系列条目
微积分学
函数 极限论 微分学 积分 微积分基本定理 微积分发现权之争（英语：Leibniz–Newton calculus controversy）
基础概念（含极限论和级数论） 实数性质 函数 · 单调性 · 初等函数 · 数列 · 极限 · 实数的构造（1=0.999…） · 无穷（衔尾蛇） · 无穷小量 · ε-δ语言 · 实无穷（英语：Actual infinity） · 大O符号 · 最小上界 · 收敛数列 · 芝诺悖论 · 柯西序列 · 单调收敛定理 · 夹挤定理 · 波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理 · 斯托尔兹-切萨罗定理 · 上极限和下极限 · 函数极限 · 渐近线 · 邻域 · 连续 · 连续函数 · 不连续点 · 狄利克雷函数 · 稠密集 · 一致连续 · 紧集 · 海涅-博雷尔定理 · 支撑集 · 欧几里得空间 · 点积 · 外积 · 三重积 · 拉格朗日恒等式 · 等价范数 · 坐标系 · 多元函数 · 凸集 · 巴拿赫不动点定理 · 级数 · 收敛级数（英语：convergent series） · 几何级数 · 调和级数 · 项测试 · 格兰迪级数 · 收敛半径 · 审敛法 · 柯西乘积 · 黎曼级数重排定理 · 函数项级数（英语：function series） · 一致收敛 · 迪尼定理 数列与级数 连续 函数
一元微分 差分 · 均差 · 微分 · 微分的线性（英语：linearity of differentiation） · 导数（流数法 · 二阶导数 · 光滑函数 · 高阶微分 · 莱布尼兹记号（英语：Leibniz's_notation） · 幽灵似的消失量） · 介值定理 · 中值定理（罗尔定理 · 拉格朗日中值定理 · 柯西中值定理） · 泰勒公式 · 求导法则（乘积法则 · 广义莱布尼茨定则（英语：General Leibniz rule） · 除法定则 · 倒数定则 · 链式法则） · 洛必达法则 · 反函数的微分 · Faà di Bruno公式（英语：Faà di Bruno's formula） · 对数微分法 · 导数列表 · 导数的函数应用（单调性 · 切线 · 极值 · 驻点 · 拐点 · 求导检测（英语：derivative test） · 凸函数 · 凹函数 · 简森不等式 · 曲线的曲率 · 埃尔米特插值） · 达布定理 · 魏尔施特拉斯函数
一元积分 积分表 定义 不定积分 定积分 黎曼积分 达布积分 勒贝格积分 积分的线性 求积分的技巧（换元积分法 · 三角换元法 · 分部积分法 · 部分分式积分法 · 降次积分法） 微元法 · 积分第一中值定理 · 积分第二中值定理 · 微积分基本定理 · 反常积分 · 柯西主值 · 积分函数（Β函数 · Γ函数 · 古德曼函数 · 椭圆积分） · 数值积分（矩形法 · 梯形公式 · 辛普森积分法 · 牛顿-寇次公式） · 积分判别法 · 傅里叶级数（狄利克雷定理 · 周期延拓） · 魏尔施特拉斯逼近定理 · 帕塞瓦尔定理 · 刘维尔定理
多元微积分 偏导数 · 隐函数 · 全微分（微分的形式不变性） · 二阶导数的对称性 · 全微分 · 方向导数 · 标量场 · 向量场 · 梯度（Nabla算子） · 多元泰勒公式 · 拉格朗日乘数 · 黑塞矩阵 · 鞍点 · 多重积分（逐次积分 · 积分顺序（英语：Order of integration (calculus)）） · 积分估值定理 · 旋转体 · 帕普斯-古尔丁中心化旋转定理 · 祖暅-卡瓦列里原理 · 托里拆利小号 · 雅可比矩阵 · 广义多重积分（高斯积分） · 若尔当曲线 · 曲线积分 · 曲面积分（施瓦茨的靴（俄语：Сапог Шварца）） · 散度 · 旋度 · 通量 · 可定向性 · 格林公式 · 高斯散度定理 · 斯托克斯定理及其外微分形式 · 若尔当测度 · 隐函数定理 · 皮亚诺-希尔伯特曲线 · 积分变换 · 卷积定理 · 积分符号内取微分 (莱布尼茨积分定则（英语：Leibniz integral rule）) · 多变量原函数的存在性（全微分方程） · 外微分的映射原像存在性（恰当形式） · 向量值函数 · 向量空间内的导数推广（英语：generalizations of the derivative）（加托导数 · 弗雷歇导数 · 矩阵的微积分（英语：matrix calculus）） · 弱微分
微分方程 常微分方程 · 柯西-利普希茨定理 · 皮亚诺存在性定理 · 分离变数法 · 级数展开法 · 积分因子 · 拉普拉斯算子 · 欧拉方法 · 柯西-欧拉方程 · 伯努利微分方程 · 克莱罗方程 · 全微分方程 · 线性微分方程 · 叠加原理 · 特征方程式 · 朗斯基行列式 · 微分算子法 · 差分方程 · 拉普拉斯变换 · 偏微分方程（拉普拉斯方程 · 泊松方程） · 施图姆-刘维尔理论 · N体问题 · 积分方程
相关数学家 牛顿 · 莱布尼兹 · 柯西 · 魏尔斯特拉斯  · 黎曼 · 拉格朗日 · 欧拉 · 帕斯卡 · 海涅 · 巴罗 · 波尔查诺 · 狄利克雷 · 格林 · 斯托克斯 · 若尔当 · 达布 · 傅里叶 · 拉普拉斯 · 雅各布·伯努利 · 约翰·白努利 · 阿达马 · 麦克劳林 · 迪尼 · 沃利斯 · 费马 · 达朗贝尔 · 黑维塞 · 吉布斯 · 奥斯特罗格拉德斯基 · 刘维尔 · 棣莫弗 · 格雷果里 · 玛达瓦（英语：Madhava of Sangamagrama） · 婆什迦罗第二 · 阿涅西 · 阿基米德
历史名作 从无穷小量分析来理解曲线（英语：Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes） · 分析学教程（英语：Cours d'Analyse） · 无穷小分析引论 · 用无穷级数做数学分析（英语：De analysi per aequationes numero terminorum infinitas） · 流形上的微积分（英语：Calculus on Manifolds (book)） · 微积分学教程 · 纯数学教程（英语：A Course of Pure Mathematics） · 机械原理方法论（英语：The Method of Mechanical Theorems）
分支学科 实变函数论 · 复分析 · 傅里叶分析 · 变分法 · 特殊函数 · 动力系统 · 微分几何 · 微分代数 · 向量分析 · 分数微积分 · 玛里亚温微积分（英语：Malliavin calculus） · 随机分析 · 最优化 · 非标准分析
查 论 编

