times V\to V}
(其中
⊕
(
u
,
v
)
{\displaystyle \oplus (u,\,v)}
慣例上簡記為
u
⊕
v
{\displaystyle u\oplus v}
)
标量乘法
⋅
:
K
×
V
→
V
{\displaystyle \cdot :K\times V\to V}
(其中
⋅
(
a
,
v
)
{\displaystyle \cdot \,(a,\,v)}
慣例上簡記為
a
⋅
v
{\displaystyle a\cdot v}
甚至是
a
v
{\displaystyle av}
)且這兩種運算滿足:(特別注意
+
{\displaystyle +}
和
×
{\displaystyle \times }
是域
K
{\displaystyle K}
是本身具有的加法和乘法)
名稱
前提條件
內容
向量加法
的单位元 與逆元素
存在
V
{\displaystyle V}
的元素
e
∈
V
{\displaystyle e\in V}
對所有
u
∈
V
{\displaystyle u\in V}
有
e
⊕
u
=
u
⊕
e
=
u
{\displaystyle e\oplus u=u\oplus e=u}
且存在
w
∈
V
{\displaystyle w\in V}
使得
w
⊕
u
=
u
⊕
w
=
e
{\displaystyle w\oplus u=u\oplus w=e}
的结合律
對所有
u
,
v
,
w
∈
V
{\displaystyle u,\,v,\,w\in V}
u
⊕
(
v
⊕
w
)
=
(
u
⊕
v
)
⊕
w
{\displaystyle u\oplus (v\oplus w)=(u\oplus v)\oplus w}
的交换律
對所有
u
,
v
∈
V
{\displaystyle u,\,v\in V}
u
⊕
v
=
v
⊕
u
{\displaystyle u\oplus v=v\oplus u}
标量乘法
的单位元
對所有
u
∈
V
{\displaystyle u\in V}
若
1
K
∈
K
{\displaystyle 1_{K}\in K}
是
K
{\displaystyle K}
的乘法单位元 ,則
1
K
⋅
u
=
u
{\displaystyle 1_{K}\cdot u=u}
对向量加法的分配律
對所有
u
,
v
∈
V
{\displaystyle u,\,v\in V}
和所有
a
∈
K
{\displaystyle a\in K}
a
⋅
(
u
⊕
v
)
=
a
⋅
u
⊕
a
⋅
v
{\displaystyle a\cdot (u\oplus v)=a\cdot u\oplus a\cdot v}
对域加法的分配律
對所有
u
∈
V
{\displaystyle u\in V}
和所有
a
,
b
∈
K
{\displaystyle a,\,b\in K}
(
a
+
b
)
⋅
u
=
a
⋅
u
⊕
b
⋅
u
{\displaystyle (a+b)\cdot u=a\cdot u\oplus b\cdot u}
与域乘法
a
⋅
(
b
⋅
u
)
=
(
a
×
b
)
⋅
v
{\displaystyle a\cdot (b\cdot u)=(a\times b)\cdot v}
這樣稱 「
V
{\displaystyle V}
為定義在域
K
{\displaystyle K}
上的向量空間 」,而
V
{\displaystyle V}
裡的元素
u
∈
V
{\displaystyle u\in V}
被稱為向量 ;域
K
{\displaystyle K}
裡的元素
a
∈
K
{\displaystyle a\in K}
被稱為标量 。這樣域
K
{\displaystyle K}
就是囊括所有标量的集合,所以為了解說方便,有時會將
K
{\displaystyle K}
暱稱為标量域或是标量母空間。在不跟域的加法混淆的情況下,向量加法
⊕
{\displaystyle \oplus }
也可以簡寫成
+
{\displaystyle +}
。
前四個條件規定
(
V
,
⊕
)
{\displaystyle \left(V,\,\oplus \right)}
是交換群 。上述的完整定義也可以抽象地概述成「
(
K
,
