数学 上，曲面积分 ，也称为面积分 （英语：Surface integral ），是在曲面 上的定积分 （曲面可以是空间 中的弯曲子集 ）；它可以视为和线积分 相似的双重积分 。给定一个曲面，可以在上面对标量场 （也就是实数值的函数 ）进行积分，也可以对向量场 （也就是向量 值的函数）积分。
面积分在物理 中有大量应用，特别是在电磁学 的经典物理学 中。
面积分的定义依赖于将曲面细分成小的面积元。 单个面积元的图示。这些面积元通过极限过程成为无穷小的元素以逼近曲面。
标量场的面积分
考虑定义在曲面S 上的实函数
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
S
{\displaystyle S}
要找到面积分的直接公式，首先需要参数化 曲面S ，也即在S 上建立坐标系 ，就像球面 上的经纬度 。令参数化为x (s , t )，其中(s , t )在某个平面 上的区域T 中变化。则
f
{\displaystyle f}
S
{\displaystyle S}
∬
S
f
d
S
=
∬
T
f
(
x
(
s
,
t
)
)
|
∂
x
∂
s
×
∂
x
∂
t
|
d
s
d
t
{\displaystyle \iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left|{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial s))\times {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t))\right|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}
其中
|
∂
x
∂
s
×
∂
x
∂
t
|
{\displaystyle \textstyle \left|{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial s))\times {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t))\right|}
x (s , t )的偏导数 的外积 这向量的长度，而
|
∂
x
∂
s
×
∂
x
∂
t
|
d
s
d
t
{\displaystyle \textstyle \left|{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial s))\times {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t))\right|\mathrm {d} s\mathrm {d} t}
S
{\displaystyle S}
例如，如果要找出某个函数（
z
=
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle z=f\,(x,y)}
A
=
∬
S
d
S
=
∬
T
|
∂
r
∂
x
×
∂
r
∂
y
|
d
x
d
y
{\displaystyle A=\iint _{S}\,\mathrm {d} S=\iint _{T}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x))\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial y))\right|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}
其中
r
=
(
x
,
y
,
z
)
=
(
x
,
y
,
f
(
x
,
y
)
)
{\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=(x,y,f(x,y))}
∂
r
∂
x
=
(
1
,
0
,
f
x
(
x
,
y
)
)
{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x))=(1,0,f_{x}(x,y))}
∂
r
∂
y
=
(
0
,
1
,
f
y
(
x
,
y
)
)
{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial y))=(0,1,f_{y}(x,y))}
A
=
∬
T
‖
(
1
,
0
,
∂
f
∂
x
)
×
(
0
,
1
,
∂
f
∂
y
)
‖
d
x
d
y
=
∬
T
‖
(
−
∂
f
∂
x
,
−
∂
f
∂
y
,
1
)
‖
d
x
d
y
=
∬
T
(
∂
f
∂
x
)
2
+
(
∂
f
∂
y
)
2
+
1
d
x
d
y
{\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=\iint _{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint _{T}\left\|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1))\,\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\end{aligned))}
这就是一般以
(
x
,
y
,
f
(
x
,
y
)
)
{\displaystyle (x,y,f(x,y))}
法向量 。
注意，因为外积的存在，这里的公式只在曲面嵌入在三维空间中时适用。
向量场的面积分
曲面上的向量场。 考虑S 上的向量场v ，对于每个S 上的点x ，v (x )是一个向量。想象一个穿过S 的液体流，使得v (x )决定液体在x 的速度。则流量 定义为单位时间穿过S 的液体量。
这个解释意味着如果向量场和S 在每点相切 ，则流量为0，因为液体平行 于S 流动，从而不进不出。这也意味着如果v 不仅仅沿着S 流动，也即，如果v 既有切向分量也有法向分量，则只有法向分量对流量作出贡献。基于这个推理，要找出流量，我们必须取v 和S 上每点的单位法向量 的点积 ，这就给出了一个标量场，然后就可以用上述方式积分。公式如下
∫
S
v
⋅
d
S
=
∫
S
(
v
⋅
n
)
d
S
=
∬
T
v
(
x
(
s
,
t
)
)
⋅
(
∂
x
∂
s
×
∂
x
∂
t
)
d
s
d
t
.
