多重完全數（multiply perfect number）為一數學名詞，是一種廣義的完全數。

針對一自然數k，自然數n為k重完全數的充份必要條件是n所有正因數的和（即除數函數，σ(n)）等於n的k倍，此定義下，完全數的除數函數為本身的2倍，因此是2重完全數。不論k的數值為何，k重完全數都屬於多重完全數。至2004年7月為止．已經找到k為11的多重完全數。

可以證明：

• 針對一質數p，若n為p重完全數且p無法整除n，則pn為(p+1)重完全數。因此可推得若整數n3重完全數，可被2整除但不能可被4整除，其充份必要條件是n/2需為奇數的完全數，至2012年12月為止，尚未發現任何奇數的完全數。
• 若3n為4k重完全數，且3無法整除n，則n為3k-重完全數。

最小的k重完全數

以下列出k <= 7時，各k值最小的k重完全數（OEIS數列A007539）：

例如，120的除數函數滿足以下的關係：

1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60+120 = 360 = 3 × 120.

120的除數函數為120的三倍，因此為3重完全數：

參考資料

• Laatsch, Richard. Measuring the abundancy of integers. Mathematics Magazine. 1986, 59 (2): 84–92. ISSN 0025-570X. JSTOR 2690424. MR 0835144. Zbl 0601.10003. 
• Merickel, James G. Problem 10617 (Divisors of sums of divisors). Am. Math. Monthly. 1999, 106 (7): 693. JSTOR 2589515. MR 1543520. 
• Weiner, Paul A. The abundancy ratio, a measure of perfection. Math. Mag. 2000, 73 (4): 307–310. JSTOR 2690980. MR 1573474. 
• Sorli, Ronald M., Algorithms in the study of multiperfect and odd perfect numbers, 2003 
• Ryan, Richard F. A simpler dense proof regarding the abundancy index. Math. Mag. 2003, 76 (4): 299–301. JSTOR 3219086. MR 1573698. 
• Guy, Richard K. Unsolved problems in number theory 3rd. Springer-Verlag. 2004. B2. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001. 
• Broughan, Kevin A.; Zhou, Qizhi. Odd multiperfect numbers of abundancy 4. J. Number Theory. 2008, 126 (6): 1566–1575. MR 2419178. doi:10.1016/j.jnt.2007.02.001. 
• Ward, Jeffrey. Does ten have a friend?. arXiv:0806.1001 . 

外部連結

• The Multiply Perfect Numbers page （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• The Prime Glossary: Multiply perfect numbers （页面存档备份，存于互联网档案馆）

查 论 编 和因數有關的整數分類 簡介 質因數分解 因數 元因數 除數函數 質因數 算术基本定理 依因數分解分類 质数 合数 半素数 普洛尼克数 楔形数 无平方数因数的数 冪數 質數冪 平方數 立方數 次方數 阿喀琉斯數 光滑數 正规数 粗糙數 不尋常數 依因數和分類 完全数 殆完全數 准完全数 多重完全數 Hemiperfect數 Hyperperfect number（英语：Hyperperfect number） 超完全數 元完全數 半完全数 本原半完全数 實際數 有許多因數 过剩数 本原過剩數 高過剩數 超過剩數 可羅薩里過剩數 高合成数 Superior highly composite number（英语：Superior highly composite number） 奇異數 和真因子和數列有關 不可及数 相亲数 交際數 婚約數 其他 亏数 友誼數 孤獨數 卓越数 歐爾調和數 佩服數 節儉數 等數位數 奢侈數