Произведе́ние векторо́в, или перемноже́ние векторо́в^[1] (англ. product of vectors) — операция, ставящая в соответствие двум векторам третий вектор — произведение векторов. Эта операция должна обладать двумя свойствами^[1][2]:

• подчиняться законам, аналогичным законам операции умножения чисел;
• обобщать геометрические и физические операции.

С этих обеих точек зрения в трёхмерном пространстве возможны две операции умножения двух векторов, результатом которых являются^[3][2]:

• скаляр. Такая операция двух векторов называется скалярным произведением;
• вектор. Такая операция двух векторов называется векторным произведением.

В трёхмерном пространстве существуют только три различных типа произведений из трёх векторов^[4][5]:

• скалярное произведение двух векторов умножается на третий вектор — вектор, который называется простейшим произведением трёх векторов;
• векторное произведение двух векторов умножается векторно на третий вектор — вектор, который называется двойным векторным произведением трёх векторов;
• векторное произведение двух векторов умножается скалярно на третий вектор — число, которое называется смешанное произведение трёх векторов.

Между этими тремя произведениями трёх векторов имеются две связи^[6]:

• двойное векторное произведение равно разности двух разных простейших произведений трёх векторов;
• смешанное произведение можно выразить через попарные скалярные произведения своих сомножителей.

Произведения большего, чем три, числа векторов выражаются через произведения двух и трёх векторов^[7].

Скаля́рное произведе́ние (иногда называемое внутренним произведением) — результат операции над двумя векторами, являющийся скаляром, то есть числом, не зависящим от выбора системы координат. Используется в определении длины векторов и угла между ними.

Обычно для скалярного произведения векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ используется одно из следующих обозначений.

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ,\ {\vec {a))\cdot {\vec {b))}$ или просто ${\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} }$

${\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle }$ и ${\displaystyle \langle a|b\rangle ;}$ второе обозначение применяется в квантовой механике для векторов состояния^[8].

В простейшем случае, а именно в случае конечномерного вещественного евклидового пространства, иногда используют «геометрическое» определение скалярного произведения ненулевых векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ как произведения длин этих векторов на косинус угла между ними (имеется в виду наименьший угол между векторами, не превосходящий ${\displaystyle \pi }$^[9][10])(см. рисунок справа вверху):

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos \theta .}$

Равносильное определение: скалярное произведение есть произведение длины проекции первого вектора на второй и длины второго вектора (см. рисунок справа вверху), или наоборот^[11]:

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )={\text{пр))_{b}\mathbf {a} \cdot |\mathbf {b} |=|\mathbf {a} |\cdot {\text{пр))_{a}\mathbf {b} .}$

Если хотя бы один из векторов нулевой, то произведение считается равным нулю^[9][10].

У понятия скалярного произведения существует также большое количество обобщений для различных векторных пространств, то есть для множеств векторов с операциями сложения и умножения на скаляры. Данное выше геометрическое определение скалярного произведения предполагает предварительное определение понятий длины вектора и угла между ними. В современной математике используется обратный подход: аксиоматически определяется скалярное произведение, а уже через него — длины и углы^[12]. В частности, скалярное произведение определяется для комплексных векторов, многомерных и бесконечномерных пространств, в тензорной алгебре.

Скалярное произведение и его обобщения играют чрезвычайно большую роль в векторной алгебре, теории многообразий, механике и физике. Например, работа силы при механическом перемещении равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения^[13][2].

Будем говорить, что в вещественном или комплексном векторном пространстве ${\displaystyle L}$ определено скалярное произведение, если каждой паре векторов ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} }$ из ${\displaystyle L}$ поставлено в соответствие число ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$ из того числового поля, над которым задано ${\displaystyle L,}$ удовлетворяющее следующим аксиомам.

1. Для любых трёх элементов ${\displaystyle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {b} }$ пространства ${\displaystyle \mathbb {L} }$ и любых чисел ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ справедливо равенство: ${\displaystyle (\alpha \mathbf {a} _{1}+\beta \mathbf {a} _{2},\mathbf {b} )=\alpha (\mathbf {a} _{1},\mathbf {b} )+\beta (\mathbf {a} _{2},\mathbf {b} )}$ (линейность скалярного произведения по первому аргументу).
2. Для любых ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} }$ справедливо равенство ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )={\overline {(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )))}$, где черта означает комплексное сопряжение.
3. Для любого ${\displaystyle \mathbf {a} }$ имеем: ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {a} )\geqslant 0}$, причём ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {a} )=0}$ только при ${\displaystyle \mathbf {a} =0}$ (положительная определённость и невырожденность скалярного произведения соответственно).

Заметим, что из аксиомы 2 следует, что ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {a} )}$ — вещественное число. Поэтому аксиома 3 имеет смысл, несмотря на комплексные (в общем случае) значения скалярного произведения. Если аксиома 3 не выполняется, то произведение называется индефинитным, или неопределённым.

Если ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {a} )=0}$ не только при ${\displaystyle \mathbf {a} =0}$, то произведение называется псевдоскалярным^{[14][15][10][16][17]}.