+
,
×
)
{\displaystyle \left(K,\,+,\,\times \right)}
是個域,且
V
{\displaystyle V}
是一個
K
−
{\displaystyle K-}
模 」。
以下定理都沿用正式定義 一節的符號與前提條件。
以上的定理事實上繼承自群的單位元唯一性 。這樣的話,可以仿造群的習慣以記號
0
V
{\displaystyle 0_{V))
代表「向量加法
⊕
{\displaystyle \oplus }
的唯一單位元」,並稱之為
V
{\displaystyle V}
的零向量 。
在不跟标量域 的加法單位元
0
K
∈
K
{\displaystyle 0_{K}\in K}
混淆的情況下,零向量
0
V
∈
V
{\displaystyle 0_{V}\in V}
也可以簡寫成
0
{\displaystyle 0}
。
定理 (2) — 任意向量的向量加法逆元素 是唯一的。
以上的定理事實上繼承自群的逆元唯一性 ,這樣的話,可以仿造群的習慣以
u
−
1
{\displaystyle u^{-1))
代表「向量
u
{\displaystyle u}
在向量加法
⊕
{\displaystyle \oplus }
下的唯一逆元素」,甚至可以把
v
⊕
u
−
1
{\displaystyle v\oplus u^{-1))
簡記為
v
⊖
u
{\displaystyle v\ominus u}
,並暱稱為向量減法 。在不跟标量的加法混淆的情況下,
u
−
1
{\displaystyle u^{-1))
也可記為
−
u
{\displaystyle -u}
;
v
⊖
u
{\displaystyle v\ominus u}
也可記為
v
−
u
{\displaystyle v-u}
。
定理 (3) — 對所有的純量
a
∈
K
{\displaystyle a\in K}
都有
a
⋅
0
V
=
0
V
{\displaystyle a\cdot 0_{V}=0_{V))
。(零向量的伸縮還是零向量)
證明
考慮到标量乘法对向量加法的分配律 和零向量 的性質會有
a
⋅
0
V
=
a
⋅
(
0
V
+
0
V
)
=
a
⋅
0
V
+
a
⋅
0
V
{\displaystyle a\cdot 0_{V}=a\cdot (0_{V}+0_{V})=a\cdot 0_{V}+a\cdot 0_{V))
那取向量
u
∈
V
{\displaystyle u\in V}
為
a
⋅
0
V
{\displaystyle a\cdot 0_{V))
的向量加法逆元素 ,配上向量加法的结合律 和单位元 的定義會有
0
V
=
u
+
a
⋅
0
V
=
u
+
(
a
⋅
0
V
+
a
⋅
0
V
)
=
(
u
+
a
⋅
0
V
)
+
a
⋅
0
V
=
0
V
+
a
⋅
0
V
=
a
⋅
0
V
{\displaystyle {\begin{aligned}0_{V}&=u+a\cdot 0_{V}\\&=u+(a\cdot 0_{V}+a\cdot 0_{V})\\&=(u+a\cdot 0_{V})+a\cdot 0_{V}\\&=0_{V}+a\cdot 0_{V}\\&=a\cdot 0_{V}\\\end{aligned))}
故得証。
◻
{\displaystyle \Box }
研究向量空間很自然涉及一些額外結構。額外結構如下:
對一般域F ,V 记為F -向量空間 。若F 是實數域 ℝ ,则V 稱為實數向量空間 ;若F 是複數域 ℂ ,则V 稱為複數向量空間 ;若F 是有限域 ,则V 稱為有限域向量空間 。
最简单的F -向量空間是F 自身。只要定义向量加法为域中元素的加法,标量乘法为域中元素的乘法就可以了。例如当F 是实数域ℝ 时,可以验证对任意实数a 、b 以及任意实数u 、v 、w ,都有:
u + (v + w ) = (u + v ) + w ,
v + w = w + v ,
零元素存在:零元素0 满足:对任何的向量元素v ,v + 0 = v ,
逆元素存在:对任何的向量元素v ,它的相反数w = −v 就满足v + w = 0 。
标量乘法对向量加法满足分配律 :a (v + w ) = a v + a w .
向量乘法对标量加法满足分配律 :(a + b )v = a v + b v .
