Сме́шанное произведе́ние ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}$ векторов ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }$ — скалярное произведение вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ на векторное произведение векторов ${\displaystyle \mathbf {b} }$ и ${\displaystyle \mathbf {c} }$:

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \left(\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right)}$.

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрический смысл: модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }$.

• Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )=(\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\mathbf {a} )=(\mathbf {c} ,\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=-(\mathbf {b} ,\mathbf {a} ,\mathbf {c} )=-(\mathbf {c} ,\mathbf {b} ,\mathbf {a} )=-(\mathbf {a} ,\mathbf {c} ,\mathbf {b} );}$

т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что

${\displaystyle \langle \mathbf {a} ,[\mathbf {b} ,\mathbf {c} ]\rangle =\langle [\mathbf {a} ,\mathbf {b} ],\mathbf {c} \rangle }$

• Смешанное произведение ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}$ в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} }$ и ${\displaystyle \mathbf {c} }$:

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix)).}$

• Смешанное произведение ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}$ в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} }$ и ${\displaystyle \mathbf {c} }$, взятому со знаком «минус»:

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )=-{\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix)).}$

В частности,

• Если какие-то два вектора коллинеарны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение, равное нулю.
• Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
• Геометрический смысл — Смешанное произведение ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}$ по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} }$ и ${\displaystyle \mathbf {c} }$; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.
• Квадрат смешанного произведения векторов равен определителю Грама, определяемому ими^[1]:215.

• Смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивита:

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )=\sum _{i,j,k}\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k))$

(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).

В ${\displaystyle n}$-мерном пространстве естественным обобщением смешанного произведения, имеющего смысл ориентированного объема, является определитель матрицы ${\displaystyle n\times n}$, составленной из строк или столбцов, заполненных координатами векторов. Смысл этой величины — ориентированный ${\displaystyle n}$-мерный объем (подразумевается стандартный базис и тривиальная метрика).

В произвольном базисе произвольной размерности смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивиты соответствующей размерности:

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\ldots )=\sum _{i,j,k,\ldots }\varepsilon _{ijk\ldots }a^{i}b^{j}c^{k}\ldots }$

В двумерном пространстве таковым служит псевдоскалярное произведение.

• Двойное векторное произведение
• Векторное произведение
• Скалярное произведение
• Псевдоскалярное произведение

• Смешанное произведение векторов и его свойства. Примеры решения задач

Векторы и матрицы
Векторы	Основные понятия Вектор в геометрии Базис Ортогональный базис Координаты вектора Коллинеарность Ортогональность Линейная зависимость Пространство столбцов Виды векторов Единичный вектор Аксиальный вектор Изотропный вектор Нормаль Коллинеарность Нулевой вектор Радиус-вектор Собственный вектор Операции над векторами Линейная операция Сложение векторов Вычитание векторов Умножение вектора на число Произведения векторов Скалярное произведение Векторное произведение Смешанное произведение Псевдоскалярное произведение Двойное векторное произведение Типы пространств Векторное пространство Аффинное пространство Евклидово пространство Псевдоевклидово пространство Нормированное пространство Пространство Минковского
Матрицы	Основные понятия Умножение матриц Транспонированная матрица Эрмитово-сопряжённая матрица Симметричная матрица Обратная матрица Собственное значение Характеристический многочлен матрицы Специальные матрицы Единичная матрица Нулевая матрица Диагональная матрица Лямбда-матрица Разложения матриц LU-разложение Разложение Холецкого QR-разложение LUP-разложение Сингулярное разложение Спектральное разложение матрицы
Другое	Векторное исчисление Система линейных алгебраических уравнений Векторная функция Билинейная форма Квадратичная форма