{\displaystyle \int _{S}{\mathbf {v} }\cdot \,\mathrm {d} {\mathbf {S} }=\int _{S}({\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} })\,\mathrm {d} S=\iint _{T}{\mathbf {v} }(\mathbf {x} (s,t))\cdot \left({\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right)\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t.}
右手边的叉积是由参数化所决定的法向量。
该公式定义 为向量场v 在S 上的面积分。
微分2-形式的面积分
令
ω
=
f
x
d
y
∧
d
z
+
f
y
d
z
∧
d
x
+
f
z
d
x
∧
d
y
{\displaystyle \omega =f_{x}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+f_{y}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+f_{z}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}
为定义在曲面S 上的2阶微分形式 ，并令
x
(
s
,
t
)
=
(
x
(
s
,
t
)
,
y
(
s
,
t
)
,
z
(
s
,
t
)
)
{\displaystyle \mathbf {x} (s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t))\!}
为一保定向 的在曲面
S
{\displaystyle S}
(
s
,
t
)
∈
D
⊆
R
2
{\displaystyle (s,t)\in D\subseteq \mathbb {R} ^{2))
ω
{\displaystyle \omega }
S 上的面积分变成
∬
D
[
f
x
(
x
(
s
,
t
)
)
∂
(
y
,
z
)
∂
(
s
,
t
)
+
f
y
(
x
(
s
,
t
)
)
∂
(
z
,
x
)
∂
(
s
,
t
)
+
f
z
(
x
(
s
,
t
)
)
∂
(
x
,
y
)
∂
(
s
,
t
)
]
d
s
d
t
{\displaystyle \iint _{D}\left[f_{x}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)))+f_{y}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)))+f_{z}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)))\right]\,\mathrm {d} s\mathrm {d} t}
其中
∂
x
∂
s
×
∂
x
∂
t
=
(
∂
(
y
,
z
)
∂
(
s
,
t
)
,
∂
(
z
,
x
)
∂
(
s
,
t
)
,
∂
(
x
,
y
)
∂
(
s
,
t
)
)
)
{\displaystyle {\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}=\left({\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t))),{\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t))),{\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t))))\right)}
为S 的法向量。利用微分形式（2-form）的变数变换，我们有
∫
S
ω
=
∬
S
(
f
x
,
f
y
,
f
z
)
⋅
d
S
=
∬
S
(
f
x
,
f
y
,
f
z
)
⋅
n
d
S
{\displaystyle \int _{S}\omega =\iint _{S}(f_{x},f_{y},f_{z})\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iint _{S}(f_{x},f_{y},f_{z})\cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S}
ω
{\displaystyle \omega }
f
x
{\displaystyle f_{x))
f
y
{\displaystyle f_{y))
f
z
.
{\displaystyle f_{z}.}
涉及面积分的定理
面积分中很多有用的结果可以用微分几何 和向量微积分 导出，例如散度定理 及其推广斯托克斯定理 。
进阶问题
注意面积分的定义中用到曲面S 的参数化。而给定曲面可以有多种参数化。例如，如果移动球面上南极和北极的位置，所有球面上的点的经度和纬度都会改变。很自然就有面积分是否依赖于给定参数化的问题。对于标量场的积分，答案很简单：无论参数化为何，面积分不变。
对于向量场，情况复杂一些，因为积分时涉及到曲面的法向量。如果两个参数化下法向量的定向相同，则积分值不变。如果法向量定向相反，则积分值相反。因此，不需要规定特定的参数化，但是对于法向量，不同的参数化的定向必须保持一致。
另外一个问题是，有时曲面没有覆盖整个曲面的单一参数化；譬如对于有限长的圆柱面 就是这样。一个直接的解决办法就是将曲面切成几片，在每一片上求面积分，然后加起来。这就是正确的办法，但是对向量场积分的时候，必须小心，要让每个小片的法向量定向和周围的一致。对于柱面来讲，也就是让所有片的法向量向外指。
最后一个问题是，有些曲面没有一个一致的法向量（譬如莫比乌斯带 ）。对于这样的曲面，无法找到一致的定向。这样的曲面称为不可定向的 ，在其上无法进行向量场的积分。
![{\displaystyle \iint _{D}\left[f_{x}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)))+f_{y}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)))+f_{z}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)))\right]\,\mathrm {d} s\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/519109d412393406f055858751dd82aa18e7ee60)
