3条测地线构成的球面三角形。在球面 上,测地线是大圆 。 测地线 (英语 :Geodesic)又称大地线 或短程线 ,数学 上可视作直线 在弯曲空间 中的推广;在有度规 定义存在之时,测地线可以定义为空间中两点的局域最短路径。测地线(英语:geodesic )的名字来自对于地球 尺寸与形状的大地测量学 (英语:geodesy )。
三维空间中的曲面
在大地线上,各点的主曲率 方向均与该点上曲面法线 相合。它在圆球面上为大圆弧,在平面上就是直线。在大地测量中,通常用大地线来代替法截线,作为研究和计算椭球面上各种问题。测地线是在一个曲面上,每一点处测地曲率 均为零的曲线。
相关定理及推论
曲面上非直线的曲线是测地线的充分必要条件是除了曲率 为零的点以外,曲线的主法线重合于曲面的法线。
如果两曲面沿一曲线相切,并且此曲线是其中一个曲面的测地线,那么它也是另一个曲面的测地线。
过曲面上任一点,给定一个曲面的切方向 ,则存在唯一一条测地线切于此方向。
在适当的小范围内联结任意两点的测地线是最短线,所以测地线又称为短程线 。
微分几何的测地线
在一个黎曼流形
M
{\displaystyle M}
上,一条曲线
γ
:
I
→
M
{\displaystyle \gamma :I\to M}
若符合常微分方程
∇
γ
˙
γ
˙
=
0
{\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma )){\dot {\gamma ))=0}
就称之为测地线。其中
∇
{\displaystyle \nabla }
是
M
{\displaystyle M}
上的列维-奇维塔联络 。方程左边为曲线在流形上的加速度 向量,所以方程是说测地线是在流形上加速度为零的曲线,也因此测地线必定是等速曲线。
以上方程用局部座标表示为
d
2
γ
λ
d
t
2
+
Γ
μ
ν
λ
d
γ
μ
d
t
d
γ
ν
d
t
=
0
{\displaystyle {\frac {d^{2}\gamma ^{\lambda )){dt^{2))}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {d\gamma ^{\mu )){dt)){\frac {d\gamma ^{\nu )){dt))=0}
其中
Γ
μ
ν
λ
{\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda ))
是
M
{\displaystyle M}
的黎曼度量 的克里斯托费尔符号 。
唯一性及存在性
给定流形上一点
p
{\displaystyle p}
及点上一个非零的切向量
v
∈
T
p
M
{\displaystyle v\in T_{p}M}
,因测地线方程是二阶常微分方程 ,柯西-利普希茨定理 指出存在区间
(
−
ϵ
,
ϵ
)
{\displaystyle (-\epsilon ,\epsilon )}
,使得方程在此区间上存在唯一解
γ
:
(
−
ϵ
,
ϵ
)
→
M
{\displaystyle \gamma :(-\epsilon ,\epsilon )\to M}
满足初值条件
γ
(
0
)
=
p
{\displaystyle \gamma (0)=p}
,
γ
˙
(
0
)
=
v
{\displaystyle {\dot {\gamma ))(0)=v}
。但因为方程是非线性的,故未必在实数域
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
上存在解。
从上述方程解的唯一性,可知若两条测地线经过同一点,且在此点上有相同的切向量,则这两条测地线是同一条测地线中的两部分。
设
γ
:
[
a
,
b
]
→
M
{\displaystyle \gamma :[a,b]\to M}
是一条测地线,
−
∞
<
a
<
0
<
b
<
∞
{\displaystyle -\infty <a<0<b<\infty }
。如果对起点
γ
(
0
)
{\displaystyle \gamma (0)}
及起点的切向量
γ
˙
(
0
)
{\displaystyle {\dot {\gamma ))(0)}
改变得足够细微,则存在新的测地线符合新的初值条件,且仍然定义在
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
上。这个结果用严格语言叙述为:
给定测地线
γ
:
[
a
,
b
]
→
M
{\displaystyle \gamma :[a,b]\to M}
。在切丛
T
M
{\displaystyle TM}
中存在
γ
˙
(
0
)
{\displaystyle {\dot {\gamma ))(0)}
的一个邻域
U
