环论
基礎概念 環 • 子環 • 商環 • 完全商環（英语：Total ring of fractions） • 環的直積（英语：Product ring） • 多項式環 • 矩陣環 理想 • 核 • 質理想 • 準質理想 • 極大理想 • 主理想 • 分式理想 • 根理想 • 冪零理想 • 雅各布森根 • 分式理想 環同態 • 核 • 內自同構 • 弗羅貝尼烏斯自同態 代數結構 • 模 • 代數 • 結合代數 • 階化環（英语：Graded ring） • *-代數（英语：*-algebra） • 環的範疇（英语：Category of rings） 相關結構 • 體 • 有限體 • 非結合環（英语：Non-associative algebra） • 李環 • 約爾旦環（英语：Jordan algebra） • 半環 • 半體（英语：Semifield）
交換代數 交換環 • 整環 • 整閉整環（英语：Integrally closed domain） • GCD環 • 唯一分解整環 • 主理想整環 • 歐幾里得整環 • 複合環（英语：Composition ring） • 多項式環 • 形式冪級數環 代數數論 • 代數數體 • 整數環（英语：Ring of integers） • 代數獨立 • 超越數論 • 超越次數 P進數 • P整數 • P有理數 代數幾何 • 仿射簇（英语：Affine variety）
非交換代數（英语：Noncommutative ring） 非交換環（英语：Noncommutative ring） • 除环 • 半本原環（英语：Semiprimitive ring） • 單環 • 交換子 非交換代數幾何（英语：Noncommutative algebraic geometry） 自由代數（英语：Free algebra） 克利福德代數 運算元代數（英语：Operator algebra）
查 论 编

在數學的抽象代數中，環上的模(module over a ring)的概念是對向量空間概念的推廣，這裡不再要求向量空間裡的純量的代數結構是體，進而放寬純量可以是環。

因此，模同向量空間一樣是加法交换群；在環元素和模元素之間定義了乘積運算，并且環元素和模元素的乘積是符合結合律的^{[註 1]}和分配律的。

模非常密切的關聯於群的表示理論。它們還是交換代數和同調代數的中心概念，并廣泛的用于代數幾何和代數拓撲中。

假設R 是環(ring)且1_R ∈ R，1_R 是其乘法運算的單位元素，則左R-模包括一個交換群(M, +)，以及一個映射(或運算)⋅ : R × M → M (叫做純量乘法或數積，通常把此運算的值 (r,x) 記作 rx 或是 r ⋅ x，r ∈ R 且 x ∈ M ) ，並且滿足以下條件

對所有r,s ∈ R, x,y ∈ M,

1. ${\displaystyle (r\cdot s)\cdot x=r\cdot (s\cdot x)}$
2. ${\displaystyle r\cdot (x+y)=r\cdot x+r\cdot y}$
3. ${\displaystyle (r+s)\cdot x=r\cdot x+s\cdot x}$
4. ${\displaystyle 1_{R}\cdot x=x.}$

有數學家的左模定義並不要求環有單位乘法元素1_R，所以他們的定義只含以上前三個條件而排除了第四個條件，並把以上的定義稱為"帶單位元(1_R )的左模"。

一個左R-模M 記作_RM，類似的右R-模M 記作M_R。

一個右R-模M或M_R與左R-模的定義相似，只是環的元素在右邊，即其純量乘法是⋅ : M × R → M。在左R-模的定義中，環的元素r 和s 是在M 的元素x 的左邊。若R 是可交換的，則左R-模與右R-模是一樣的，簡稱為R-模。

若R 是一個域則R-模就是R-向量空間。模是向量空間的推廣，有很多與向量間相同的性質，但通常沒基底。

• 所有 交換群 M是一個在整數環Z的模，其純量乘法是nx = x + x + ... + x（n個相加）對於n > 0, 0x = 0，以及(-n)x = -(nx)對於n < 0。
• 若R是一個環而n是一個自然數，則 Rⁿ 是一個R-模。
• 若M是一個光滑流形，則由M至實數的光滑函数是一個環R。在M上的所有向量場組成一個R-模。
• 所有 n×n 實數矩陣 組成一個環R。 歐幾里得空間Rⁿ 是一個左R-模，當中純量乘法就是矩陣的純量乘法。
• 若R是一個環而I是其中一個 左理想 ，則I是一個左R-模。

假設M是左R-模兼N是M的子集。如果對於所有n ∈ N及r ∈ R，乘積rn ∈ N（若是右模，nr），則N是_RM的子模（或更準確地，R-子集）。

若M和N是左R-模，若映射 f : M -> N有對所有m, n ∈ M及r, s ∈ R，f(rm + sn) = rf(m) + sf(n)，則稱映射 f為R-模同態。像其他同態，模同態保存了模的結構。

若M是左R-模，則一個R中元素r之作用定義為映射M → M，它將每個x映至rx（或者在右模的情況是xr），這必然是阿貝爾群（M,+）的群自同態。全體M的自同態記作End_Z(M)，它在加法與合成下構成一環，而將R的元素r映至其作用則給出從R至End_Z(M)之同態。

如此的環同態R → End_Z(M)稱作R在阿貝爾群M上的一個表示。左R-模的另一種等價定義是：一個阿貝爾群M配上一個R的表示。

一個表示稱作忠實的，若且唯若R → End_Z(M)是單射。以模論術語來說，這意謂若r是R的元素，且使得對所有M中的x都有rx=0，則r=0。任意阿貝爾群皆可表成整數環Z或其某一商環Z/nZ的忠實表示。