标量乘法与标量的域乘法相容:a (b v ) =(ab )v 。
标量乘法有單位元 :ℝ 中的乘法单位元,也就是实数“1”满足:对任意实数v ,1v = v 。 更为常见的例子是给定了直角坐标系的平面 :平面上的每一点
P
{\displaystyle P}
都有一个坐标
P
(
x
,
y
)
{\displaystyle P(x,y)}
,并对应着一个向量
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
。所有普通意义上的平面向量组成了一个空间,记作ℝ²,因为每个向量都可以表示为两个实数构成的有序数组
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
。可以验证,对于普通意义上的向量加法和标量乘法,ℝ²满足向量空间的所有公理。实际上,向量空间是ℝ²的推广。
同样地,高维的欧几里得空间 ℝn 也是向量空间的例子。其中的向量表示为
v
=
(
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
)
{\displaystyle v=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})}
,其中的
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
{\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n))
都是实数。定义向量的加法和标量乘法是:
∀
λ
∈
R
,
v
=
(
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
)
∈
R
n
,
w
=
(
b
1
,
b
2
,
⋯
,
b
n
)
∈
R
n
{\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {R} ,\,v=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n},\,w=(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})\in \mathbb {R} ^{n))
,
v
+
w
=
(
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
)
+
(
b
1
,
b
2
,
⋯
,
b
n
)
=
(
a
1
+
b
1
,
a
2
+
b
2
,
⋯
,
a
n
+
b
n
)
{\displaystyle v+w=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})+(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\cdots ,a_{n}+b_{n})}
λ
v
=
λ
(
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
)
=
(
λ
a
1
,
λ
a
2
,
⋯
,
λ
a
n
)
{\displaystyle \lambda v=\lambda (a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})=(\lambda a_{1},\lambda a_{2},\cdots ,\lambda a_{n})}
可以验证这也是一个向量空间。
再考虑所有系数为实数的多项式 的集合
R
[
X
]
{\displaystyle \mathbb {R} [X]}
。对于通常意义上的多项式加法和标量乘法,
R
[
X
]
{\displaystyle \mathbb {R} [X]}
也构成一个向量空间。更广泛地,所有从实数域射到实数域的连续函数 的集合
C
(
R
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {C))(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}
也是向量空间,因为两个连续函数的和或差以及连续函数的若干倍都还是连续函数。
向量空间的另一种例子是齐次线性方程组 (常数项都是0 的线性方程组)的解的集合。例如下面的方程组:
3
x
+
2
y
−
z
=
0
{\displaystyle 3x+2y-z=0}
x
+
5
y
+
2
z
=
0
{\displaystyle x+5y+2z=0}
如果
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
{\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})}
和
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
{\displaystyle (x_{2},y_{2},z_{2})}
都是解,那么可以验证它们的“和”
(
x
1
+
x
2
,
y
1
+
y
2
,
z
1
+
z
2
)
{\displaystyle (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})}
也是一组解,因为:
3
(
x
1
+
x
2
)
+
2
(
y
1
+
y
2
)
−
(
z
1
+
z
2
)
=
(
3
x
1
+
2
y
1
−
z
1
)
+
(
3
x
2
+
2
y
2
−
z
2
)
=
0
{\displaystyle 3(x_{1}+x_{2})+2(y_{1}+y_{2})-(z_{1}+z_{2})=(3x_{1}+2y_{1}-z_{1})+(3x_{2}+2y_{2}-z_{2})=0}
(
x
1
+
x
2
)
+
5
(
y
1
+
y
2
)
+
2
(
z
1
+
z
2
)
=
(
x
1
+
5
y
1
+
2
z
1
)
+
(
x
2
+
5
y
2
+
2
z
2
)
=
0
{\displaystyle (x_{1}+x_{2})+5(y_{1}+y_{2})+2(z_{1}+z_{2})=(x_{1}+5y_{1}+2z_{1})+(x_{2}+5y_{2}+2z_{2})=0}
同样,将一组解乘以一个常数后,仍然会是一组解。可以验证这样定义的“向量加法”和“标量乘法”满足向量空间的公理,因此这个方程组的所有解组成了一个向量空间。
一般来说,当齐次线性方程组中未知数个数大于方程的个数时,方程组有无限多组解,并且这些解组成一个向量空间。
对于齐次线性微分方程 ,解的集合也构成向量空间。比如说下面的方程:
f
″
+
4
x
f
′
+
cos
(
x
)
f
=
0
{\displaystyle f''+4xf'+\cos(x)f=0}
出于和上面类似的理由,方程的两个解
f
1
{\displaystyle f_{1))
和
f
2
{\displaystyle f_{2))
的和函数
f
1
+
f
2
{\displaystyle f_{1}+f_{2))
