实外代数中,
n 阶元素的几何诠释:
n = 0(具有正负号的点),1(具有指向的线段,即
向量 ),2(具有定向的平面元),3(具有定向的体积)。
n 个向量的外积可以图像化为
n 维几何物体(例如
n 维
平行六面体 ,
n 维
椭球 );其大小为超体积(hypervolume),其
定向 的定义由
(n − 1) 维边界以及物体内部在哪一侧来决定。
[1] [2] 外代数 (英语:Exterior algebra )也称为格拉斯曼代数 (Grassmann algebra),以纪念数学家赫尔曼·格拉斯曼 。
数学 上,向量空间
V
{\displaystyle V}
的外代数是一个特定有单位的 结合代数 ,其包含了
V
{\displaystyle V}
为其中一个子空间 。它记为
∧
(
V
)
{\displaystyle \land (V)}
或
∧
⋅
(
V
)
{\displaystyle \land \cdot (V)}
. 而它的乘法,称为楔积 或外积 ,记为
∧
{\displaystyle \land }
. 楔积是结合 的和双线性 的;其基本性质是它在
V
{\displaystyle V}
上是交错的,也就是:
v
∧
v
=
0
{\displaystyle v\wedge v=0}
,对于所有向量
v
∈
V
{\displaystyle v\in V}
这表示
u
∧
v
=
−
v
∧
u
{\displaystyle u\wedge v=-v\wedge u}
,对于所有向量
u
,
v
∈
V
{\displaystyle u,v\in V}
,以及
v
1
∧
v
2
∧
⋯
∧
v
k
=
0
{\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}\wedge \cdots \wedge v_{k}=0}
,当
v
1
,
…
,
v
k
∈
V
{\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}\in V}
线性相关 时。值得注意的是,以上三性质只对
V
{\displaystyle V}
中向量成立,不是对代数
∧
(
V
)
{\displaystyle \land (V)}
中所有向量成立。
外代数事实上是“最一般的”满足这些属性的代数。这意味着所有在外代数中成立的方程只从上述属性就可以得出。
∧
(
V
)
{\displaystyle \land (V)}
的这个一般性形式上可以用一个特定的泛性质 表示,请参看下文。
形式为
v
1
∧
v
2
∧
…
∧
v
k
{\displaystyle v_{1}\land v_{2}\land \ldots \land v_{k))
的元素,其中
v
1
,
…
,
v
k
{\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k))
在
V
{\displaystyle V}
中,称为
k
{\displaystyle k}
-向量 。所有
k
{\displaystyle k}
-向量生成的
∧
(
V
)
{\displaystyle \land (V)}
的子空间称为
V
{\displaystyle V}
的
k
{\displaystyle k}
-阶外幂 ,记为
∧
k
(
V
)
{\displaystyle \land ^{k}(V)}
。外代数可以写作每个
k
{\displaystyle k}
阶幂的直和 :
Λ
(
V
)
=
⨁
k
=
0
∞
Λ
k
V
{\displaystyle \Lambda (V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\Lambda ^{k}V}
该外积有一个重要性质,就是
k
{\displaystyle k}
-向量和
I
{\displaystyle I}
-向量的积是一个
k
+
I
{\displaystyle k+I}
-向量。这样外代数成为一个分次代数,其中分级由
k
{\displaystyle k}
给出。这些
k
{\displaystyle k}
-向量有几何上的解释:2-向量
u
∧
v
{\displaystyle u\land v}
代表以
u
{\displaystyle u}
和
v
{\displaystyle v}
为边的带方向的平行四边形 ,而3-向量
u
∧
v
∧
w
{\displaystyle u\land v\land w}
代表带方向的平行六面体 ,其边为
u
{\displaystyle u}
,
v
{\displaystyle v}
, 和
w
{\displaystyle w}
。
外幂的主要应用在于微分几何 ,其中他们用来定义微分形式 。因而,微分形式有一个自然的楔积。所有这些概念由格拉斯曼 提出。
外代数有很多种等价的定义,下面的定义是最简洁的一个。
定义: 设
V
{\displaystyle V}
是域
K
{\displaystyle K}
上的一个向量空间 ,让
T
k
(
V
)
:=
V
⊗
⋯
⊗
V
⏟
k
{\displaystyle T^{k}(V):={\underset {k}{\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} ))}
则定义
T
(
V
)
=
⨁
k
=
0
∞
T
k
V
=
K
⊕
V
⊕
(
V
⊗
V
)
⊕
(
V
⊗
V
⊗
V
)
⊕
…
{\displaystyle T(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }T^{k}V=K\oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus \ldots }