Из данных аксиом получаются следующие свойства:

• коммутативность для вещественных векторов^[11]:

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=(\mathbf {b} ,\mathbf {a} );}$

• дистрибутивность относительно сложения^[11]:

${\displaystyle (\mathbf {a} +\mathbf {b} ,\mathbf {c} )=(\mathbf {a} ,\mathbf {c} )+(\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}$ и ${\displaystyle (\mathbf {c} ,\mathbf {a} +\mathbf {b} )=(\mathbf {c} ,\mathbf {a} )+(\mathbf {c} ,\mathbf {b} );}$

• инволюционная линейность относительно второго аргумента:

${\displaystyle (\mathbf {a} ,(\alpha _{1}\mathbf {b} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {b} _{2}))={\overline {\alpha _{1))}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} _{1})+{\overline {\alpha _{2))}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} _{2})}$ (в случае вещественного ${\displaystyle L}$ — просто линейность по второму аргументу);

• ${\displaystyle (\alpha \mathbf {a} ,\beta \mathbf {b} )=\alpha {\overline {\beta ))(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$ (что совпадает с ${\displaystyle \alpha \beta (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$ для вещественного ${\displaystyle L}$);
• ассоциативность по отношению умножения вектора на число для вещественных векторов^[11]:

${\displaystyle (\lambda \mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\lambda (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=(\mathbf {a} ,\lambda \mathbf {b} ).}$

Также есть свойства, связанные не с данными аксиомами:

• неассоциативность относительно умножения на вектор^[6]:

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\mathbf {c} \neq \mathbf {a} (\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}$;

• ортогональность: два ненулевых вектора a и b ортогональны тогда и только тогда, когда (a, b) = 0 (определения ниже).

Замечание. В квантовой физике скалярное произведение (волновых функций, которые комплекснозначны) принято определять как линейное по второму аргументу (а не по первому), соответственно, по первому аргументу оно будет инволюционо линейным. Путаницы обычно не возникает, поскольку традиционное обозначение для скалярного произведения в квантовой физике также отличается: ${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle }$, то есть аргументы отделяются вертикальной чертой, а не запятой, и скобки всегда угловые.

Оба определения скалярного произведения

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos \theta ;}$

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )={\text{пр))_{b}\mathbf {a} \cdot |\mathbf {b} |=|\mathbf {a} |\cdot {\text{пр))_{a}\mathbf {b} }$

кажутся случайными, их естественность никак не мотивирована. Тем не менее целесообразность изучения этой операции основана на простых свойствах скалярного произведения^[18]:

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=(\mathbf {b} ,\mathbf {a} );}$

${\displaystyle (\lambda \mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\lambda (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=(\mathbf {a} ,\lambda \mathbf {b} );}$

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} +\mathbf {c} )=(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+(\mathbf {a} ,\mathbf {c} ).}$

Возникает вопрос: существуют ли другие такие же «хорошие» «произведения векторов»? Другими словами, имеются ли другие способы поставить в соответствие двум векторам ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ такое число ${\displaystyle \mathbf {a} \circ \mathbf {b} }$, что

(1°) ${\displaystyle \mathbf {a} \circ \mathbf {b} =\mathbf {b} \circ \mathbf {a} ,}$

(2°) ${\displaystyle (\lambda \mathbf {a} )\circ \mathbf {b} =\lambda (\mathbf {a} \circ \mathbf {b} )=\mathbf {a} \circ (\lambda \mathbf {b} ),}$

(3°) ${\displaystyle \mathbf {a} \circ (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \circ \mathbf {b} +\mathbf {a} \circ \mathbf {c} ,}$

где кружочек ${\displaystyle \circ }$ — некоторая операция «умножения векторов»^[18].

Кроме того, число ${\displaystyle \mathbf {a} \circ \mathbf {b} }$ должно облажать геометрическим смыслом, то есть если пара векторов ${\displaystyle {\overrightarrow {OA))=\mathbf {a} }$ и ${\displaystyle {\overrightarrow {OB))=\mathbf {b} }$ «равна» другой паре векторов ${\displaystyle {\overrightarrow {OA_{1))}=\mathbf {a} _{1))$ и ${\displaystyle {\overrightarrow {OB_{1))}=\mathbf {b} _{1))$, что означает, что одна пара векторов может быть перенесена на другую пару движением, то тогда имеет место следующее равенство^[18]:

(4°) ${\displaystyle \mathbf {a} \circ \mathbf {b} =\mathbf {a} _{1}\circ \mathbf {b} _{1}.}$

Теорема. Единственность скалярного произведения в трёхмерном пространстве. В геометрии трёхмерного пространства уже три условия (2°), (3°) и (4°) почти однозначно определяют скалярное произведение ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$ векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$, а именно:

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\delta \cdot |\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos \theta ,}$

где ${\displaystyle \theta }$ — наименьший угол между векторами, не превосходящий ${\displaystyle \pi }$, а ${\displaystyle \delta }$ — некоторое фиксированное число для данной геометрии^[19].

В трёхмерном пространстве для определения скалярного произведения условие (1°) оказывается без надобности^[18].

Доказательство^[20]

1. Пусть произвольные векторы ${\displaystyle \mathbf {a} =|\mathbf {a} |\mathbf {a} ^{0))$, ${\displaystyle \mathbf {b} =|\mathbf {b} |\mathbf {b} ^{0))$, где ${\displaystyle \mathbf {a} ^{0))$ и ${\displaystyle \mathbf {b} ^{0))$ — единичные векторы. Тогда, по свойству (2°),

${\displaystyle \mathbf {a} \circ \mathbf {b} =(|\mathbf {a} |\mathbf {a} ^{0})\circ (|\mathbf {b} |\mathbf {b} ^{0})=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |(\mathbf {a} ^{0}\circ \mathbf {b} ^{0})}$,

то есть достаточно задать произведение произвольных единичных векторов ${\displaystyle \mathbf {a} ^{0))$ и ${\displaystyle \mathbf {b} ^{0))$^[20].

