Разложе́ние Холе́цкого (метод квадратного корня) — представление симметричной положительно определённой матрицы ${\displaystyle A}$ в виде ${\displaystyle A=LL^{T))$, где ${\displaystyle L}$ — нижняя треугольная матрица со строго положительными элементами на диагонали. Иногда разложение записывается в эквивалентной форме: ${\displaystyle A=U^{T}U}$, где ${\displaystyle U=L^{T))$ — верхняя треугольная матрица. Разложение Холецкого всегда существует и единственно для любой симметричной положительно определённой матрицы.

Существует также обобщение этого разложения на случай комплекснозначных матриц. Если ${\displaystyle A}$ — положительно определённая эрмитова матрица, то существует разложение ${\displaystyle A=LL^{*))$, где ${\displaystyle L}$ — нижняя треугольная матрица с положительными действительными элементами на диагонали, а ${\displaystyle L^{*))$ — эрмитово-сопряжённая к ней матрица.

Разложение названо в честь французского математика польского происхождения Андре-Луи Шолески^[англ.] (1875—1918).

Элементы матрицы ${\displaystyle L}$ можно вычислить, начиная с верхнего левого угла матрицы, по формулам

${\displaystyle {\begin{aligned}l_{11}&={\sqrt {a_{11))},\\l_{j1}&={\frac {a_{j1)){l_{11))},\quad j\in [2,n],\\l_{ii}&={\sqrt {a_{ii}-\sum _{p=1}^{i-1}l_{ip}^{2))},\quad i\in [2,n],\\l_{ji}&={\frac {1}{l_{ii))}\left(a_{ji}-\sum _{p=1}^{i-1}l_{ip}l_{jp}\right),\quad i\in [2,n-1],j\in [i+1,n].\end{aligned))}$

Выражение под корнем всегда положительно, если ${\displaystyle A}$ — действительная положительно определённая матрица.

Вычисление происходит сверху вниз, слева направо, т. е. сперва ${\displaystyle L_{ij))$, а затем ${\displaystyle L_{ii))$.

Для комплекснозначных эрмитовых матриц используются формулы

${\displaystyle {\begin{aligned}l_{ii}&={\sqrt {a_{ii}-\sum _{p=1}^{i-1}l_{ip}l_{ip}^{*))},\quad i\in [2,n],\\l_{ji}&={\frac {1}{l_{ii))}\left(a_{ji}-\sum _{p=1}^{i-1}l_{ip}l_{jp}^{*}\right),\quad i\in [2,n-1],j\in [i+1,n].\end{aligned))}$

Это разложение может применяться для решения системы линейных уравнений ${\displaystyle Ax=b}$, если матрица ${\displaystyle A}$ симметрична и положительно определена. Такие матрицы часто возникают, например, при использовании метода наименьших квадратов и численном решении дифференциальных уравнений.

Выполнив разложение ${\displaystyle A=LL^{T))$, решение ${\displaystyle x}$ можно получить последовательным решением двух треугольных систем уравнений: ${\displaystyle Ly=b}$ и ${\displaystyle L^{T}x=y}$. Такой способ решения иногда называется методом квадратных корней.^[1] По сравнению с более общими методами, такими как метод Гаусса или LU-разложение, он устойчивее численно и требует примерно вдвое меньше арифметических операций.^[2]

Разложение Холецкого также применяется в методах Монте-Карло для генерации коррелированных случайных величин. Пусть ${\displaystyle X}$ — вектор из независимых стандартных нормальных случайных величин, а ${\displaystyle \Sigma =LL^{T))$ — желаемая ковариационная матрица. Тогда вектор ${\displaystyle Y=LX}$ будет иметь многомерное нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей ${\displaystyle \Sigma }$.^[3]

• В SAS используется функция ROOT(matrix), входящая в пакет SAS IML.
• В системах MATLAB, Octave, R разложение выполняется командой U = chol(A).
• В Maple и NumPy существует процедура cholesky в модуле linalg.
• В Mathematica используется процедура CholeskyDecomposition[A].
• В MathCAD для разложения используется функция cholesky(A)
• В GSL используется функция gsl_linalg_cholesky_decomp.
• В библиотеке от Google ceres-solver^[4].
• В библиотеке Apache Commons Math (начиная с версии 2.0) используется класс CholeskyDecomposition^[5].
• В библиотеке Torch присутствует функция torch.potrf^[6].
• В библиотеке JAMA языка программирования java.
• В библиотеке Intel Data Analytics Acceleration Library присутствует алгоритмcholesky::Batch.

Векторы и матрицы
Векторы	Основные понятия Вектор в геометрии Базис Ортогональный базис Координаты вектора Коллинеарность Ортогональность Линейная зависимость Пространство столбцов Виды векторов Единичный вектор Аксиальный вектор Изотропный вектор Нормаль Коллинеарность Нулевой вектор Радиус-вектор Собственный вектор Операции над векторами Линейная операция Сложение векторов Вычитание векторов Умножение вектора на число Произведения векторов Скалярное произведение Векторное произведение Смешанное произведение Псевдоскалярное произведение Двойное векторное произведение Типы пространств Векторное пространство Аффинное пространство Евклидово пространство Псевдоевклидово пространство Нормированное пространство Пространство Минковского
Матрицы	Основные понятия Умножение матриц Транспонированная матрица Эрмитово-сопряжённая матрица Симметричная матрица Обратная матрица Собственное значение Характеристический многочлен матрицы Специальные матрицы Единичная матрица Нулевая матрица Диагональная матрица Лямбда-матрица Разложения матриц LU-разложение Разложение Холецкого QR-разложение LUP-разложение Сингулярное разложение Спектральное разложение матрицы
Другое	Векторное исчисление Система линейных алгебраических уравнений Векторная функция Билинейная форма Квадратичная форма

Методы решения СЛАУ
Прямые методы	Матричный метод Метод Гаусса Метод Гаусса — Жордана Метод Крамера LU-разложение Разложение Холецкого Метод прогонки
Итерационные методы	Метод Якоби Метод Гаусса — Зейделя Метод итерации Метод релаксации Метод сопряженных градиентов Метод бисопряжённых градиентов Стабилизированный метод бисопряжённых градиентов
Общее	Обратная матрица Проекционные методы решения СЛАУ Предобуславливание