双射
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數學中,一個由集合映射至集合的函數,若對每一在內的,存在唯一一個在內的与其对应,且對每一在內的,存在唯一一個在內的与其对应,則此函數為對射函數。
換句話說,如果其為兩集合間的一一對應,则是雙射的。即,同時為單射和滿射。
例如,由整數集合至的函數,其將每一個整數連結至整數,這是一個雙射函數;再看一個例子,函數,其將每一對實數連結至,這也是個雙射函數。
一雙射函數亦簡稱為雙射(英語:bijection)或置換。後者一般較常使用在時。以由至的所有雙射組成的集合標記為。
雙射函數在許多數學領域扮演著很基本的角色,如在同構的定義(以及如同胚和微分同構等相關概念)、置換群、投影映射及許多其他概念的基本上。
複合函數與反函數
[编辑]一函數為雙射的若且唯若其逆關係也是個函數。在這情況,也會是雙射函數。
兩個雙射函數及的複合函數亦為雙射函數。其反函數為。
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另一方面,若為雙射的,可知是單射的且是滿射的,但也僅限於此。
一由至的關係為雙射函數若且唯若存在另一由至的關係,使得為上的恆等函數,且為上的恆等函數。必然地,此兩個集合會有相同的勢。
雙射與勢
[编辑]若和為有限集合,則其存在一兩集合的雙射函數若且唯若兩個集合有相同的元素個數。確實,在公理集合論裡,這正是「相同元素個數」的定義,且廣義化至無限集合,並導致了基數的概念,用以分辨無限集合的不同大小。
例子與反例
[编辑]- 對任一集合,其恆等函數為雙射函數。
- 函數,其形式為,是雙射的,因為對任一,存在一唯一使得。
- 指數函數,其形式為,不是雙射的:因為不存在一內的使得,故非為雙射。但若其陪域改成正實數,則便是雙射的了;其反函數為自然對數函數。
- 函數 : ,其形式為,不是雙射的:因為,故非為雙射。但如果把定義域也改成,則便是雙射的了;其反函數為正平方根函數。
- 不是雙射函數,因為和都在其定義域裡且都映射至。
- 不是雙射函數,因為和2都在其定義域裡且都映射至。
性質
[编辑]- 一由實數至的函數是雙射的,若且唯若其圖像和任一水平線相交且只相交於一點。
- 設為一集合,則由至其本身的雙射函數,加上其複合函數「」的運算,會形成一個群,即為的對稱群,其標記為、或。
- 取一定義域的子集及一陪域的子集,則
- 且。
- 為一雙射函數。
- 為一滿射函數。
- 為一單射函數。
- 一个严格的单调函数是双射函数,但双射函数不一定是单调函数(例如)。
雙射與範疇論
[编辑]另見
[编辑]參考文獻
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- Smith; Eggen; St.Andre. A Transition to Advanced Mathematics (6th Ed.). Thomson (Brooks/Cole). 2006.
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外部連結
[编辑]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png)
- Hazewinkel, Michiel (编), Bijection, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- 埃里克·韦斯坦因. Bijection. MathWorld.
- Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.(页面存档备份,存于互联网档案馆)
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