2. Рассмотрим в геометрии трёхмерного пространства единичные и взаимно перпендикулярные векторы ${\displaystyle \mathbf {a} ^{0))$ и ${\displaystyle \mathbf {c} ^{0))$. Эта пара векторов ${\displaystyle {\overrightarrow {OA))=\mathbf {a} ^{0))$, ${\displaystyle {\overrightarrow {OC))=\mathbf {c} ^{0))$ «равна» паре векторов ${\displaystyle {\overrightarrow {OA_{1))}=-\mathbf {a} ^{0))$, ${\displaystyle {\overrightarrow {OC_{1))}=\mathbf {c} ^{0))$, поскольку в трёхмерном пространстве эти пары переходят друг в друга при вращении вокруг оси ${\displaystyle OC}$ на ${\displaystyle 180^{\circ ))$ (см. рисунок справа). По свойствам (4°) и (2°) получаем для числа ${\displaystyle \mathbf {a} ^{0}\circ \mathbf {c} ^{0))$^[20]:

${\displaystyle \mathbf {a} ^{0}\circ \mathbf {c} ^{0}=(-\mathbf {a} ^{0})\circ \mathbf {c} ^{0}=-(\mathbf {a} ^{0}\circ \mathbf {c} ^{0}),}$

(5°) ${\displaystyle \mathbf {a} ^{0}\circ \mathbf {c} ^{0}=0.}$

3. Наконец, по условия (4°) «квадрат» ${\displaystyle \mathbf {a} ^{0}\circ \mathbf {a} ^{0))$ произвольного единичного вектора ${\displaystyle \mathbf {a} ^{0))$ будет всегда равен постоянному для данной геометрии числу ${\displaystyle \delta }$^[20]:

(6°) ${\displaystyle \mathbf {a} ^{0}\circ \mathbf {a} ^{0}=\delta =\mathrm {const} }$.

4. Рассмотрим два единичных произвольных вектора ${\displaystyle {\overrightarrow {OA))=\mathbf {a} ^{0))$ и ${\displaystyle {\overrightarrow {OB))=\mathbf {b} ^{0))$ с углом между ними ${\displaystyle \theta }$ (см. рисунок справа). Пусть теперь ${\displaystyle B_{1))$ и ${\displaystyle B_{2))$ — проекции точки ${\displaystyle B}$ на перпендикулярные прямые соответственно ${\displaystyle OA}$ и ${\displaystyle OB}$, лежащие в плоскости ${\displaystyle OAB}$. Тогда

${\displaystyle \mathbf {b} ^{0}=OB_{1}+OB_{2}=\mathbf {a} ^{0}\cos \theta +\mathbf {c} ^{0}\sin \theta ,}$

где ${\displaystyle \mathbf {c} ^{0))$ — единичный вектор направления ${\displaystyle OC}$^[20].

Отсюда по свойствам (3°), (2°), (6°) и (5°) получаем:

${\displaystyle \mathbf {a} ^{0}\circ \mathbf {b} ^{0}=\mathbf {a} ^{0}\circ (\mathbf {a} ^{0}\cos \theta +\mathbf {c} ^{0}\sin \theta )=}$

${\displaystyle =(\mathbf {a} ^{0}\circ \mathbf {a} ^{0})\cos \theta +(\mathbf {a} ^{0}\circ \mathbf {c} ^{0})\sin \theta =\delta \cos \theta }$,

откуда окончательно получаем^[20]:

${\displaystyle \mathbf {a} \circ \mathbf {b} =\delta \cdot |\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos \theta }$.

Это выражение отличается от обычного скалярного произведения двух векторов

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos \theta }$

только произвольным фиксированным для выбранной геометрии числовым множителем ${\displaystyle \delta }$^[20].

Теорема. Единственность скалярного произведения на плоскости. В геометрии плоскости только все четыре условия (1°), (2°), (3°) и (4°) почти однозначно определяют скалярное произведение ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$ векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$, а именно^[19]:

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\delta \cdot |\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos \theta .}$

На плоскости существует отличное от скалярного псевдоскалярное произведение векторов, которое отвечает условиям (2°), (3°) и (4°), но не условию (1°)^[18].

Доказательство^[21]

1. Рассмотрим геометрию двумерного пространства, в которой пары векторов «равны», только если они переводятся одна в другую движением плоскости, а не трёхмерного пространства. В такой геометрии пары единичных взаимно перпендикулярных векторов ${\displaystyle \mathbf {a} ^{0))$, ${\displaystyle \mathbf {c} ^{0))$ и ${\displaystyle -\mathbf {a} ^{0))$, ${\displaystyle \mathbf {c} ^{0))$ не «равны» между собой, поскольку среди движений плоскости нет зеркальной симметрии. Равными единичных перпендикулярных парами векторов будут ${\displaystyle {\overrightarrow {OA))=\mathbf {a} ^{0))$, ${\displaystyle {\overrightarrow {OC))=\mathbf {c} ^{0))$ и ${\displaystyle {\overrightarrow {OA_{1))}=\mathbf {c} ^{0))$, ${\displaystyle {\overrightarrow {OC_{1))}=-\mathbf {a} ^{0))$, которые совпадают при повороте на ${\displaystyle 90^{\circ ))$ вокруг точки ${\displaystyle O}$ — общего начала векторов (см. рисунок справа)^[21].

2. Следовательно,

${\displaystyle \mathbf {a} ^{0}\circ \mathbf {c} ^{0}=\mathbf {c} ^{0}\circ (-\mathbf {a} ^{0})=-(\mathbf {c} ^{0}\circ \mathbf {a} ^{0}),}$

и по условию (1°) получаем^[21]:

${\displaystyle \mathbf {a} ^{0}\circ \mathbf {c} ^{0}=-(\mathbf {a} ^{0}\circ \mathbf {c} ^{0}),}$

(5°) ${\displaystyle \mathbf {a} ^{0}\circ \mathbf {c} ^{0}=0.}$

3. Дальнейшее доказательство совпадает с доказательством предыдущей теоремы о единственности скалярного произведения в трёхмерном пространстве. Если не требовать выполнения условия (1°), то доказать (5°) невозможно^[21].

