在数学 中，线积分 （英语：Line integral ）[注 1] 积分 的一种。积分函数的取值沿的不是区间 ，而是被称为积分路径的特定曲线 。[注 2]
在曲线积分中，被积的函数 可以是标量 函数或向量 函数。当被积函数是标量函数时，积分的值是积分路径各点上的函数值乘上该点切向量的长度，在被积分函数是向量函数时，积分值是积分向量函数与曲线切向量的内积。在函数是标量函数的情形下，可以把切向量的绝对值（长度）看成此曲线把该点附近定义域的极小区间，在到达域 内拉长了切向量绝对值的长度，这也是曲线积分与一般区间 上的积分的主要不同点。物理 学中的许多简洁公式（例如W =F ·s ）在推广之后都是以曲线积分的形式出现
W
=
∫
C
F
⋅
d
s
{\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} }
曲线积分在物理学中是很重要的工具，例如计算电场 或重力场 中的做功 。
向量分析
大致来说，向量分析 中的曲线积分可以看成在某一场中沿特定路径的累积效果。更具体地说，如果曲线
C
⊆
R
2
{\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} ^{2))
C
{\textstyle C}
z = f (x ,y )和x -y 平面内的曲线C 来想像这个曲面，可以把
x
-
y
{\displaystyle x{\text{-))y}
C
{\displaystyle C}
f
{\displaystyle f}
f
≥
0
{\displaystyle f\geq 0}
f
{\displaystyle f}
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
,
f
(
x
,
y
)
)
{\textstyle (x(t),y(t),f(x,y))}
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
)
{\textstyle (x(t),y(t))}
C
{\textstyle C}
标量场的曲线积分
梯度场中的曲线积分
定义
设有标量场 ：F : U ⊆ R n
→
{\displaystyle \to }
R ，则对于路径C ⊂ U ，F 的曲线积分是：
∫
C
f
d
s
=
∫
a
b
f
(
r
(
t
)
)
|
r
′
(
t
)
|
d
t
.
{\displaystyle \int _{C}f\,\mathrm {d} s=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|\,\mathrm {d} t.}
其中，r : [a, b]
→
{\displaystyle \to }
C 是一个一一对应 的参数方程 ，并且r (a )和r (b )分别是路径曲线C 的两个端点。
f 称为积分函数 ，C 是积分路径。不严格地说，ds 可以被看作积分路径上的一段很小的“弧长”。曲线积分的结果不依赖于参量化函数r 。
几何上，当标量场f 定义在一个平面（n =2）上时，它的图像是空间中一个曲面z =f (x ,y )，曲线积分就是以曲线C 为界的有符号的截面面积。参见动画演示。
向量场的曲线积分
向量场的曲线积分 设有向量场 ：F : U ⊆ R n
→
{\displaystyle \to }
R n C ⊂ U 上关于方向r 的曲线积分是：
∫
C
F
(
r
)
⋅
d
r
=
∫
a
b
F
(
r
(
t
)
)
⋅
r
′
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,\mathrm {d} t.}
其中，r : [a, b]
→
{\displaystyle \to }
C 是一个一一 的参量化函数 ，并且r (a )和r (b )分别是路径曲线C 的两个端点。这时曲线积分值的绝对值 与参量化函数r 无关，但其方向与参量化函数r 的选择有关。特别地，当方向相反时，积分值也相反。
与路径无关的条件
如果向量场F 是一个标量场G 的梯度 ，即：
∇
G
=
F
,
{\displaystyle \nabla G=\mathbf {F} ,}
那么，由G 和r 组成的复合函数 的导数是：
d
d
t
G
(
r
(
t
)
)
=
∇
G
(
r
(
t
)
)
⋅
r
′
(
t
)
=
F
(
r
(
t
)
)
⋅
r
′
(
t
)
{\displaystyle {\operatorname {d} \over \operatorname {d} \!t}G{\bigl (}\mathbf {r} (t){\bigr )}=\nabla G{\bigl (}\mathbf {r} (t){\bigr )}\cdot \mathbf {r} '(t)=\mathbf {F} {\bigl (}\mathbf {r} (t){\bigr )}\cdot \mathbf {r} '(t)}
于是对路径C 就有：
∫
C
F
(
r
)
⋅
d
r
=
∫
a
b
F
(
r
(
t
)
)
⋅
r
′
(
t
)
d
t
=
∫
a
b
d
G
(
r
(
t
)
)
d
t
d
t
=
G
(
r
(
b
)
)
−
G
(
r
(
a
)
)
{\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} {\bigl (}\mathbf {r} (t){\bigr )}\cdot \mathbf {r} '(t)\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}{\frac {\mathrm {d} G{\bigl (}\mathbf {r} (t){\bigr ))){\mathrm {d} t))\,\mathrm {d} t=G{\bigl (}\mathbf {r} (b){\bigr )}-G{\bigl (}\mathbf {r} (a){\bigr )))
用文字表示，就是说若F 是一个梯度场，那么F 的曲线积分与所取的路径无关，而只与路径的起点和终点的选取有关。
应用
在各种保守力 的场都是路径无关的，一个常见的例子就是重力场或电场。在计算这种场的做功时，可以选择适当的路径进行积分，使得计算变得简单。
曲线积分与复分析的关系
如果将复数 看作二维 的向量，那么二维向量场的曲线积分就是相应复函数的共轭 函数在同样路径上的积分值的实部 。
根据柯西-黎曼方程 ，一个全纯函数 的共轭函数所对应的向量场的旋度 是0。
复曲线积分
在复分析 中，曲线积分是通过复数的加法和乘法定义的。令
U