令
I
{\displaystyle I}
为
V
{\displaystyle V}
的张量代数 的理想 (即双边理想),该理想是由所有形如
v
⊗
v
{\displaystyle v\otimes v}
的张量生成 的(其中
v
∈
V
{\displaystyle v\in V}
任意),则将
V
{\displaystyle V}
上的外代数
Λ
(
V
)
{\displaystyle \Lambda (V)}
定义为商代数
T
(
V
)
/
I
{\displaystyle T(V)/I}
,即
Λ
(
V
)
:=
T
(
V
)
/
I
,
{\displaystyle \Lambda (V):=T(V)/I,}
并且把
v
1
⊗
…
⊗
v
k
∈
T
k
V
{\displaystyle v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}\in T^{k}V}
的等价类 [3]
[
v
1
⊗
…
⊗
v
k
]
∈
T
(
V
)
/
I
{\displaystyle [v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}]\in T(V)/I}
记为
v
1
∧
…
∧
v
k
{\displaystyle v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k))
,其中
v
1
,
…
,
v
k
∈
V
{\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}\in V}
。设
k
=
0
,
1
,
2
,
…
,
{\displaystyle k=0,1,2,\ldots \,,}
称
Λ
k
(
V
)
:=
(
T
k
V
)
/
I
{\displaystyle \Lambda ^{k}(V):=(T^{k}V)/I}
为
V
{\displaystyle V}
的
k
{\displaystyle k}
-阶外幂 (
k
{\displaystyle k}
th exterior power of
V
{\displaystyle V}
),称
∧
k
(
V
)
{\displaystyle \land ^{k}(V)}
中的元素为
k
{\displaystyle k}
-向量 (
k
{\displaystyle k}
-multivector)。
注:
∀
λ
∈
K
{\displaystyle \forall \lambda \in K}
,当且仅当
λ
=
0
{\displaystyle \lambda =0}
时才有
λ
∈
I
{\displaystyle \lambda \in I}
,因此,可以把
Λ
0
(
V
)
=
K
/
I
{\displaystyle \Lambda ^{0}(V)=K/I}
等同于
K
{\displaystyle K}
,并且把
[
λ
]
∈
Λ
0
(
V
)
{\displaystyle [\lambda ]\in \Lambda ^{0}(V)}
记为
λ
{\displaystyle \lambda }
;基于类似的原因,可以把
Λ
1
(
V
)
=
V
/
I
{\displaystyle \Lambda ^{1}(V)=V/I}
等同于
V
{\displaystyle V}
,而且把
[
v
]
∈
Λ
0
(
V
)
{\displaystyle [v]\in \Lambda ^{0}(V)}
记为
v
{\displaystyle v}
。这一点是前面所讲的能够把
[
v
1
⊗
…
⊗
v
k
]
∈
Λ
k
(
V
)
{\displaystyle [v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}]\in \Lambda ^{k}(V)}
记为
v
1
∧
…
∧
v
k
{\displaystyle v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k))
的特例和前提。
当
k
>
1
{\displaystyle k>1}
时,
k
{\displaystyle k}
-向量并不仅限于形如
v
1
∧
…
∧
v
k
{\displaystyle v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k))
的元素,例如,
v
1
∧
v
2
+
w
1
∧
w
2
{\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}+w_{1}\wedge w_{2))
也是2-向量,其中
v
1
,
v
2
,
w
1
,
w
2
∈
V
{\displaystyle v_{1},v_{2},w_{1},w_{2}\in V}
.
理想
I
{\displaystyle I}
中的元素并不仅限于形如
v
⊗
v
{\displaystyle v\otimes v}
的张量,例如,
∀
v
∈
V
,
∀
t
∈
T
(
V
)
{\displaystyle \forall v\in V,\forall t\in T(V)}
, 必定有
v
⊗
v
⊗
t
∈
I
{\displaystyle v\otimes v\otimes t\in I}
和
t
⊗
v
⊗
v
∈
I
{\displaystyle t\otimes v\otimes v\in I}
.