Псевдоскаля́рное произведе́ние (косо́е произведе́ние^[14][16]; полускаля́рное умноже́ние^[22]; квазискаля́рное произведе́ние^[23]; ориенти́рованная пло́щадь параллелогра́мма, натя́нутого на ве́кторы ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$^[24]) (англ. pseudo-scalar product; skew product^[25]) векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ на ориентированной евклидовой плоскости — число

${\displaystyle \mathbf {a} \lor \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |\sin \theta ,}$

(иногда ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |\sin \theta }$^[16]),

где ${\displaystyle \theta =\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$ — угол вращения (против часовой стрелки, то есть в положительном направлении) от ${\displaystyle \mathbf {a} }$ к ${\displaystyle \mathbf {b} }$. Если хотя бы один из векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ нулевой, то полагают ${\displaystyle \mathbf {a} \lor \mathbf {b} =0}$^{[14][15][10][16][17]}. В этом определении стоит обратить внимание на то, что понимается под углом ${\displaystyle \theta }$. Здесь это не просто обычный угол между векторами, который может принимать значения только от ${\displaystyle 0^{\circ ))$ до ${\displaystyle 180^{\circ ))$. Здесь это угол, на который нужно повернуть вектор именно в определённом направлении: против часовой стрелки, и поэтому он может принимать значения от ${\displaystyle 0^{\circ ))$ до ${\displaystyle 360^{\circ ))$. Синус такого угла вполне может быть отрицательным, и более того, псевдоскалярное произведение будет менять знак при перемене множителей местами.

Геометрически псевдоскалярное произведение векторов представляет собой ориентированную площадь параллелограмма, натянутого на эти векторы. С её помощью удобно работать с площадями многоугольников, выражать условия коллинеарности векторов и находить углы между ними. Псевдоскалярное произведение определяется только для двумерных векторов, его аналогом в трёхмерном пространстве является тройное скалярное произведение. Также в некотором смысле аналогом является векторное произведение, из-за чего его иногда тоже неформально называют векторным произведением и обозначают как ${\displaystyle a\times b}$ или ${\displaystyle [a,b]}$.

• Линейность: ${\displaystyle \mathbf {a} \lor (\lambda \mathbf {b} +\mu \mathbf {c} )=\lambda \mathbf {a} \lor \mathbf {b} +\mu \mathbf {a} \lor \mathbf {c} .}$ Здесь ${\displaystyle \lambda }$, ${\displaystyle \mu }$ — произвольные вещественные числа.
• Антикоммутативность: ${\displaystyle \mathbf {a} \lor \mathbf {b} =-\mathbf {b} \lor \mathbf {a} }$.
• Выражение в координатах. Пусть задан базис ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2))$ и два вектора, имеющих в нём координаты ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2}),~~\mathbf {b} =(b_{1},b_{2})}$. Тогда

${\displaystyle \mathbf {a} \lor \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix))\ \mathbf {e} _{1}\lor \mathbf {e} _{2))$

Эта формула работает как для псевдоскалярного произведения в ориентированной плоскости, так и для неориентированной. Во втором случае под записями ${\displaystyle \mathbf {a} \lor \mathbf {b} }$ и ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\lor \mathbf {e} _{2))$ понимаются числовые значения этих псевдоскаляров в базисе ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2))$.

Для частного случая ортонормированного положительно ориентированного базиса (если в неориентированной плоскости, то в произвольном ортонормированном базисе) формула имеет вид:

${\displaystyle \mathbf {a} \lor \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix))}$

В отрицительно ориентированном базисе эта формула берётся со знаком минус.

• Числовое значение псевдоскалярного произведения является инвариантом при всех невырожденных , не включающих отражений.
• Псевдоскалярное произведение ${\displaystyle \mathbf {a} \lor \mathbf {b} }$ — это ориентированная площадь параллелограмма, натянутого на векторы ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$.
  • Абсолютная величина псевдоскалярного произведения ${\displaystyle |\mathbf {a} \lor \mathbf {b} |}$ — это площадь такого параллелограмма.
  • Ориентированная площадь треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ выражается формулой

    ${\displaystyle S(A,B,C)={\frac {1}{2))({\overrightarrow {AB))\lor {\overrightarrow {AC))),}$

  а его площадь, следовательно, равна модулю этой величины.

• Если рассматривать плоскость в трёхмерном пространстве, то

  ${\displaystyle \mathbf {a} \lor \mathbf {b} =\pm (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {n} ,}$

где «${\displaystyle \times }$» и «${\displaystyle \ \cdot }$» соответственно — векторное и скалярное произведение, а ${\displaystyle \mathbf {n} }$ — единичный вектор нормали к плоскости. Знак плюс берется в случае, если правый базис на плоскости, дополненный вектором ${\displaystyle \mathbf {n} }$, образует также правый базис; в противном случае минус.

• ${\displaystyle \mathbf {a} \lor \mathbf {b} =\mathbf {0} }$ — необходимое и достаточное условие коллинеарности ненулевых векторов на плоскости. Нулевой вектор для удобства работы с более употребительным скалярным произведением обычно считают ортогональным любому другому вектору, хотя это является произвольным соглашением.
• Это выражение также можно записать через символ Леви-Чивиты в двумерном пространстве:

${\displaystyle \mathbf {a} \lor \mathbf {b} =\sum _{i,\;j=1}^{2}\varepsilon _{ij}a^{i}b^{j))$

Между скалярным и псевдоскалярным произведениями существует известный параллелизм, выражающийся в следующем^[26]:

• в близости следующих формул:

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} +\mathbf {c} )=(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+(\mathbf {a} ,\mathbf {c} )}$

и ${\displaystyle \mathbf {a} \lor (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \lor \mathbf {b} +\mathbf {a} \lor \mathbf {c} }$;

${\displaystyle (\lambda \mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\lambda (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=(\mathbf {a} ,\lambda \mathbf {b} )}$

и ${\displaystyle (\lambda \mathbf {a} )\lor \mathbf {b} =\lambda (\mathbf {a} \lor \mathbf {b} )=\mathbf {a} \lor (\lambda \mathbf {b} )}$;

• в следующих следствиях:

если ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=0}$, то ${\displaystyle \mathbf {a} ~\bot ~\mathbf {b} }$,

и если ${\displaystyle \mathbf {a} ~\bot ~\mathbf {b} }$, то ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=0}$;

если ${\displaystyle \mathbf {a} \lor \mathbf {b} =0}$, то ${\displaystyle \mathbf {a} ~\|~\mathbf {b} }$,

и если ${\displaystyle \mathbf {a} ~\|~\mathbf {b} }$, то ${\displaystyle \mathbf {a} \lor \mathbf {b} =0}$.

