帕累托分布

**帕累托分布**
	概率密度函数
	累积分布函数
参数	xm > 0 ; k > 0
值域
概率密度函数
累积分布函数
期望	，
中位数
众数
方差	，
偏度	，
峰度	，
熵
矩生成函数	未定义
特征函数

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帕累托分布(Pareto distribution)是以意大利经济学家维尔弗雷多·帕累托命名的。是从大量真实世界的现象中发现的幂定律分布。这个分布在经济学以外，也被称为布拉德福分布。

在帕累托分布中，如果X是一个随机变量，则X的概率分布如下面的公式所示：

{\displaystyle {\rm {P))(X>x)=\left({\frac {x}{x_{\min ))}\right)^{-k))

其中x是任何一个大于x_min的数，x_min是X最小的可能值（正数），k是为正的参数。帕累托分布曲线族是由两个数量参数化的：x_min和k。分布密度则为

p(x)=\left\((\begin{matrix}0,&{\mbox{if ))x<x_{\min };\\\\{k\;x_{\min }^{k} \over x^{k+1)),&{\mbox{if ))x>x_{\min }.\end{matrix))\right.

帕累托分布属于连续概率分布。 “齐夫定律”, 也称为“zeta 分布”, 也可以被认为是在离散概率分布中的帕累托分布。一个遵守帕累托分布的随机变量的期望为 $x_{\min }\;k \over k-1$ (如果 $k\leq 1$ , 期望为无穷大) 且随机变量的标准差为 ${x_{\min } \over k-1}{\sqrt {k \over k-2))$ (如果 $k\leq 2$ , 标准差不存在)。

被认为大致是帕累托分布的例子有：

财富在个人之间的分布
人类居住区的大小
对维基百科条目的访问
接近绝对零度时，玻色–爱因斯坦凝聚的团簇
在互联网流量中文件尺寸的分布
油田的石油储备数量
龙卷风带来的灾难的数量

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**帕累托分布**
概率密度函数
累积分布函数
参数	x_m > 0 k > 0
值域	$x\in [x_{\mathrm {m} };+\infty )\!$
概率密度函数	${\frac {k\,x_{\mathrm {m} }^{k)){x^{k+1))}\!$
累积分布函数	$1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} )){x))\right)^{k}\!$
期望	${\frac {k\,x_{\mathrm {m} )){k-1))\!$ ， $k>1$
中位数	$x_{\mathrm {m} }{\sqrt[{k}]{2))$
众数	$x_{\mathrm {m} }\,$
方差	${\frac {x_{\mathrm {m} }^{2}k}{(k-1)^{2}(k-2)))\!$ ， $k>2$
偏度	${\frac {2(1+k)}{k-3))\,{\sqrt {\frac {k-2}{k))}\!$ ， $k>3$
峰度	${\frac {6(k^{3}+k^{2}-6k-2)}{k(k-3)(k-4)))\!$ ， $k>4$
熵	$\ln \left({\frac {k}{x_{\mathrm {m} ))}\right)-{\frac {1}{k))-1\!$
矩生成函数	未定义
特征函数	$k(-ix_{\mathrm {m} }t)^{k}\Gamma (-k,-ix_{\mathrm {m} }t)\,$