三次多項式(
d
e
g
=
3
{\displaystyle deg=3}
)在坐標平面上的圖形 多项式 (英語:Polynomial )是代数学 中的基础概念,是由称为未知数的变量 和称为系数的常数 通过有限次加减法 、乘法 以及自然数 幂次的乘方 运算得到的代数表达式 。多项式是整式 的一种。未知数只有一个的多项式称为一元多项式;例如
x
2
−
3
x
+
4
{\displaystyle x^{2}-3x+4}
就是一个三项一元二次多项式。未知数不止一个的多项式称为多元多项式,例如
x
3
+
2
y
−
3
z
{\displaystyle x^{3}+2y-3z}
就是一個三项三元三次多项式,一个多项式有几次取决于最高的那个项的次数。(xy属于二次)
可以写成只由一项构成的多项式也称为单项式 。如果一项中不含未知数,则称之为常数项 。
多项式在数学的很多分支中乃至许多自然科学 以及工程学 中都有重要作用。
定義
给定一个环
R
{\displaystyle R}
(
R
{\displaystyle R}
通常是交换环 ,可以是有理数 、实数 或者复数 等等)以及一个未知数
X
{\displaystyle X}
,则任何形同:
a
0
+
a
1
X
+
⋯
+
a
n
−
1
X
n
−
1
+
a
n
X
n
{\displaystyle a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n-1}X^{n-1}+a_{n}X^{n))
的代数表达式叫做
R
{\displaystyle R}
上的一元多项式。其中
a
0
,
a
1
,
⋯
,
a
n
{\displaystyle a_{0},a_{1},\cdots ,a_{n))
是
R
{\displaystyle R}
中的元素。未知数不代表任何值,但环
R
{\displaystyle R}
上的所有运算都对它适用。在不至于混淆的情形下,一般将一元多项式简称为多项式。可以证明,两个多項式的和、差与積仍然是多項式,即多項式組成一個環
R
[
X
]
{\displaystyle R[X]}
,稱爲
R
{\displaystyle R}
上的(一元)多項式環 。而所有的二元多项式则可以定义为所有以一元多项式为系数的多项式,即形同
p
0
(
X
1
)
+
p
1
(
X
1
)
X
2
+
⋯
+
p
n
2
−
1
(
X
1
)
X
2
n
2
−
1
+
p
n
2
(
X
1
)
X
2
n
2
{\displaystyle p_{0}(X_{1})+p_{1}(X_{1})X_{2}+\cdots +p_{n_{2}-1}(X_{1})X_{2}^{n_{2}-1}+p_{n_{2))(X_{1})X_{2}^{n_{2))}
的代数表达式。其中
p
0
(
X
1
)
,
p
1
(
X
1
)
,
⋯
,
p
n
(
X
1
)
{\displaystyle p_{0}(X_{1}),p_{1}(X_{1}),\cdots ,p_{n}(X_{1})}
都是
R
[
X
1
]
{\displaystyle R[X_{1}]}
中的元素。全体这样的表达式也构成一个环,记为
R
[
X
1
,
X
2
]
{\displaystyle R[X_{1},X_{2}]}
。以此类推,可以定义所有
m
{\displaystyle m}
元多項式集合:
R
[
X
1
,
X
2
,
⋯
,
X
m
]
{\displaystyle R[X_{1},X_{2},\cdots ,X_{m}]}
多项式总可以表示为有限个元素的和,其中每个元素都是未知数与
R
{\displaystyle R}
中一个常数的乘积,这样的元素称为多项式的项 ,其中的常数称为该项的系数 。在
R
[
X
1
,
…
,
X
m
]
{\displaystyle R[X_{1},\ldots ,X_{m}]}
中,多项式的每一项都是形同
a
X
1
k
1
X
2
k
2
⋯
X
m
k
m
{\displaystyle aX_{1}^{k_{1))X_{2}^{k_{2))\cdots X_{m}^{k_{m))}
的乘积形式。其中
a
{\displaystyle a}
是系数,
k
i
{\displaystyle k_{i))
被称为
X
i
{\displaystyle X_{i))
在这一项中的次数。所有
k
i
{\displaystyle k_{i))
之和称为这一项的次数。比如在以下这一项:
−
5
X
3
Y
{\displaystyle -5X^{3}Y}
中,系数是
−
5
{\displaystyle -5}
,不定元
X
{\displaystyle X}
的次数是
3