Известный «параллелизм» между перпендикулярностью и параллельностью вытекает из этого параллелизма формул и следствий, что позволяет в определённых теоремах, без нарушения их истинности, слово «перпендикулярный» заменять на слово «параллельный» и наоборот^[26].

Приведём пример подобной теоремы.

Теорема. О пересечении трёх прямых в одой точке. Рассмотрим два разных треугольника ${\displaystyle ABC}$ и ${\displaystyle A_{1}B_{1}C_{1))$. Пусть прямые, проведённые через вершины треугольника ${\displaystyle ABC}$ перпендикулярно (параллельно) соответствующим сторонам треугольника ${\displaystyle A_{1}B_{1}C_{1))$ (то есть через вершину ${\displaystyle A}$ параллельно (перпендикулярно) стороне ${\displaystyle B_{1}C_{1))$ и так далее), пересекаются в одной точке ${\displaystyle O}$. Тогда прямые, проведённые через вершины треугольника ${\displaystyle A_{1}B_{1}C_{1))$ перпендикулярно (параллельно) соответствующим сторонам треугольника ${\displaystyle ABC}$, пересекаются в одной точке ${\displaystyle O_{1))$ (см. рисунки справа)^[27].

Доказательство. Чтобы не повторяться, скалярное или псевдоскалярное произведение векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ обозначим через ${\displaystyle \mathbf {a} \circ \mathbf {b} }$^[28].

Пусть ${\displaystyle {\overrightarrow {OA))=\mathbf {a} }$, ${\displaystyle {\overrightarrow {OB))=\mathbf {b} }$, ${\displaystyle {\overrightarrow {OC))=\mathbf {c} }$, ${\displaystyle {\overrightarrow {OA_{1))}=\mathbf {a} _{1))$, ${\displaystyle {\overrightarrow {OB_{1))}=\mathbf {b} _{1))$, ${\displaystyle {\overrightarrow {OC_{1))}=\mathbf {c} _{1))$. Тогда, п условию теоремы,

${\displaystyle \mathbf {a} \circ (\mathbf {b} _{1}-\mathbf {c} _{1})}$,

иначе

${\displaystyle \mathbf {a} \circ \mathbf {b} _{1}=\mathbf {a} \circ \mathbf {c} _{1))$,

аналогично получаем^[28]:

${\displaystyle \mathbf {b} \circ \mathbf {c} _{1}=\mathbf {b} \circ \mathbf {a} _{1))$,

${\displaystyle \mathbf {c} \circ \mathbf {a} _{1}=\mathbf {c} \circ \mathbf {b} _{1))$,

Обозначим ${\displaystyle {\overrightarrow {OO_{1))}=\mathbf {r} }$, где ${\displaystyle O_{1))$ — точка пересечения пока двух прямых ${\displaystyle BC}$ и ${\displaystyle CA}$. Осталось доказать, что прямая ${\displaystyle CO_{1))$ перпендикулярна (параллельна) прямой ${\displaystyle AB}$. По только что приведённому определению точки ${\displaystyle O_{1))$ получаем следующие равенства^[28]:

${\displaystyle (\mathbf {b} -\mathbf {c} )\circ (\mathbf {a} _{1}-\mathbf {r} )=0}$,

иначе

${\displaystyle \mathbf {b} \circ \mathbf {a} _{1}-\mathbf {c} \circ \mathbf {a} _{1}=\mathbf {b} \circ \mathbf {r} -\mathbf {c} \circ \mathbf {r} }$,

или

${\displaystyle \mathbf {b} \circ \mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} \circ \mathbf {a} _{1}=\mathbf {b} \circ \mathbf {r} -\mathbf {c} \circ \mathbf {r} }$,

а также

${\displaystyle (\mathbf {c} -\mathbf {a} )\circ (\mathbf {b} _{1}-\mathbf {r} )=0}$,

иначе

${\displaystyle \mathbf {c} \circ \mathbf {b} _{1}-\mathbf {a} \circ \mathbf {b} _{1}=\mathbf {c} \circ \mathbf {r} -\mathbf {a} \circ \mathbf {r} }$,

или

${\displaystyle \mathbf {c} \circ \mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} \circ \mathbf {c} _{1}=\mathbf {c} \circ \mathbf {r} -\mathbf {a} \circ \mathbf {r} }$.

Сложим два последних полученных равенства^[28]:

${\displaystyle \mathbf {b} \circ \mathbf {c} _{1}-\mathbf {a} \circ \mathbf {c} _{1}=\mathbf {b} \circ \mathbf {r} -\mathbf {a} \circ \mathbf {r} }$,

иначе

${\displaystyle (\mathbf {b} -\mathbf {a} )\circ (\mathbf {c} _{1}-\mathbf {r} )=0}$.

Из последнего равенства следует утверждение теоремы^[28].

На плоскости скалярное произведение двух векторов однозначно определяется следующими трёмя условиями:

(1°) ${\displaystyle \mathbf {a} \circ \mathbf {b} =\mathbf {b} \circ \mathbf {a} ,}$

(2°) ${\displaystyle (\lambda \mathbf {a} )\circ \mathbf {b} =\lambda (\mathbf {a} \circ \mathbf {b} )=\mathbf {a} \circ (\lambda \mathbf {b} ),}$

(3°) ${\displaystyle \mathbf {a} \circ (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \circ \mathbf {b} +\mathbf {a} \circ \mathbf {c} ,}$

где кружочек ${\displaystyle \circ }$ — некоторая операция «произведения векторов», а также ещё одним естественным требованием

(4°) ${\displaystyle \mathbf {a} \circ \mathbf {b} =\mathbf {a} _{1}\circ \mathbf {b} _{1},}$

означающим, что две «равные», то есть переводимые друг в друга движением плоскости, пары векторов обладают одним и тем же «произведением»^[29].