∀
v
,
w
∈
V
{\displaystyle \forall v,w\in V}
, 由于
(
v
+
w
)
⊗
(
v
+
w
)
∈
I
{\displaystyle (v+w)\otimes (v+w)\in I}
和
v
⊗
v
∈
I
{\displaystyle v\otimes v\in I}
以及
w
⊗
w
∈
I
{\displaystyle w\otimes w\in I}
,显然有
v
⊗
w
+
w
⊗
v
=
(
v
+
w
)
⊗
(
v
+
w
)
−
v
⊗
v
−
w
⊗
w
∈
I
{\displaystyle v\otimes w+w\otimes v=(v+w)\otimes (v+w)-v\otimes v-w\otimes w\in I}
,这就有一个推论:所有的二阶对称张量都在理想
I
{\displaystyle I}
中。
由于上面的两个结论,
∀
v
,
w
∈
V
{\displaystyle \forall v,w\in V}
,我们有
v
⊗
w
⊗
v
=
v
⊗
(
w
⊗
v
+
v
⊗
w
)
−
v
⊗
v
⊗
w
∈
I
{\displaystyle v\otimes w\otimes v=v\otimes (w\otimes v+v\otimes w)-v\otimes v\otimes w\in I}
,这是因为等式右边的每一项都在
I
{\displaystyle I}
中。对张量
t
∈
T
(
V
)
{\displaystyle t\in T(V)}
的阶数作数学归纳法,则可以证明:
∀
v
∈
V
{\displaystyle \forall v\in V}
,
∀
t
∈
T
(
V
)
{\displaystyle \forall t\in T(V)}
,总有
v
⊗
t
⊗
v
∈
I
{\displaystyle v\otimes t\otimes v\in I}
。
设
k
=
2
,
3
,
…
{\displaystyle k=2,3,\ldots }
,则
∀
α
∈
Λ
k
(
V
)
{\displaystyle \forall \alpha \in \Lambda ^{k}(V)}
,
α
{\displaystyle \alpha }
作为等价类含有唯一的一个完全反对称的 代表元
t
∈
T
k
(
V
)
{\displaystyle t\in T^{k}(V)}
,可以把这个
k
{\displaystyle k}
-阶的完全反对称张量等同于
α
{\displaystyle \alpha }
, 详见后面的“反对称算子和外幂”一节。在有些文献中,
k
{\displaystyle k}
-向量就是以这种方式定义的。 运算律 将上面的注中的内容用
∧
{\displaystyle \wedge }
写出,则分别给出
(1)
∀
λ
∈
K
,
α
∈
Λ
(
V
)
{\displaystyle \forall \lambda \in K,\alpha \in \Lambda (V)}
,
λ
∧
α
=
α
∧
λ
=
λ
α
.
{\displaystyle \lambda \wedge \alpha =\alpha \wedge \lambda =\lambda \alpha .}
证明如下: 作为等价类,我们从
α
∈
Λ
(
V
)
=
T
(
V
)
/
I
{\displaystyle \alpha \in \Lambda (V)=T(V)/I}
中任意挑选一个代表元
t
{\displaystyle t}
,则
t
∈
T
(
V
)
{\displaystyle t\in T(V)}
而且
α
=
[
t
]
{\displaystyle \alpha =[t]}
。根据商代数的定义,
λ
∧
α
=
[
λ
]
∧
[
t
]
=
[
λ
⊗
t
]
=
[
λ
t
]
=
λ
[
t
]
=
λ
α
.
{\displaystyle \lambda \wedge \alpha =[\lambda ]\wedge [t]=[\lambda \otimes t]=[\lambda t]=\lambda [t]=\lambda \alpha .}
类似地,可以证明
α
∧
λ
=
λ
α
.
{\displaystyle \alpha \wedge \lambda =\lambda \alpha \,.}
(2) 根据注3.1中的内容,显然有
v
∧
v
=
0
,
∀
v
∈
V
{\displaystyle v\wedge v=0,\,\forall v\in V}
.
(3) 根据注3.2中的内容,对任意
v
,
w
∈
V
{\displaystyle v,w\in V}
成立着
v
∧
w
=
−
w
∧
v
.
{\displaystyle v\wedge w=-w\wedge v.}
注:即使
K
{\displaystyle K}
的特征 为2,这个公式也是对的,只不过此时有
−
1
=
1
{\displaystyle -1=1}
而已。
(4) 根据商代数的定义以及张量代数的性质,运算
∧
:
Λ
(
V
)
×
Λ
(
V
)
→
Λ
(
V
)
{\displaystyle \wedge :\Lambda (V)\times \Lambda (V)\rightarrow \Lambda (V)}
满足结合律 和分配律 :
(
α
∧
β
)
∧
θ
=
α
∧
(
β
∧
θ
)
,
{\displaystyle (\alpha \wedge \beta )\wedge \theta =\alpha \wedge (\beta \wedge \theta ),}
(
α
+
β
)
∧
θ
=
α
∧
θ
+
β
∧
θ
,
{\displaystyle (\alpha +\beta )\wedge \theta =\alpha \wedge \theta +\beta \wedge \theta ,}
α
∧
(
β
+
θ
)
=
α
∧
β
+
α
∧
θ
,
{\displaystyle \alpha \wedge (\beta +\theta )=\alpha \wedge \beta +\alpha \wedge \theta ,}