{\displaystyle 3}
,
Y
{\displaystyle Y}
的次数是
1
{\displaystyle 1}
,这一项的次数是
4
{\displaystyle 4}
。可以写成只由一项构成的多项式也称为单项式 。如果一项中不含未知数,则称之为常数项。
次數
某个未知数
X
s
{\displaystyle X_{s))
在多项式各项中最大的次数称为多项式中未知数
X
s
{\displaystyle X_{s))
的次数 ,拥有这样次数的
X
s
{\displaystyle X_{s))
的项被称为
X
s
{\displaystyle X_{s))
的最高次项 。所有项的次数中最高的称为多项式的次数 。对于一元多项式来说,唯一的未知数的次数也称为多项式的次数,未知数的最高次项也称为多项式的最高次项 。
例如多項式:
X
Y
3
+
2
X
+
5
−
0.3
c
{\displaystyle \ XY^{3}+2X+5-0.3c}
中
X
Y
3
{\displaystyle \ XY^{3))
的次數 最高,是
4
{\displaystyle 4}
,故此多項式的次數為四。因而此多項式可稱為三元四次四項式。
X
Y
3
{\displaystyle \ XY^{3))
稱為四次項,
2
X
{\displaystyle \ 2X}
、
−
0.3
c
{\displaystyle -0.3c}
稱為一次項或線性項 ,而
5
{\displaystyle 5}
是零次項或常數項。
多項式
P
{\displaystyle P}
的次數記作
deg
(
P
)
{\displaystyle \deg(P)}
。约定零多项式没有次数,也没有未知数。常數多項式 分為零次多項式(非零常数)和零多項式。一次多項式又稱為線性多項式 。多項式中的一次項又稱為線性項。如果某个多项式的所有项都有相同次数,则称其为齐次多项式 。
一个一元多项式被称为首一多项式,如果它的最高次项的系数是
R
{\displaystyle R}
的单位元 。
多项式的升幂及降幂排列
选定一个未知数后,多项式可依各项中该未知数的次数以降序或升序排列。次数从低到高是升幂排列。次数从高到低是降幂排列。例如
2
X
5
Y
2
+
7
X
3
Y
4
+
8
X
1
Y
6
{\displaystyle \ 2X^{5}Y^{2}+7X^{3}Y^{4}+8X^{1}Y^{6))
是依X 的次数降幂排列。
多项式的运算
多项式的加法
两个多项式相加可以看作是对两组单项式的和进行重组与合并同类项。通过加法结合律 ,可以将同类项放在一起,合并之后就得到了两个多项式的和[1] [2] 。例如以下的两个多项式:
P
=
3
X
2
−
2
X
+
5
X
Y
−
2
Q
=
−
3
X
2
+
3
X
+
4
Y
2
+
8
{\displaystyle {\begin{aligned}{\color {BrickRed}P}&={\color {BrickRed}3X^{2}-2X+5XY-2}\\{\color {RoyalBlue}Q}&={\color {RoyalBlue}-3X^{2}+3X+4Y^{2}+8}\end{aligned))}
它们的和是:
P
+
Q
=
(
3
X
2
−
2
X
+
5
X
Y
−
2
)
+
(
−
3
X
2
+
3
X
+
4
Y
2
+
8
)
{\displaystyle {\color {BrickRed}P}+{\color {RoyalBlue}Q}=({\color {BrickRed}3X^{2}-2X+5XY-2})\;+\;({\color {RoyalBlue}-3X^{2}+3X+4Y^{2}+8})}
化简之後得到:
P
+
Q
=
X
+
5
X
Y
+
4
Y
2
+
6
{\displaystyle P+Q=X+5XY+4Y^{2}+6}
多项式的减法
例:
P
=
36
x
5
+
7
x
4
+
66
x
3
+
36
x
2
+
66
x
+
6
{\displaystyle P={\color {Red}36x^{5}+7x^{4}+66x^{3}+36x^{2}+66x+6))
、
Q
=
5
x
5
−
73
x
4
−
11
x
3
−
11
x
2
+
5
x
+
3
{\displaystyle Q={\color {Violet}5x^{5}-73x^{4}-11x^{3}-11x^{2}+5x+3))
則
P
−
Q
=
(
36
−
5
)
x
5
+
(
7
+
73
)
x
4
+
(
66
+
11
)
x
3
+
(
36
+
11
)
x
2
+
(
66
−
5
)
x
+
(
6
−
3
)
=
31
x
5
+
80
x
4
+