Если отказаться от первого условия (1°), то вместо скалярного получится псевдоскалярное произведение, которое существенно отличается своими свойствами от скалярного произведения. Выясним, существуют ли другие «произведения» векторов плоскости, которые отличаются как от скалярного, так и от псевдоскалярного произведений, но обладают столь же простыми свойствами.

Теорема. Все «произведения» двух векторов на плоскости. В геометрии плоскости три условия (2°), (3°) и (4°) приводят к сумме скалярного и псевдоскалярного произведений ${\displaystyle \mathbf {a} \circ \mathbf {b} }$ векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$, а именно^[29]:

${\displaystyle \mathbf {a} \circ \mathbf {b} =\delta \cdot (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+\epsilon \cdot \mathbf {a} \lor \mathbf {b} .}$

Другими словами, произвольное «произведение» двух векторов, для которого выполняются свойства (2°)—(4°), есть линейная комбинация скалярного и псевдоскалярного произведений с постоянными коэффициентами соответственно ${\displaystyle \delta }$ и ${\displaystyle \epsilon }$. Из них только скалярное произведение коммутативно и только псевдоскалярное произведение антикоммутативно^[30].

Доказательство^[29]

1. По условию (2°) получаем:

(5°) ${\displaystyle \mathbf {a} \circ \mathbf {b} =(|\mathbf {a} |\mathbf {a} ^{0})\circ (|\mathbf {b} |\mathbf {b} ^{0})=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |(\mathbf {a} ^{0}\circ \mathbf {b} ^{0}),}$

где ${\displaystyle \mathbf {a} ^{0))$ и ${\displaystyle \mathbf {b} ^{0))$ ― единичные векторы, причём в данной геометрии выполняется следующее равенство^[29]:

(6°) ${\displaystyle \mathbf {a} ^{0}\circ \mathbf {a} ^{0}=\delta =\mathrm {const} .}$

2. Пусть ${\displaystyle \mathbf {a} ^{0))$ и ${\displaystyle \mathbf {c} ^{0))$ — единичные взаимно перпендикулярные векторы, такие, что ${\displaystyle \angle (\mathbf {a} ^{0},\mathbf {c} ^{0})=+90^{\circ ))$. Тогда их произведение ${\displaystyle \mathbf {a} ^{0}\circ \mathbf {c} ^{0))$ равно некоторому постоянному числу ${\displaystyle \epsilon }$, которое одинаково для всех пар таких векторов ${\displaystyle \mathbf {a} ^{0))$, ${\displaystyle \mathbf {c} ^{0))$:

(7°) ${\displaystyle \mathbf {a} ^{0}\circ \mathbf {c} ^{0}=\epsilon =\mathrm {const} ,}$

так как любые две такие пары ${\displaystyle \mathbf {a} ^{0))$, ${\displaystyle \mathbf {c} ^{0))$ и ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}^{0))$, ${\displaystyle \mathbf {c} _{1}^{0))$ переводятся друг в друга движением плоскости^[29].

3. Пусть теперь ${\displaystyle \mathbf {b} ^{0))$ — произвольный единичный вектор с углом ${\displaystyle \angle (\mathbf {a} ^{0},\mathbf {b} ^{0})=\theta }$ (см. рисунок справа). Разложим вектор ${\displaystyle \mathbf {b} ^{0))$ по векторам ${\displaystyle \mathbf {a} ^{0))$ и ${\displaystyle \mathbf {c} ^{0))$:

${\displaystyle \mathbf {b} ^{0}=\mathbf {a} ^{0}\cos \theta +\mathbf {c} ^{0}\sin \theta ,}$

откуда по свойствам (3°), (2°) и (6°) получаем:

${\displaystyle \mathbf {a} ^{0}\circ \mathbf {b} ^{0}=\mathbf {a} ^{0}\circ (\mathbf {a} ^{0}\cos \theta +\mathbf {c} ^{0}\sin \theta )=}$

${\displaystyle =(\mathbf {a} ^{0}\circ \mathbf {a} ^{0})\cos \theta +(\mathbf {a} ^{0}\circ \mathbf {c} ^{0})\sin \theta }$,

следовательно, по свойствам (5°), (6°) и (7°) окончательно получаем^[29]:

${\displaystyle \mathbf {a} \circ \mathbf {b} =\delta \cdot |\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos \theta +\epsilon \cdot |\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \theta =}$

${\displaystyle =\delta \cdot (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+\epsilon \cdot \mathbf {a} \lor \mathbf {b} .}$

В разделах, связанных с псевдоскалярным произведением, на плоскости рассматривается геометрия, в которой две фигуры не считаются равными, если они симметричны относительно прямой, то есть эти фигуры нельзя перевести друг в друга движением, оставляющим их в плоскости (см. рисунок справа). В частности, предполагается, что на плоскости две пары векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$, ${\displaystyle \mathbf {b} }$ и ${\displaystyle \mathbf {a} _{1))$, ${\displaystyle \mathbf {b} _{1))$, которые переводятся друг в друга движением в трёхмерном пространстве, но не на плоскости, не считаются равными (например, две пары единичных взаимно перпендикулярных векторов ${\displaystyle \mathbf {a} ^{0))$, ${\displaystyle \mathbf {c} ^{0))$ и ${\displaystyle -\mathbf {a} ^{0))$, ${\displaystyle \mathbf {c} ^{0))$)^[30].