其中
α
,
β
,
θ
∈
Λ
(
V
)
{\displaystyle \alpha ,\beta ,\theta \in \Lambda (V)}
都是任意的。
以前两条性质为例,其证明如下:设张量
a
,
b
,
t
∈
T
(
V
)
{\displaystyle a,b,t\in T(V)}
分别是
α
,
β
,
θ
{\displaystyle \alpha ,\beta ,\theta }
中的代表元,即
α
=
[
a
]
{\displaystyle \alpha =[a]}
,
β
=
[
b
]
{\displaystyle \beta =[b]}
,
θ
=
[
t
]
{\displaystyle \theta =[t]}
, 则
(
α
∧
β
)
∧
θ
=
(
[
a
]
∧
[
b
]
)
∧
[
t
]
=
[
a
⊗
b
]
∧
[
t
]
=
[
(
a
⊗
b
)
⊗
t
]
=
[
a
⊗
(
b
⊗
t
)
]
=
[
a
]
∧
[
b
⊗
t
]
=
[
a
]
∧
(
[
b
]
∧
[
t
]
)
=
α
∧
(
β
∧
θ
)
,
{\displaystyle (\alpha \wedge \beta )\wedge \theta =([a]\wedge [b])\wedge [t]=[a\otimes b]\wedge [t]=[(a\otimes b)\otimes t]=[a\otimes (b\otimes t)]=[a]\wedge [b\otimes t]=[a]\wedge ([b]\wedge [t])=\alpha \wedge (\beta \wedge \theta ),}
(
α
+
β
)
∧
θ
=
(
[
a
]
+
[
b
]
)
∧
[
t
]
=
[
a
+
b
]
∧
[
t
]
=
[
(
a
+
b
)
⊗
t
]
=
[
a
⊗
t
+
b
⊗
t
]
=
[
a
⊗
t
]
+
[
b
⊗
t
]
=
[
a
]
∧
[
t
]
+
[
b
]
∧
[
t
]
=
α
∧
θ
+
β
∧
θ
.
{\displaystyle (\alpha +\beta )\wedge \theta =([a]+[b])\wedge [t]=[a+b]\wedge [t]=[(a+b)\otimes t]=[a\otimes t+b\otimes t]=[a\otimes t]+[b\otimes t]=[a]\wedge [t]+[b]\wedge [t]=\alpha \wedge \theta +\beta \wedge \theta .}
(5) 根据上面的(3)和(4),用数学归纳法可以证明:
∀
α
∈
Λ
k
(
V
)
,
β
∈
Λ
l
(
V
)
,
{\displaystyle \forall \alpha \in \Lambda ^{k}(V)\,,\,\beta \in \Lambda ^{l}(V)\,,}
β
∧
α
=
(
−
1
)
k
l
α
∧
β
.
{\displaystyle \beta \wedge \alpha =(-1)^{kl}\alpha \wedge \beta .}
证明从略。
若
V
{\displaystyle V}
的维数 是
n
{\displaystyle n}
而
{
e
1
,
…
,
e
n
}
{\displaystyle \left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\))
是
V
{\displaystyle V}
的基 ,则集合
{
e
i
1
∧
e
i
2
∧
⋯
∧
e
i
k
∣
1
≤
i
1
<
i
2
<
⋯
<
i
k
≤
n
}
{\displaystyle \{e_{i_{1))\wedge e_{i_{2))\wedge \cdots \wedge e_{i_{k))\mid 1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\))
是
k
{\displaystyle k}
阶外幂
∧
k
(
V
)
{\displaystyle \land ^{k}(V)}
的一个基。理由如下:给定任何如下形式的楔积
v
1
∧
⋯
∧
v
k
{\displaystyle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k))
则每个向量
v
j
{\displaystyle v_{j))
可以记为基向量
e
i
{\displaystyle e_{i))
的一个线性组合;利用楔积的双线性性质,这可以扩张为那些基向量的楔积的线性组合。任何出现同样基向量两次的楔积为0;任何基向量出现的次序不正确的可以重新排序,在交换任何两个基向量的时候变换符号。一般来讲,最后基
k
{\displaystyle k}
-向量前的系数可以用通过积
e
i
{\displaystyle e_{i))
来描述
v
j
{\displaystyle v_{j))
的矩阵 的子式 来计算。
数一下基元素,我们可以看到
∧
k
(
V
)
{\displaystyle \land ^{k}(V)}
的维数是n 取 k 。特别的有,
∧
k
(
V
)
=
{
0
}
{\displaystyle \land ^{k}(V)=\left\{0\right\))
对于
k
>
n
{\displaystyle k>n}
.
外代数是一个分级代数,是如下直和
Λ
(
V
)
=
Λ
0
(
V
)
⊕
Λ
1
(
V
)
⊕
Λ
2
(
V
)
⊕
⋯
⊕
Λ
n
(
V
)
{\displaystyle \Lambda (V)=\Lambda ^{0}(V)\oplus \Lambda ^{1}(V)\oplus \Lambda ^{2}(V)\oplus \cdots \oplus \Lambda ^{n}(V)}
其维数等于二项式系数之和,也就是
2
n
{\displaystyle 2^{n))
.