77
x
3
+
47
x
2
+
61
x
+
3
{\displaystyle P-Q=(36-5)x^{5}+(7+73)x^{4}+(66+11)x^{3}+(36+11)x^{2}+(66-5)x+(6-3)=31x^{5}+80x^{4}+77x^{3}+47x^{2}+61x+3}
多项式乘法
例如以下的两个多项式:
P
=
2
X
+
3
Y
+
5
Q
=
2
X
+
5
Y
+
X
Y
+
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\color {BrickRed}P&=\color {BrickRed}{2X+3Y+5}\\\color {RoyalBlue}Q&=\color {RoyalBlue}{2X+5Y+XY+1}\end{aligned))}
计算它们的乘积,步骤如下:
P
Q
=
(
2
X
⋅
2
X
)
+
(
2
X
⋅
5
Y
)
+
(
2
X
⋅
X
Y
)
+
(
2
X
⋅
1
)
+
(
3
Y
⋅
2
X
)
+
(
3
Y
⋅
5
Y
)
+
(
3
Y
⋅
X
Y
)
+
(
3
Y
⋅
1
)
+
(
5
⋅
2
X
)
+
(
5
⋅
5
Y
)
+
(
5
⋅
X
Y
)
+
(
5
⋅
1
)
{\displaystyle {\begin{array}{rccrcrcrcr}{\color {BrickRed}P}{\color {RoyalBlue}Q}&{=}&&({\color {BrickRed}2X}\cdot {\color {RoyalBlue}2X})&+&({\color {BrickRed}2X}\cdot {\color {RoyalBlue}5Y})&+&({\color {BrickRed}2X}\cdot {\color {RoyalBlue}XY})&+&({\color {BrickRed}2X}\cdot {\color {RoyalBlue}1})\\&&+&({\color {BrickRed}3Y}\cdot {\color {RoyalBlue}2X})&+&({\color {BrickRed}3Y}\cdot {\color {RoyalBlue}5Y})&+&({\color {BrickRed}3Y}\cdot {\color {RoyalBlue}XY})&+&({\color {BrickRed}3Y}\cdot {\color {RoyalBlue}1})\\&&+&({\color {BrickRed}5}\cdot {\color {RoyalBlue}2X})&+&({\color {BrickRed}5}\cdot {\color {RoyalBlue}5Y})&+&({\color {BrickRed}5}\cdot {\color {RoyalBlue}XY})&+&({\color {BrickRed}5}\cdot {\color {RoyalBlue}1})\end{array))}
化简之後得到:
P
Q
=
4
X
2
+
21
X
Y
+
2
X
2
Y
+
12
X
+
15
Y
2
+
3
X
Y
2
+
28
Y
+
5
{\displaystyle PQ=4X^{2}+21XY+2X^{2}Y+12X+15Y^{2}+3XY^{2}+28Y+5}
多项式除法
和整数 之间的带余除法 类似。可以证明,设有多项式
A
{\displaystyle A}
和非零多项式
B
{\displaystyle B}
,则存在唯一的多项式
Q
{\displaystyle Q}
和
R
{\displaystyle R}
,满足:
A
=
B
Q
+
R
{\displaystyle A=BQ+R}
其中多项式
R
{\displaystyle R}
若非零多项式,則其次數严格小于
B
{\displaystyle B}
的次數。
作为特例,如果要计算某个多项式
P
{\displaystyle P}
除以一次多项式
X
−
a
{\displaystyle X-a}
得到的餘多项式,可以直接将
a
{\displaystyle a}
代入到多项式
P
{\displaystyle P}
中。
P
{\displaystyle P}
除以
X
−
a
{\displaystyle X-a}
的餘多项式是
P
(
a
)
{\displaystyle P(a)}
。
具体的计算可以使用类似直式除法的方式。例如,计算
X
3
−
12
X
2
−
42
{\displaystyle X^{3}-12X^{2}-42}
除以
X
−
3
{\displaystyle X-3}
,列式如下:
X
2
−
9
X
−
27
X
−