Такой подход приводит к понятию направления вращения: угол между векторами ${\displaystyle \angle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$ положителен либо отрицателен в зависимости от направления вращения на угол, меньший ${\displaystyle 180^{\circ ))$, которое переводит направление ${\displaystyle \mathbf {a} }$ в направление ${\displaystyle \mathbf {b} }$. Получается, что если симметричные фигуры равны, и вообще равны любые фигуры, которые можно перевести друг в друга движением в трёхмерном пространстве, то понятие «направление вращения» теряет смысл, поскольку симметрия относительно прямой меняет на обратное направление вращения угла (см. рисунок справа вверху)^[30].

Ориентированная плоскость — плоскость с заданным положительным направлением вращения углов. То есть имеются две разные геометрии^[30]:

• изучающая такие свойства фигур, какие сохраняются на ориентированной плоскости при движениях первого рода (собственных движениях);
• изучающая такие свойства фигур, какие сохраняются на обычной, или неориентированной, плоскости при произвольных движениях в трёхмерном пространстве.

Итак, скалярное произведение векторов можно задавать на неориентированной плоскости, псевдоскалярное произведение — только на ориентированной плоскости. Естественно, скалярное произведение можно рассматривать и на ориентированной плоскости, так как угол ${\displaystyle \angle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$ в формуле скалярного произведения можно считать ориентированным в силу того, что ${\displaystyle \cos }$ — чётная функция, то есть ${\displaystyle \cos(-\alpha )=\cos \alpha }$^[30].

Просте́йшее произведе́ние трёх векторо́в — скалярное произведение двух векторов ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$, умноженное на третий вектор ${\displaystyle \mathbf {c} }$^[6]:

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\mathbf {c} .}$

Простейшее произведение трёх векторов ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\mathbf {c} }$ — вектор, который коллинеарен вектору вектор ${\displaystyle \mathbf {c} }$, то есть тому своему множителю, который находится вне знака скалярного произведения^[6].

Из этой коллинеарности следует неравенство

${\displaystyle \mathbf {a} (\mathbf {b} ,\mathbf {c} )\neq (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\mathbf {c} ,}$

которое превращается в равенство тогда и только тогда, когда векторы ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {c} }$ коллинеарны. Другими словами, простейшее произведение трёх векторов не ассоциативно^[6].

Векторное произведение двух векторов в трёхмерном евклидовом пространстве — вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам, длина которого численно равна площади параллелограмма, образованного исходными векторами, а выбор из двух направлений определяется так, чтобы тройка из по порядку стоящих в произведении векторов и получившегося вектора была правой^[⇨]. Векторное произведение коллинеарных векторов (в частности, если хотя бы один из множителей — нулевой вектор) считается равным нулевому вектору.

Таким образом, для определения векторного произведения двух векторов необходимо задать ориентацию пространства, то есть сказать, какая тройка векторов является правой, а какая — левой. При этом не является обязательным задание в рассматриваемом пространстве какой-либо системы координат. В частности, при заданной ориентации пространства результат векторного произведения не зависит от того, является ли рассматриваемая система координат правой или левой. При этом формулы выражения координат векторного произведения через координаты исходных векторов в правой и левой ортонормированной прямоугольной системе координат отличаются знаком.

Векторное произведение не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности. Оно является антикоммутативным и, в отличие от скалярного произведения векторов, результат является опять вектором.

Полезно для «измерения» перпендикулярности векторов — модуль векторного произведения двух векторов равен произведению их модулей, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы коллинеарны.

Широко используется во многих технических и физических приложениях. Например, момент импульса и сила Лоренца математически записываются в виде векторного произведения.

• Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов является равенство нулю их векторного произведения.
• Модуль векторного произведения ${\displaystyle [{\vec {a)),\;{\vec {b))]}$ равняется площади ${\displaystyle S}$ параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах ${\displaystyle {\vec {a))}$ и ${\displaystyle {\vec {b))}$ (см. Рисунок 1).
• Если ${\displaystyle {\vec {e))}$ — единичный вектор, ортогональный векторам ${\displaystyle {\vec {a))}$ и ${\displaystyle {\vec {b))}$ и выбранный так, что тройка ${\displaystyle {\vec {a)),{\vec {b)),{\vec {e))}$ — правая, а ${\displaystyle S}$ — площадь параллелограмма, построенного на них (приведённых к общему началу), то для векторного произведения справедлива формула:

${\displaystyle [{\vec {a)),\;{\vec {b))]=S\cdot {\vec {e)).}$

• Если ${\displaystyle {\vec {c))}$ — какой-нибудь вектор, ${\displaystyle \pi }$ — любая плоскость, содержащая этот вектор, ${\displaystyle {\vec {e))}$ — единичный вектор, лежащий в плоскости ${\displaystyle \pi }$ и ортогональный к ${\displaystyle {\vec {c))}$, ${\displaystyle {\vec {g))}$ — единичный вектор, ортогональный к плоскости ${\displaystyle \pi }$ и направленный так, что тройка векторов ${\displaystyle {\vec {e)),{\vec {c)),{\vec {g))}$ является правой, то для любого лежащего в плоскости ${\displaystyle \pi }$ вектора ${\displaystyle {\vec {a))}$ справедлива формула

${\displaystyle [{\vec {a)),\;{\vec {c))]=\mathrm {Pr} _{\vec {e)){\vec {a))\cdot |{\vec {c))|\cdot {\vec {g)).}$

• При использовании векторного и скалярного произведений можно высчитать объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и c (см. Рисунок 2). Такое произведение трех векторов называется смешанным.

${\displaystyle V=|\langle {\vec {a)),\;[{\vec {b)),\;{\vec {c))]\rangle |.}$

На рисунке показано, что этот объём может быть найден двумя способами: геометрический результат сохраняется даже при замене «скалярного» и «векторного» произведений местами:

${\displaystyle V=\langle [{\vec {a)),\;{\vec {b))],\;{\vec {c))\rangle =\langle {\vec {a)),\;[{\vec {b)),\;{\vec {c))]\rangle .}$

Величина векторного произведения зависит от синуса угла между изначальными векторами, поэтому векторное произведение может восприниматься как степень «перпендикулярности» векторов так же, как и скалярное произведение может рассматриваться как степень «параллельности». Векторное произведение двух единичных векторов равно 1 (единичному вектору), если изначальные векторы перпендикулярны, и равно 0 (нулевому вектору), если векторы параллельны либо антипараллельны.