{\displaystyle U}
复数集
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
开子集 ，
f
:
U
→
C
{\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }
L
⊂
U
{\displaystyle L\subset U}
γ
:
[
a
,
b
]
→
L
{\displaystyle \gamma :[a,b]\to L}
可求长曲线 ，其中
γ
(
t
)
=
x
(
t
)
+
i
y
(
t
)
{\displaystyle \gamma (t)=x(t)+iy(t)}
∫
L
f
(
z
)
d
z
{\displaystyle \int _{L}f(z)\,\mathrm {d} z}
可以通过将区间
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
a
=
t
0
<
t
1
<
⋯
<
t
n
=
b
{\displaystyle a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=b}
∑
k
=
1
n
f
(
γ
(
t
k
)
)
[
γ
(
t
k
)
−
γ
(
t
k
−
1
)
]
=
∑
k
=
1
n
f
(
γ
k
)
Δ
γ
k
.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(\gamma (t_{k}))[\gamma (t_{k})-\gamma (t_{k-1})]=\sum _{k=1}^{n}f(\gamma _{k})\Delta \gamma _{k}.}
曲线积分是区间分划的长度趋于零时这个黎曼和 的极限 。
当
γ
{\displaystyle \gamma }
连续可微 时，曲线积分可以用一个实变函数的积分表示：
∫
L
f
(
z
)
d
z
=
∫
a
b
f
(
γ
(
t
)
)
γ
′
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle \int _{L}f(z)\,\mathrm {d} z=\int _{a}^{b}f{\bigl (}\gamma (t){\bigr )}\,\gamma \,'(t)\,\mathrm {d} t.}
当
L
{\displaystyle L}
f
{\displaystyle f}
L
{\displaystyle L}
∮
L
f
(
z
)
d
z
{\displaystyle \oint _{L}f(z)\,dz}
对于共轭微分算子
d
z
¯
{\displaystyle {\overline {dz))}
[1]
∫
L
f
d
z
¯
=
∫
L
f
¯
d
z
¯
=
∫
a
b
f
(
γ
(
t
)
)
γ
′
(
t
)
¯
d
t
.
{\displaystyle \int _{L}f{\overline {\mathrm {d} z))={\overline {\int _{L}{\overline {f))\mathrm {d} z))=\int _{a}^{b}f{\bigl (}\gamma (t){\bigr )}\,{\overline {\gamma '(t)))\,\mathrm {d} t.}
复函数的曲线积分有很多技巧。将复函数分作实部和虚部，可以将问题简化为两个实值函数的曲线积分。其它情况下可以用柯西积分公式 。如果积分路径是闭合的，并且积分函数在区域中是解析 的且没有奇点 ，那么它的曲线积分是零，这是柯西积分定理 的推论。根据留数定理 ，可以用复平面上的围道积分计算实值函数在实区间上的积分。
例子
考虑复函数
f
(
z
)
=
1
z
{\displaystyle f(z)={\frac {1}{z))}
L
{\displaystyle L}
单位圆 （模长为1的复数的集合）。我们使用
γ
(
t
)
=
e
i
t
{\displaystyle \gamma (t)=e^{it))
t
{\displaystyle t}
[
0
,
2
π
]
{\displaystyle [0,2\pi ]}
∮
L
f
(
z
)
d
z
=
∫
0
2
π
1
e
i
t
i
e
i
t
d
t
=
i
∫
0
2
π
e
−
i
t
e
i
t
d
t
=
i
∫
0
2
π
d
t
=
i
(
2
π
−
0
)
=
2
π
i
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{L}f(z)\,\mathrm {d} z&=\int _{0}^{2\pi }{1 \over e^{it))ie^{it}\,\mathrm {d} t=i\int _{0}^{2\pi }e^{-it}e^{it}\,\mathrm {d} t\\&=i\int _{0}^{2\pi }\,\mathrm {d} t=i(2\pi -0)=2\pi i.\end{aligned))}
用柯西积分定理 也可以得到结果。
量子力学
量子力学 中的“曲线积分形式 ”和曲线积分 并不相同，因为曲线积分形式中所用的积分是函数空间 上的泛函积分 ，即关于空间中每个路径的概率 函数进行积分。然而，曲线积分在量子力学中仍有重要作用，比如说复围道积分常常用来计算量子散射 理论中的概率振幅 。
参考文献
^ Ahlfors, Lars. Complex Analysis 2nd edition. : 103.
![{\displaystyle \gamma :[a,b]\to L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6286a9dc849e9a137330757030408cc8e2a71baf)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(\gamma (t_{k}))[\gamma (t_{k})-\gamma (t_{k-1})]=\sum _{k=1}^{n}f(\gamma _{k})\Delta \gamma _{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f0b31adece290a85580a3b70a88f05091d20aee)
![{\displaystyle [0,2\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/348d40bf3f8b7e1c00c4346440d7e2e4f0cc9b91)