考虑空间
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3))
,其基为
{
i
,
j
,
k
}
{\displaystyle \left\{i,j,k\right\))
。一对向量
u
=
u
1
i
+
u
2
j
+
u
3
k
{\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {i} +u_{2}\mathbf {j} +u_{3}\mathbf {k} }
v
=
v
1
i
+
v
2
j
+
v
3
k
{\displaystyle \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {i} +v_{2}\mathbf {j} +v_{3}\mathbf {k} }
的楔积为
u
∧
v
=
(
u
1
v
2
−
u
2
v
1
)
(
i
∧
j
)
+
(
u
1
v
3
−
u
3
v
1
)
(
i
∧
k
)
+
(
u
2
v
3
−
u
3
v
2
)
(
j
∧
k
)
{\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} =(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})(\mathbf {i} \wedge \mathbf {j} )+(u_{1}v_{3}-u_{3}v_{1})(\mathbf {i} \wedge \mathbf {k} )+(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})(\mathbf {j} \wedge \mathbf {k} )}
其中
{
i
∧
j
,
i
∧
k
,
j
∧
k
}
{\displaystyle \left\{i\land j,i\land k,j\land k\right\))
是三维空间
∧
2
(
R
3
)
{\displaystyle \land ^{2}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)}
的基底。
再加一个向量
w
=
w
1
i
+
w
2
j
+
w
3
k
{\displaystyle \mathbf {w} =w_{1}\mathbf {i} +w_{2}\mathbf {j} +w_{3}\mathbf {k} }
,这三个向量的楔积是
u
∧
v
∧
w
=
(
u
1
v
2
w
3
+
u
2
v
3
w
1
+
u
3
v
1
w
2
−
u
1
v
3
w
2
−
u
2
v
1
w
3
−
u
3
v
2
w
1
)
(
i
∧
j
∧
k
)
{\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} =(u_{1}v_{2}w_{3}+u_{2}v_{3}w_{1}+u_{3}v_{1}w_{2}-u_{1}v_{3}w_{2}-u_{2}v_{1}w_{3}-u_{3}v_{2}w_{1})(\mathbf {i} \wedge \mathbf {j} \wedge \mathbf {k} )}
其中
i
∧
j
∧
k
{\displaystyle i\land j\land k}
是一维空间
∧
3
(
R
3
)
{\displaystyle \land ^{3}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)}
的基底。
空间
∧
1
(
R
3
)
{\displaystyle \land ^{1}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)}
是
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3))
, 而空间
∧
0
(
R
3
)
{\displaystyle \land ^{0}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)}
是
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
。取所有四个子空间的直和得到一个向量空间
∧
(
R
3
)
{\displaystyle \land \left(\mathbb {R} ^{3}\right)}
,这是八维向量空间
a
=
(
a
1
,
a
2
,
a
3
,
a
4
,
a
5
,
a
6
,
a
7
,
a
8
)
:=
(
a
1
,
a
2
i
+
a
3
j
+
a
4
k
,
a
5
i
∧
j
+
a
6
i
∧
k
+
a
7
j
∧
k
,
a
8
i
∧
j
∧
k
)
{\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6},a_{7},a_{8}):=(a_{1},a_{2}\mathbf {i} +a_{3}\mathbf {j} +a_{4}\mathbf {k} ,a_{5}\mathbf {i} \wedge \mathbf {j} +a_{6}\mathbf {i} \wedge \mathbf {k} +a_{7}\mathbf {j} \wedge \mathbf {k} ,a_{8}\mathbf {i} \wedge \mathbf {j} \wedge \mathbf {k} )}
.那么,给定一对8维向量
a
{\displaystyle a}
和
b
{\displaystyle b}
, 其中
a
{\displaystyle a}
如上给出,而
b
=
(
b
1
,
b
2
,
b
3
,
b
4
,
b
5
,
b
6
,
b
7
,
b
8
)
{\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},b_{6},b_{7},b_{8})}
,
a
{\displaystyle a}
和
b
{\displaystyle b}
的楔积如下(用列向量表达),
a
∧
b
=
(
a
1
b
1
a
1
b
2
+
a
2
b
1
a
1
b
3
+
a
3
b
1
a
1
b
4
+
a
4
b
1
a
1
b
5
+
a
5
b
1
+
a
2
b
3
−
a
3
b
2
a
1
b
6
+
a
6
b
1
+
a
2
b
4
−
a
4
b
2
a
1
b
7
+
a
7
b
1
+
a
3
b
4
−
a
4
b
3
a
1
b
8
+
a
8
b
1
+
a
2
b
7
+
a
7
b
2
−
a
3
b
6
−
a
6
b
3
+
a
4
b
5
+
a
5
b
4
)