Далее ${\displaystyle [{\vec {a)),\;{\vec {b))]}$ и ${\displaystyle \langle {\vec {a)),\;{\vec {b))\rangle }$ обозначают соответственно векторное и скалярное произведение векторов ${\displaystyle {\vec {a))}$ и ${\displaystyle {\vec {b))}$.

Представление	Описание
${\displaystyle [{\vec {a)),\;{\vec {b))]=-[{\vec {b)),{\vec {a))]}$	Антикоммутативность.
${\displaystyle [\alpha \cdot {\vec {a)),\;{\vec {b))]=[{\vec {a)),\;\alpha \cdot {\vec {b))]=\alpha \cdot [{\vec {a)),\;{\vec {b))]}$	Ассоциативность умножения на скаляр.
${\displaystyle [{\vec {a))+{\vec {b)),\;{\vec {c))]=[{\vec {a)),\;{\vec {c))]+[{\vec {b)),\;{\vec {c))]}$	Дистрибутивность по сложению.
${\displaystyle [[{\vec {a)),\;{\vec {b))],\;{\vec {c))]+[[{\vec {b)),\;{\vec {c))],\;{\vec {a))]+[[{\vec {c)),{\vec {a))],\;{\vec {b))]={\vec {0))}$	Тождество Якоби.
${\displaystyle [{\vec {a)),\;{\vec {a))]={\vec {0))}$
${\displaystyle [{\vec {a)),\;[{\vec {b)),\;{\vec {c))]]={\vec {b))\cdot \langle {\vec {a)),\;{\vec {c))\rangle -{\vec {c))\cdot \langle {\vec {a)),\;{\vec {b))\rangle }$	Формула «БАЦ минус ЦАБ», тождество Лагранжа.
${\displaystyle |[{\vec {a)),\,{\vec {b))]|^{2}+\langle {\vec {a)),\,{\vec {b))\rangle ^{2}=|{\vec {a))|^{2}\cdot |{\vec {b))|^{2))$	Частный случай мультипликативности нормы кватернионов.
${\displaystyle \langle [{\vec {a)),\,{\vec {b))],\,{\vec {c))\rangle =\langle {\vec {a)),\,[{\vec {b)),\,{\vec {c))]\rangle }$	Значение этого выражения называют смешанным произведением векторов ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$.

Выясним, насколько необходимо стандартное определение векторного произведения. Причём это «произведение» должно отвечать тем условиям, которые делают возможным употребление самого термина «произведение»^[31].

• Болтянский В. Г., Яглом И. М. Векторы и их применения в геометрии // Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия / Гл. ред. П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин. Ред. книги 4: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 291—381.
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. Изд. 4‑е, доп. М.: Наука, 1971. 271 с., ил.
• Иванов А. Б. Псевдоскалярное произведение // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 743.
• Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. Изд-е 9-е. М.: Наука, 1965. 427 с., ил.
• Коэн-Таннуджи К., Диу Б.^[фр.], Лалоэ Ф.^[англ.] Квантовая механика. В 2 т. Том I / Перевод с французского Л. Н. Новикова. Екатеринбург: Издательство Уральского университета, 2000. 942 с., ил. ISBN 5-7525-1085-6 ISBN 5-7525-1131-3 (T. I) [Cohen-Tannoudji, Claude; Diu, Bernard; Laloë, Franck Quantum mechanics, Volume 1: Basic Concepts, Tools, and Applications. Paris: Hermann, 1973.]
• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа (в двух томах): Учебник для студентов университетов и втузов. М.: Высшая школа, 1981, т. II: — 584 с, ил.
• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа (в двух томах): Учебник для студентов университетов и втузов. М.: Высшая школа, 1970, т. II.
• Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления. М.: Наука, 1975. 336 с., ил.
• Прасолов В. В. Задачи по планиметрии: Учебное пособие. 5-е изд., испр. и доп. М.: МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2006. 640 с.: ил. ISBN 5-94057-214-6.
• Пытьев Ю. П. Векторная алгебра // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 1 А—Г. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 632—636.
• Пытьев Ю. П. Векторная алгебра // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 107—109.
• Ivanov A. B. Pseudo-scalar product. 2020 // Encyclopedia of Mathematics. 2020. Архивная копия от 28 апреля 2023 на Wayback Machine

Векторы и матрицы
Векторы	Основные понятия Вектор в геометрии Базис Ортогональный базис Координаты вектора Коллинеарность Ортогональность Линейная зависимость Пространство столбцов Виды векторов Единичный вектор Аксиальный вектор Изотропный вектор Нормаль Коллинеарность Нулевой вектор Радиус-вектор Собственный вектор Операции над векторами Линейная операция Сложение векторов Вычитание векторов Умножение вектора на число Произведения векторов Скалярное произведение Векторное произведение Смешанное произведение Псевдоскалярное произведение Двойное векторное произведение Типы пространств Векторное пространство Аффинное пространство Евклидово пространство Псевдоевклидово пространство Нормированное пространство Пространство Минковского
Матрицы	Основные понятия Умножение матриц Транспонированная матрица Эрмитово-сопряжённая матрица Симметричная матрица Обратная матрица Собственное значение Характеристический многочлен матрицы Специальные матрицы Единичная матрица Нулевая матрица Диагональная матрица Лямбда-матрица Разложения матриц LU-разложение Разложение Холецкого QR-разложение LUP-разложение Сингулярное разложение Спектральное разложение матрицы
Другое	Векторное исчисление Система линейных алгебраических уравнений Векторная функция Билинейная форма Квадратичная форма