在数学中，隐式方程（英语：implicit equation）是形同${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=0}$的关系，其中${\displaystyle f}$是多元函数。比如单位圆的隐式方程是${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$。

隐函数（implicit function）是由隐式方程所隐含定义的函数，比如${\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2))))$是由${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$确定的函数。而可以直接用含自变量的算式表示的函数称为显函数，也就是通常所说的函数，如${\displaystyle y=\cos(x)}$。

隐函数定理说明了隐式方程在什么情况下会确定出隐函数。

例子

反函数

隐函数的一个常见类型是反函数。若${\displaystyle f}$是一个函数，那么${\displaystyle f}$的反函数记作${\displaystyle f^{-1))$, 是给出下面方程解的函数

${\displaystyle x=f(y)}$

用x表示y。这个解是

${\displaystyle y=f^{-1}(x).}$

直观地，通过交换f自变量和因变量的位置就可以得到反函数。换一种说法，反函数给出该方程对于${\displaystyle y}$的解

${\displaystyle R(x,y)=x-f(y)=0.\,}$

例子

1. 对数函数 ${\displaystyle \ln x}$ 给出方程${\displaystyle x-e^{y}=0}$或等价的${\displaystyle x=e^{y))$的解${\displaystyle y=\ln x}$。 这里${\displaystyle f(y)=e^{y))$并且${\displaystyle f^{-1}(x)=\ln x}$。
2. 朗伯W函数则可以解出${\displaystyle x-ye^{y}=0}$的${\displaystyle y}$值。

代数函数

一个代数函数是满足自身多项式系数的多项式方程的函数。例如，单变量 ${\displaystyle x}$ 的代数函数给出一个方程中 ${\displaystyle y}$ 的解。

${\displaystyle a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0\,}$

其中系数 ${\displaystyle a_{i}(x)}$ 为 ${\displaystyle x}$ 的多项式函数。

代数函数在数学分析和代数几何中扮演重要角色，我们再拿单位圆方程式来当作代数函数的范例：

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0.\,}$

那么 ${\displaystyle y}$ 的显函数解显然是：

${\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2))}\,}$

但其实我们不一定要把它的显函数解写出来，它也可以直接利用隐函数来表达。

对于y的二次、三次和四次方程，可以找到只包含有限次四则运算和开方运算的显函数解, 但这并不适用于包括五次在内的更高次数的方程（参见阿贝尔-鲁菲尼定理），例如：

${\displaystyle y^{5}+2y^{4}-7y^{3}+3y^{2}-6y-x=0.\,}$

但是，我们仍然可以以隐函数 y = g(x) 的方式来表达。

隐函数的导数

隐函数导数的求解一般可以采用以下方法：

方法一

• 把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。

示例

把一元隐函数${\displaystyle y=g(x)}$看作二元函数${\displaystyle f(x,y)=0}$，若欲求${\displaystyle {\frac {dy}{dx))}$，对${\displaystyle f}$取全微分，可得${\displaystyle df(x,y)=f_{x}dx+f_{y}dy=0}$，经过移项可得${\displaystyle {\frac {dy}{dx))=-{\frac {f_{x)){f_{y))))$