也满足方程。可以验证,这个方程的所有解构成一个向量空间。
如果一個向量空間V 的一個非空子集合W 对于V 的加法及標量乘法都封闭(也就是说任意W 中的元素相加或者和标量相乘之后仍然在W 之中),那么将W 称为V 的線性子空間 (简称子空间)。V 的子空间中,最平凡的就是空間V 自己,以及只包含0 的子空间
0
{\displaystyle {0))
。
給出一個向量集合B ,那么包含它的最小子空間就稱為它的生成子空間 ,也称線性包络 ,记作span(B )。
給出一個向量集合B ,若它的生成子空间就是向量空間V ,则稱B 為V 的一个生成集 。如果一个向量空間V 拥有一个元素个数有限的生成集,那么就稱V 是一个有限维空间。
可以生成一個向量空間V 的線性獨立 子集,稱為這個空間的基 。若V ={0 },约定唯一的基是空集 。對非零向量空間V ,基是V “最小”的生成集。向量空间的基是对向量空间的一种刻画。确定了向量空间的一组基B 之后,空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的線性組合 。如果能够把基中元素按下标排列:
B
=
{
e
1
,
e
2
,
⋯
,
e
n
,
⋯
}
{\displaystyle \mathbf {B} =\left\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n},\cdots \right\))
,那么空间中的每一个向量v 便可以通过座標系統來呈現:
v
=
λ
1
e
1
+
λ
2
e
2
+
⋯
+
λ
n
e
n
+
⋯
{\displaystyle v=\lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}+\cdots }
这种表示方式必然存在,而且是唯一的。也就是说,向量空间的基提供了一个坐标系。
可以证明,一个向量空間的所有基都擁有相同基數 ,稱為該空間的維度 。当V 是一个有限维空间时,任何一组基中的元素个数都是定值,等于空间的维度 。例如,各种實數向量空間:ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ∞ ,…中, ℝn 的維度就是n 。在一个有限维的向量空间(维度是n )中,确定一组基
B
=
{
e
1
,
e
2
,
⋯
,
e
n
}
{\displaystyle \mathbf {B} =\left\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\right\))
,那么所有的向量都可以用 n个标量来表示 。比如说,如果某个向量v 表示为:
v
=
λ
1
e
1
+
λ
2
e
2
+
⋯
+
λ
n
e
n
{\displaystyle v=\lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n))
那么v可以用数组
v
=
(
λ
1
,
λ
2
,
⋯
,
λ
n
)
{\displaystyle v=(\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n})}
来表示。这种表示方式称为向量的坐标表示。按照这种表示方法,基中元素表示为:
e
1
=
(
1
,
0
,
⋯
,
0
)
{\displaystyle e_{1}=(1,0,\cdots ,0)}
e
2
=
(
0
,
1
,
⋯
,
0
)
{\displaystyle e_{2}=(0,1,\cdots ,0)}
e
n
=
(
0
,
0
,
⋯
,
1
)
{\displaystyle e_{n}=(0,0,\cdots ,1)}
可以证明,存在从任意一个n 维的
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
-向量空间到空间
F
n
{\displaystyle \mathbf {F} ^{n))
的双射 。这种关系称为同构。
給定兩個系数域都是F 的向量空間V和W,定义由V到W的線性變換 (或称线性映射)为所有从V射到W并且它保持向量加法和标量乘法的运算的函数f :
f
:
V
→
W
{\displaystyle f:\,V\rightarrow W}
∀
a
∈
F
,
u
,
v
∈
V
,
f
(
u
+
v
)
=
f
(
u
)
+
f
(
v
)
,
f
(
a
⋅
v
)
=
a
⋅
f
(
v
)
{\displaystyle \forall a\in F,u,v\in V,\,f(u+v)=f(u)+f(v),\,f(a\cdot v)=a\cdot f(v)}
所有线性变换的集合记为
L
(
V
,
W
)
{\displaystyle {\mathcal {L))(V,W)}
,这也是一个系数域为F 的向量空间。在确定了V和W上各自的一组基之后,
L
(
V
,
W
)
{\displaystyle {\mathcal {L))(V,W)}
中的线性变换可以通过矩阵 来表示。
如果两个向量空間V和W之间的一个線性映射是一一映射 ,那么这个线性映射称为(线性)同构 ,表示两个空间构造相同的意思。如果在V和W之間存在同構,那么稱這兩個空間為同構的 。如果向量空間V和W之间存在同构
f
:
V
→
W
{\displaystyle f:\,V\rightarrow W}
,那么其逆映射
g
:
W
→
V
{\displaystyle g:\,W\rightarrow V}
也存在,并且对所有的
x
∈
V
,
y
∈
W
{\displaystyle x\in V,\,y\in W}
,都有:
g
∘
f
(
x
)
=
x
,
f
∘
g
(
y
)
=
y
{\displaystyle g\circ f(x)=x,\,f\circ g(y)=y}
《中国大百科全书 》
Howard Anton and Chris Rorres. Elementary Linear Algebra , Wiley, 9th edition, ISBN 0-471-66959-8 .
Kenneth Hoffmann and Ray Kunze. Linear Algebra , Prentice Hall, ISBN 0-13-536797-2 .
Seymour Lipschutz and Marc Lipson. Schaum's Outline of Linear Algebra , McGraw-Hill, 3rd edition, ISBN 0-07-136200-2 .
Gregory H. Moore. The axiomatization of linear algebra: 1875-1940, Historia Mathematica 22 (1995), no. 3, 262-303.
Gilbert Strang. "Introduction to Linear Algebra, Third Edition", Wellesley-Cambridge Press, ISBN 0-9614088-9-8
^ Roman 2005 , ch. 1, p. 27