3
)
X
3
−
12
X
2
+
0
X
−
42
¯
X
3
−
3
X
2
_
−
9
X
2
+
0
X
−
9
X
2
+
27
X
_
−
27
X
−
42
−
27
X
+
81
_
−
123
{\displaystyle {\begin{matrix}\qquad \qquad \;X^{2}-\;\;\;\!\!9X\;\,-\;27\\\qquad \quad X-3\;{\overline {)\quad X^{3}-12X^{2}+\;\;0X\;\;\!\!-42))\\\;\;{\underline {\quad \,X^{3}-\;\;3X^{2))}\\\qquad \qquad \qquad \;\,-\;\,\,\,9X^{2}+\;\;0X\\\qquad \qquad \qquad {\underline {\;\;\!-\;\,\,\,9X^{2}+27X))\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \,-\;27X-42\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \,{\underline {-\;27X+81))\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\,\,-123\end{matrix))}
因此,商式是
X
2
−
9
X
−
27
{\displaystyle \ X^{2}-9X-27}
,餘式是
−
123
{\displaystyle \ -123}
。
多项式的矩阵算法
乘法
f
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
a
k
x
k
,
g
(
x
)
=
∑
k
=
0
m
b
k
x
k
,
f
(
x
)
g
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
+
m
c
k
x
k
{\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k},g(x)=\sum _{k=0}^{m}b_{k}x^{k},f(x)g(x)=\sum _{k=0}^{n+m}c_{k}x^{k))
(
c
0
c
1
⋯
c
n
+
m
)
=
(
a
0
a
1
⋯
a
n
)
(
b
0
b
1
⋯
b
m
0
⋯
0
0
b
0
⋯
b
m
−
1
b
m
⋯
0
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}c_{0}&c_{1}&\cdots &c_{n+m}\end{pmatrix))={\begin{pmatrix}a_{0}&a_{1}&\cdots &a_{n}\end{pmatrix)){\begin{pmatrix}b_{0}&b_{1}&\cdots &b_{m}&0&\cdots &0\\0&b_{0}&\cdots &b_{m-1}&b_{m}&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{pmatrix))}
除法
令
f
(
x
)
=
1
−
x
−
2
x
2
+
x
3
+
3
x
4
−
x
5
,
g
(
x
)
=
3
−
x
+
x
2
−
x
3
{\displaystyle f(x)=1-x-2x^{2}+x^{3}+3x^{4}-x^{5},g(x)=3-x+x^{2}-x^{3))
則
f
(
x
)
=
q
(
x
)
g
(
x
)
+
r
(
x
)
{\displaystyle f(x)=q(x)g(x)+r(x)}
,应用多项式乘法的矩阵算法,越右側代表越高次項。
(
1
−
1
−
2
1
3
−
1
)
=
(
q
0
q
1
q
2
)
(
3
−
1
1
−
1
0
0
0
3
−
1
1
−
1
0
0
0
3
−
1
1
−
1
)
+
(
r
0
r
1
r
2
0
0
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&-1&-2&1&3&-1\end{pmatrix))={\begin{pmatrix}q_{0}&q_{1}&q_{2}\end{pmatrix)){\begin{pmatrix}3&-1&1&-1&0&0\\0&3&-1&1&-1&0\\0&0&3&-1&1&-1\end{pmatrix))+{\begin{pmatrix}r_{0}&r_{1}&r_{2}&0&0&0\end{pmatrix))}
首先,從高次方作f(x)除以g(x),求