（式中${\displaystyle f_{x))$表示${\displaystyle f(x,y)}$关于${\displaystyle x}$的偏导数${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x))}$，以此类推）。

把2元隐函数${\displaystyle y=g(x,z)}$看作3元函数${\displaystyle f(x,y,z)=0}$，若欲求${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x))}$，对${\displaystyle f}$取全微分，可得${\displaystyle df(x,y,z)=f_{x}dx+f_{y}dy+f_{z}dz=0}$ 。

由于所求为${\displaystyle {\frac {\partial g(x,z)}{\partial x))}$，令z为常数，即${\displaystyle dz=0}$，经过移项可得${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x))=-{\frac {f_{x)){f_{y))))$

方法二

• 针对1元隐函数，把${\displaystyle y}$看作${\displaystyle x}$的函数，利用链式法则在隐函数等式两边分别对${\displaystyle x}$求导，再通过移项求得${\displaystyle {\frac {dy}{dx))}$的值。
• 针对2元隐函数，把${\displaystyle y,z}$看作${\displaystyle x}$的函数，利用链式法则在隐函数等式两边分别对${\displaystyle x}$求导，令${\displaystyle dz=0}$，再通过移项求得${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x))}$的值。

示例

• 针对${\displaystyle y^{n))$：

${\displaystyle {\frac {d}{dx))y^{n}=n\cdot y^{n-1}{\frac {dy}{dx))}$

• 针对${\displaystyle x^{m}y^{n))$：

${\displaystyle {\frac {d}{dx))x^{m}y^{n}=n\cdot x^{m}y^{n-1}{\frac {dy}{dx))+m\cdot x^{m-1}y^{n))$

• 求${\displaystyle \ 12x^{7}-7x^{4}y^{3}+6xy^{5}-14y^{6}+25=10}$中y对x的导数。

为了方便辨别相应的导数部分，各项都以不同颜色分开（常数则以黑色表示）。

${\displaystyle {\color {Blue}12x^{7)){\color {Red}-7x^{4}y^{3)){\color {Green}+6xy^{5)){\color {Brown}-14y^{6))+25=10}$

1.两边皆取其相应的导数，得出

${\displaystyle {\color {Blue}12\cdot 7x^{6)){\color {Red}-7\left(3x^{4}y^{2}{\frac {dy}{dx))+4x^{3}y^{3}\right)}{\color {Green}+6\left(5xy^{4}{\frac {dy}{dx))+y^{5}\right)}{\color {Brown}-14\cdot 6y^{5}{\frac {dy}{dx))}+0=0}$

2.移项处理。

${\displaystyle {\color {Blue}84x^{6)){\color {Red}-28x^{3}y^{3)){\color {Green}+6y^{5))={\color {Red}21x^{4}y^{2}{\frac {dy}{dx))}{\color {Green}-30xy^{4}{\frac {dy}{dx))}{\color {Brown}+84y^{5}{\frac {dy}{dx))))$

3.提出导数因子。

${\displaystyle {\color {Blue}84x^{6)){\color {Red}-28x^{3}y^{3)){\color {Green}+6y^{5))=\left({\color {Red}21x^{4}y^{2)){\color {Green}-30xy^{4)){\color {Brown}+84y^{5))\right)\left({\frac {dy}{dx))\right)}$

4.移项处理。

${\displaystyle {\frac {dy}{dx))={\frac ((\color {Blue}84x^{6)){\color {Red}-28x^{3}y^{3)){\color {Green}+6y^{5))}((\color {Red}21x^{4}y^{2)){\color {Green}-30xy^{4)){\color {Brown}+84y^{5))))}$

5.完成。得出其导数为${\displaystyle {\frac {84x^{6}-28x^{3}y^{3}+6y^{5)){21x^{4}y^{2}-30xy^{4}+84y^{5))))$。

6.选择性步骤：因式分解。

${\displaystyle {\frac {dy}{dx))={\frac {2\left(42x^{6}-14x^{3}y^{3}+3y^{5}\right)}{3y^{2}\left(7x^{4}-10xy^{2}+28y^{3}\right)))}$

参见

• 反函数