{\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} ={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}\\a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}\\a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}\\a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}\\a_{1}b_{5}+a_{5}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{1}b_{6}+a_{6}b_{1}+a_{2}b_{4}-a_{4}b_{2}\\a_{1}b_{7}+a_{7}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3}\\a_{1}b_{8}+a_{8}b_{1}+a_{2}b_{7}+a_{7}b_{2}-a_{3}b_{6}-a_{6}b_{3}+a_{4}b_{5}+a_{5}b_{4}\end{pmatrix))}
.容易验证8维楔积以向量
(
1
,
0
,
0
,
0
,
0
,
0
,
0
,
0
)
{\displaystyle \left(1,0,0,0,0,0,0,0\right)}
为乘法幺元。也可以验证该
∧
(
R
3
)
{\displaystyle \land \left(\mathbb {R} ^{3}\right)}
代数的楔积是结合的(也是双线性的):
(
a
∧
b
)
∧
c
=
a
∧
(
b
∧
c
)
∀
a
,
b
,
c
∈
Λ
(
R
3
)
,
{\displaystyle (\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )\wedge \mathbf {c} =\mathbf {a} \wedge (\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )\qquad \qquad \forall \,\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} \in \Lambda (\mathbf {R} ^{3}),}
所以该代数是有单位且结合的。
对三维欧几里得空间
E
3
{\displaystyle E^{3))
可以建立一个线性同构
ϕ
:
Λ
2
(
E
3
)
→
E
3
{\displaystyle \phi :\Lambda ^{2}(E^{3})\rightarrow E^{3))
如下:任取
E
3
{\displaystyle E^{3))
的右手的 标准正交基
i
{\displaystyle {\boldsymbol {i))}
,
j
{\displaystyle {\boldsymbol {j))}
,
k
{\displaystyle {\boldsymbol {k))}
,规定
ϕ
{\displaystyle \phi }
把
i
∧
j
{\displaystyle {\boldsymbol {i))\wedge \mathbf {j} }
,
j
∧
k
{\displaystyle {\boldsymbol {j))\wedge {\boldsymbol {k))}
,
k
∧
i
{\displaystyle {\boldsymbol {k))\wedge {\boldsymbol {i))}
分别映射为
k
{\displaystyle {\boldsymbol {k))}
,
i
{\displaystyle {\boldsymbol {i))}
,
j
{\displaystyle {\boldsymbol {j))}
,则
ϕ
{\displaystyle \phi }
的定义与右手的标准正交基如何选取无关。
不难看出,对任意向量
u
{\displaystyle {\boldsymbol {u))}
和
v
{\displaystyle {\boldsymbol {v))}
,这个线性同构把
u
∧
v
{\displaystyle {\boldsymbol {u))\wedge {\boldsymbol {v))}
映射为
u
×
v
{\displaystyle {\boldsymbol {u))\times {\boldsymbol {v))}
。这就是叉乘 (向量积)的实质。例如,
E
3
{\displaystyle E^{3))
中平行四边形
A
B
C
D
{\displaystyle ABCD}
的面积向量可以表示为
A
B
→
×
A
D
→
{\displaystyle {\overrightarrow {AB))\times {\overrightarrow {AD))}
. 经过推广之后,高维黎曼流形
(
M
,
g
)
{\displaystyle (M,\mathbf {g} )}
中的紧 的二维曲面
Σ
{\displaystyle \Sigma }
的面积则可以用
∫
Σ
h
d
u
1
∧
d
u
2
,
h
=
|
h
11
h
12
h
21
h
22
|
,
{\displaystyle \int _{\Sigma }{\sqrt {h))\,du^{1}\wedge du^{2}\,,\qquad h=\left|{\begin{array}{cc}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{array))\right|\,,}
来计算(其中
h
a
b
{\displaystyle h_{ab))
是度规张量场
g
{\displaystyle \mathbf {g} }
在
Σ
{\displaystyle \Sigma }
上的诱导度规
h
=
h
a
b
d
u
a
⊗
d
u
b
{\displaystyle \mathbf {h} =h_{ab}\,du^{a}\otimes du^{b))
的坐标分量),由此可以看到外积和叉乘的深刻关系。
在物理学中,向量 (极向量)与赝向量 (轴向量 )两个概念经常需要加以区分。从根本上说,向量是
E
3
{\displaystyle E^{3))
中的元素,所以在空间反演变换下不会改变方向;而赝向量其实是
Λ
2
(
E
3
)
{\displaystyle \Lambda ^{2}(E^{3})}
中的元素,故在空间反演变换下会改变方向。
类似地,借助于右手的 标准正交基,可以把
Λ
3
(
E
3
)
{\displaystyle \Lambda ^{3}(E^{3})}
中的元素
a
i
∧
j
∧
k
{\displaystyle a\,{\boldsymbol {i))\wedge {\boldsymbol {j))\wedge {\boldsymbol {k))}
映射为“标量"
a
∈
R
=