q
(
x
)
{\displaystyle q(x)}
(
q
0
q
1
q
2
)
=
(
1
3
−
1
)
(
−
1
0
0
1
−
1
0
−
1
1
−
1
)
−
1
=
(
−
4
−
2
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}q_{0}&q_{1}&q_{2}\end{pmatrix))={\begin{pmatrix}1&3&-1\end{pmatrix)){\begin{pmatrix}-1&0&0\\1&-1&0\\-1&1&-1\end{pmatrix))^{-1}={\begin{pmatrix}-4&-2&1\end{pmatrix))}
q
(
x
)
=
−
4
−
2
x
+
x
2
{\displaystyle q(x)=-4-2x+x^{2))
再求
r
(
x
)
=
f
(
x
)
−
q
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle r(x)=f(x)-q(x)g(x)}
(
r
0
r
1
r
2
)
=
(
1
−
1
−
2
)
−
(
−
4
−
2
1
)
(
3
−
1
1
0
3
−
1
0
0
3
)
=
(
13
1
−
3
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}r_{0}&r_{1}&r_{2}\end{pmatrix))={\begin{pmatrix}1&-1&-2\end{pmatrix))-{\begin{pmatrix}-4&-2&1\end{pmatrix)){\begin{pmatrix}3&-1&1\\0&3&-1\\0&0&3\end{pmatrix))={\begin{pmatrix}13&1&-3\end{pmatrix))}
r
(
x
)
=
13
+
x
−
3
x
2
{\displaystyle r(x)=13+x-3x^{2))
[3]
MATLAB程式實作
f = [ 1 - 1 - 2 1 3 - 1 ];
g = [ 3 - 1 1 - 1 ];
zero_pad = zeros ( 1 , length ( f ) - length ( g ));
g = toeplitz ([ 3 zero_pad ], [ 3 - 1 1 - 1 zero_pad ]);
[ row_len , col_len ] = size ( g );
q = f ( end - row_len + 1 : end ) / g (:, end - row_len + 1 : end )
r = f ( 1 : end - row_len ) - q * g (:, 1 : end - row_len )
字典排列法
a
x
1
k
1
x
2
k
2
…
x
n
k
n
,
b
x
1
l
1
x
2
l
2
…
x
n
l
n
{\displaystyle ax_{1}^{k_{1))x_{2}^{k_{2))\dots x_{n}^{k_{n)),bx_{1}^{l_{1))x_{2}^{l_{2))\dots x_{n}^{l_{n))}
是两个不同的项
若存在i使得
k
1
=
l
1
,
…
,
k
i
−
1
=
l
i
−
1
{\displaystyle k_{1}=l_{1},\dots ,k_{i-1}=l_{i-1))
,但
k
i
>
l
i
{\displaystyle k_{i}>l_{i))
,则
a
x
1
k
1
x
2
k
2
…
x
n
k
n
{\displaystyle ax_{1}^{k_{1))x_{2}^{k_{2))\dots x_{n}^{k_{n))}
在
b
x
1
l
1
x
2
l
2
…
x
n
l
n
{\displaystyle bx_{1}^{l_{1))x_{2}^{l_{2))\dots x_{n}^{l_{n))}
前
例如
f
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
)
=
x
1
4
+
3
x
1
2
x
2
3
x
3
−
x
1
2
x
2
3
x
4
2
+
x
3
2
x
4
{\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=x_{1}^{4}+3x_{1}^{2}x_{2}^{3}x_{3}-x_{1}^{2}x_{2}^{3}x_{4}^{2}+x_{3}^{2}x_{4))
,这种排列法称为字典排列法 。[4]
任意環上的多項式
多項式可以推廣到係數在任意一個環 的情形,請參閱條目多項式環 。