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韦伯分布 （Weibull distribution）是可靠性分析和寿命检验的理论基础。
例如，可以使用此分布回答以下问题：
预计将在老化期间失效的项目所占的百分比是多少 ？例如，预计将在 8 小时老化期间失效的保险丝占多大百分比？
预计在有效寿命阶段有多少次保修索赔？例如，在该轮胎的 50,000 英里有效寿命期间预计有多少次保修索赔？
预计何时会出现快速磨损？例如，应将维护定期安排在何时以防止发动机进入磨损阶段？
历史
1927年，莫里斯·弗雷歇 首先给出这一分布的定义。
1933年，Rosin, P.和Rammler, E.在研究碎末的分布时，第一次应用了韦伯分布。
1951年，瑞典 工程师、数学家瓦洛迪·韦伯 详细解释了这一分布，于是该分布便以他的名字命名为韦伯分布。
性质
均值
E
=
λ
Γ
(
1
+
1
k
)
{\displaystyle E=\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k))\right)\,}
Γ
{\displaystyle \Gamma }
方差
V
a
r
=
λ
2
[
Γ
(
1
+
2
k
)
−
Γ
(
1
+
1
k
)
2
]
,
{\displaystyle Var=\lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k))\right)-\Gamma \left(1+{\frac {1}{k))\right)^{2}\right],}
矩函数
偏度
s
k
e
w
n
e
s
s
=
2
Γ
(
1
+
1
k
)
3
−
3
Γ
(
1
+
2
k
)
Γ
(
1
+
1
k
)
+
Γ
(
1
+
3
k
)
[
Γ
(
1
+
2
k
)
−
Γ
(
1
+
1
k
)
2
]
3
2
{\displaystyle skewness={\frac {2\Gamma \left(1+{\frac {1}{k))\right)^{3}-3\Gamma \left(1+{\frac {2}{k))\right)\Gamma \left(1+{\frac {1}{k))\right)+\Gamma \left(1+{\frac {3}{k))\right)}{\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k))\right)-\Gamma \left(1+{\frac {1}{k))\right)^{2}\right]^{\frac {3}{2))))}
峰度
k
u
r
t
o
s
i
s
=
−
3
Γ
(
1
+
1
k
)
4
+
6
Γ
(
1
+
2
k
)
Γ
(
1
+
1
k
)
2
−
4
Γ
(
1
+
3
k
)
Γ
(
1
+
1
k
)
+
Γ
(
1
+
4
k
)
[
Γ
(
1
+
2
k
)
−
Γ
(
1
+
1
k
)
2
]
2
{\displaystyle kurtosis={\frac {-3\Gamma \left(1+{\frac {1}{k))\right)^{4}+6\Gamma \left(1+{\frac {2}{k))\right)\Gamma \left(1+{\frac {1}{k))\right)^{2}-4\Gamma \left(1+{\frac {3}{k))\right)\Gamma \left(1+{\frac {1}{k))\right)+\Gamma \left(1+{\frac {4}{k))\right)}{\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k))\right)-\Gamma \left(1+{\frac {1}{k))\right)^{2}\right]^{2))))
应用
生存分析
工业制造
研究生产过程和运输时间关系
极值理论
预测天气
可靠性和失效分析
雷达系统
对接受到的杂波信号的依分布建模
拟合度
无线通信技术中，相对指数衰减频道模型，Weibull衰减模型对衰减频道建模有较好的拟合度
量化寿险模型的重复索赔
预测技术变革
风速
由于曲线形状与现实状况很匹配，被用来描述风速的分布
离散单变量
有限支集 无限支集
beta negative binomial Borel Conway–Maxwell–Poisson discrete phase-type Delaporte extended negative binomial Flory–Schulz Gauss–Kuzmin 几何分布 对数分布 mixed Poisson 负二项分布 Panjer parabolic fractal 卜瓦松分布 Skellam Yule–Simon zeta
连续单变量
混合单变量
联合分布
Discrete: Ewens multinomial Continuous: 狄利克雷分布
multivariate Laplace 多元正态分布 multivariate stable multivariate t normal-gamma 随机矩阵 LKJ 矩阵正态分布 matrix t matrix gamma 威沙特分布
定向统计
循环单变量定向统计 圆均匀分布 univariate von Mises wrapped normal wrapped Cauchy wrapped exponential wrapped asymmetric Laplace wrapped Lévy 球形双变量 Kent 环形双变量 bivariate von Mises 多变量 von Mises–Fisher Bingham 退化分布 和奇异分布 其它
Circular 复合泊松分布 elliptical exponential natural exponential location–scale Maximum entropy Mixture Pearson Tweedie Wrapped
![{\displaystyle Var=\lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k))\right)-\Gamma \left(1+{\frac {1}{k))\right)^{2}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c9e29badc74d5eba98c33d664f2b2076d2733cd)
![{\displaystyle skewness={\frac {2\Gamma \left(1+{\frac {1}{k))\right)^{3}-3\Gamma \left(1+{\frac {2}{k))\right)\Gamma \left(1+{\frac {1}{k))\right)+\Gamma \left(1+{\frac {3}{k))\right)}{\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k))\right)-\Gamma \left(1+{\frac {1}{k))\right)^{2}\right]^{\frac {3}{2))))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ac9f76cda52f2b0b416f5928345bcd73acf0378)
![{\displaystyle kurtosis={\frac {-3\Gamma \left(1+{\frac {1}{k))\right)^{4}+6\Gamma \left(1+{\frac {2}{k))\right)\Gamma \left(1+{\frac {1}{k))\right)^{2}-4\Gamma \left(1+{\frac {3}{k))\right)\Gamma \left(1+{\frac {1}{k))\right)+\Gamma \left(1+{\frac {4}{k))\right)}{\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k))\right)-\Gamma \left(1+{\frac {1}{k))\right)^{2}\right]^{2))))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/981e50a60e93c897af388823b1ab85ab77d2840a)