Λ
0
(
E
3
)
{\displaystyle a\in \mathbb {R} =\Lambda ^{0}(E^{3})}
。但是,在空间反演变换下它就会原形毕露,所以称它为赝标量 。真正的标量在空间反演下是不变的,而赝标量在空间反演下会改变符号。
把 2-向量
u
∧
v
{\displaystyle {\boldsymbol {u))\wedge {\boldsymbol {v))}
映射为向量
u
×
v
{\displaystyle {\boldsymbol {u))\times {\boldsymbol {v))}
以及把 3-向量
a
i
∧
j
∧
k
{\displaystyle a\,{\boldsymbol {i))\wedge {\boldsymbol {j))\wedge {\boldsymbol {k))}
映射为一个实数
a
{\displaystyle a}
的映射实际上是一个叫做霍奇对偶 的线性映射 。
令
V
{\displaystyle V}
为一个域
K
{\displaystyle K}
(在多数应用中,也就是实数 域)上的向量空间。
∧
(
V
)
{\displaystyle \land (V)}
是“最一般”的包含
V
{\displaystyle V}
的并有一个交替乘法在
V
{\displaystyle V}
上由单位的结合
K
{\displaystyle K}
-代数这个事实可以用如下的泛性质 形式化的表达:
外代数的泛性质 要构造最一般的包含
V
{\displaystyle V}
的代数,而且其乘法是在
V
{\displaystyle V}
上交替的,很自然可以从包含
V
{\displaystyle V}
的最一般的代数开始,也就是张量代数
T
(
V
)
{\displaystyle T(V)}
,然后通过合适的商来强制交替的性质。这样我们取
T
(
V
)
{\displaystyle T(V)}
中由所有形为
v
⊗
v
{\displaystyle v\otimes v}
的元素生成的双边理想
I
{\displaystyle I}
,其中
v
{\displaystyle v}
属于
V
{\displaystyle V}
,并定义
∧
(
V
)
{\displaystyle \land (V)}
为商
∧
(
V
)
=
T
(
V
)
/
I
{\displaystyle \land (V)=T(V)/I}
(并且使用
∧
{\displaystyle \land }
为
∧
(
V
)
{\displaystyle \land (V)}
中的乘法的代号)。然后可以直接证明
∧
(
V
)
{\displaystyle \land (V)}
包含
V
{\displaystyle V}
并且满足上述泛性质。
如果不是先定义
∧
(
V
)
{\displaystyle \land (V)}
然后把外幂
∧
k
(
V
)
{\displaystyle \land ^{k}(V)}
等同为特定的子空间,我们也可以先定义空间
∧
k
(
V
)
{\displaystyle \land ^{k}(V)}
然后把它们合并成为一个代数
∧
(
V
)
{\displaystyle \land (V)}
。这个方法在微分集合中常常用到,并在下节中有描述。
给定两个向量空间
V
{\displaystyle V}
和
X
{\displaystyle X}
,一个从
V
k
{\displaystyle V^{k))
到
X
{\displaystyle X}
的反对称算子 是一个多线性映射
f
:
V
k
→
X
{\displaystyle f:V^{k}\rightarrow X}
使得只要
v
1
,
…
,
v
k
{\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k))
是
V
{\displaystyle V}
中线性相关 的向量,则
f
(
v
1
,
…
,
v
k
)
=
0
{\displaystyle f\left(v_{1},\ldots ,v_{k}\right)=0}
.最著名的例子是行列式 值,从
(
K
n
)
n
{\displaystyle (K^{n})^{n))
到
K
{\displaystyle K}
的反对称线形算子。
映射
w
:
V
k
→
∧
k
(
V
)
{\displaystyle w:V^{k}\rightarrow \land ^{k}(V)}
它关联
V
{\displaystyle V}
中的
k
{\displaystyle k}
个向量到他们的楔积,也就是它们相应的
k
{\displaystyle k}
-向量,这也是反对称的。事实上,这个映射是定义在
V
k
{\displaystyle V^{k))
上的“最一般”的反对称算子:给定任何其它反对称算子
f
:
V
k
→
X
{\displaystyle f:V^{k}\rightarrow X}
,存在一个唯一的线性映射
φ
:
∧
k
(
V
)
→
X
w
i
t
h
f
=
φ
∘
w
{\displaystyle \varphi :\land ^{k}(V)\rightarrow X\mathrm {with} f=\varphi \circ w}
。这个泛性质 表述了空间
∧
k
(
V
)
{\displaystyle \land ^{k}(V)}
并且可以作为它的定义。
所有从
V
k
{\displaystyle V^{k))
到基域
K
{\displaystyle K}
的反对称映射组成一个向量空间,因为两个这样的映射的和、或者这样一个映射和一个标量的乘积也是反对称的。若
V
{\displaystyle V}
是有限维的,维数
n
{\displaystyle n}
,则该空间可以认同为
∧
k
(
V
∗
)
{\displaystyle \land ^{k}(V^{*})}
,其中
V
∗
{\displaystyle V^{*))
表示
V
{\displaystyle V}
的对偶空间。特别的有,从
V
k
{\displaystyle V^{k))
到
K
{\displaystyle K}
的反对称映射的空间是
n
{\displaystyle n}
取
k
{\displaystyle k}
维的。
在这个等同关系下,若基域是
R
{\displaystyle R}
或者
C
{\displaystyle C}
,楔积有一个具体的形式:它从两个给定的反对称映射得到一个新的反对称映射。设
ω
:
V
k
→
K
{\displaystyle \omega :V^{k}\rightarrow K}
和
η
:
V
m
→
K
{\displaystyle \eta :V^{m}\rightarrow K}
为两个反对称映射。和在多线性映射的张量积 的情况一样,楔积的变量数是每个映射的变量数之和。它定义如下:
ω
∧
η
=
(
k
+
m
)
!
k
!
m
!
A
l
t
(
ω
⊗
η
)
{\displaystyle \omega \wedge \eta ={\frac {(k+m)!}{k!\,m!)){\rm {Alt))(\omega \otimes \eta )}
其中多线性映射的交替
A
l
t
{\displaystyle \mathrm {Alt} }
定义为其变量的所有排列 的带符号平均:
A
l
t
(
ω
)
(
x
1
,
…
,
x
k
)
=
1
k
!
∑
σ
∈
S
k
s
g
n
(
σ
)
ω
(
x
σ
(
1
)
,
…
,
x
σ
(
k
)
)
{\displaystyle {\rm {Alt))(\omega )(x_{1},\ldots ,x_{k})={\frac {1}{k!))\sum _{\sigma \in S_{k)){\rm {sgn))(\sigma )\,\omega (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)})}
注意: 有一些书中楔积定义为
ω
∧
η
=
A
l
t
(
ω
⊗
η
)
{\displaystyle \omega \wedge \eta ={\rm {Alt))(\omega \otimes \eta )}
在主要由物理学家 使用的指标记法中有:
(
ω
∧
η
)
a
1
⋯
a
k
+
m
=
1
k
!
m
!
ϵ
a
1
⋯
a
k
+
m
b
1
⋯
b
k
c
1
⋯
c
m
ω
b
1
⋯
b
k
η
c
1
⋯
c
m
{\displaystyle (\omega \wedge \eta )_{a_{1}\cdots a_{k+m))={\frac {1}{k!m!))\epsilon _{a_{1}\cdots a_{k+m))^{b_{1}\cdots b_{k}c_{1}\cdots c_{m))\omega _{b_{1}\cdots b_{k))\eta _{c_{1}\cdots c_{m))}
令
M
{\displaystyle M}
为一个微分流形 。一个微分k -形式
ω
{\displaystyle \omega }
是
∧
k
T
∗
M
{\displaystyle \land ^{k}T^{*}M}
(
M
{\displaystyle M}
的余切丛 的
k
{\displaystyle k}
阶外幂)的一个截面 。等价的有:
ω
{\displaystyle \omega }
是
M
{\displaystyle M}
的光滑函数,对于
M
{\displaystyle M}
的每个点
x
{\displaystyle x}
给定一个
∧
k
(
T
x
M
)
∗
{\displaystyle \land ^{k}\left(T_{x}M\right)^{*))
的元素。大致来讲,微分形式是余切向量的全局版本。微分形式是微分几何 的重要工具,其中,它们被用于定义德拉姆上同调 和亚历山大-斯潘尼尔上同调。
给定一个交换环
R
{\displaystyle R}
和一个
R
{\displaystyle R}
-模
M
{\displaystyle M}
,我们可以定义和上文一样的外代数
∧
(
M
)
{\displaystyle \land (M)}
,它是张量代数
T
(
M
)
{\displaystyle T(M)}
适当的商。它会满足类似的泛性质。
格拉斯曼代数在物理 中有重要应用,它们被用于建模和费米子 和超对称性 相关的各种概念。
参看 :超空间 ,超代数 ,超群
^ R. Penrose. The Road to Reality. Vintage books. 2007. ISBN 0-679-77631-1 .
^ J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne. Gravitation . W.H. Freeman & Co. 1973: 83 . ISBN 0-7167-0344-0 .
^ 由下述等价关系
∼
{\displaystyle \sim }
所形成的等价类:
∀
u
,
v
∈
T
(
V
)
,
u
∼
v
⇔
u
−
v
∈
I
.
{\displaystyle \forall u,v\in T(V)\,,u\sim v\Leftrightarrow u-v\in I\,.}
张量理论中的字汇
范畴
符号 张量定义 运算 相关抽象名词 知名张量
数学家