{\displaystyle U}
,使得对任何
v
∈
U
{\displaystyle v\in U}
,都存在测地线
γ
v
:
[
a
,
b
]
→
M
{\displaystyle \gamma _{v}:[a,b]\to M}
满足初值条件
γ
˙
v
(
0
)
=
v
{\displaystyle {\dot {\gamma ))_{v}(0)=v}
。 从这结果可以得出,如果
γ
{\displaystyle \gamma }
是定义在有界开区间
I
{\displaystyle I}
上的测地线,对它的起点和此点上的切向量改变得足够细微的话,则存在一条新的测地线满足新的初值条件,并且定义在接近整条
I
{\displaystyle I}
上。[1]
如果对于任意初始条件
γ
(
0
)
=
p
{\displaystyle \gamma (0)=p}
,
γ
˙
(
0
)
=
v
{\displaystyle {\dot {\gamma ))(0)=v}
都存在一条定义在整条实数线上的测地线
γ
:
R
→
M
{\displaystyle \gamma :\mathbb {R} \to M}
,则称
M
{\displaystyle M}
是测地完备的。霍普夫-里诺定理 指出,若
M
{\displaystyle M}
是一个完备 的度量空间 ,则
M
{\displaystyle M}
是测地完备的。(
M
{\displaystyle M}
上两点间的度量 ,是连接此两点的所有曲线的长度的最大下界 。)
局部最短性
在黎曼流形
M
{\displaystyle M}
上连接两点之间的等速曲线,若其长度等于两点间的距离,即这曲线是两点间最短的曲线,那么这曲线必定是测地线。然而,连接两点间的测地线未必最短。比如在单位球面 上,一条长度大于
π
{\displaystyle \pi }
的测地线,不是连接这条线的两端点间的最短曲线。因为球面上的测地线都是大圆的弧,若测地线长度大于
π
{\displaystyle \pi }
,那么测地线所在大圆上的另一条弧,其长度会小于
π
{\displaystyle \pi }
,是连接这两点的最短测地线。
连接两点间最短测地线,也未必唯一。比如单位球面上两个对径点(即球面和一条直径的两个交点)之间,有无数条最短测地线相连。然而,流形上任何一点都存在一个邻域 ,使得该点和邻域上其他点之间,都有唯一的最短测地线相连(不计测地线的速度)。因此流形上任何测地线都是局部最短的。
对流形上一点
p
{\displaystyle p}
,一条从
p
{\displaystyle p}
出发的单位速的测地线
γ
(
t
)
{\displaystyle \gamma (t)}
,考虑所有的
t
≥
0
{\displaystyle t\geq 0}
使得
d
(
p
,
γ
(
t
)
)
=
t
{\displaystyle d(p,\gamma (t))=t}
,即是说
γ
(
[
0
,
t
]
)
{\displaystyle \gamma ([0,t])}
是一条最短测地线。这集合可以是
[
0
,
t
0
]
{\displaystyle [0,t_{0}]}
或
[
0
,
∞
)
{\displaystyle [0,\infty )}
。若是前者,称
γ
(
t
0
)
{\displaystyle \gamma (t_{0})}
是
p
{\displaystyle p}
沿着
γ
{\displaystyle \gamma }
的割点,那么对所有
t
<
t
0
{\displaystyle t<t_{0))
,
γ
(
[
0
,
t
]
)
{\displaystyle \gamma ([0,t])}
是从
p
{\displaystyle p}
点到
γ
(
t
)
{\displaystyle \gamma (t)}
的唯一最短测地线;若是后者,则对所有
t
≥
0
{\displaystyle t\geq 0}
,
γ
(
[
0
,
t
]
)
{\displaystyle \gamma ([0,t])}
都是
p
{\displaystyle p}
点到
γ
(
t
)
{\displaystyle \gamma (t)}
的唯一最短测地线。
p
{\displaystyle p}
沿着全部从
p
{\displaystyle p}
出发的测地线的割点组成的集合,称为
p
{\displaystyle p}
的割迹
C
p
(
M
)
{\displaystyle C_{p}(M)}
。
度量几何的测地线
一般的度量空间
X
{\displaystyle X}
中,测地线
γ
{\displaystyle \gamma }
是从区间
I
⊂
R
{\displaystyle I\subset \mathbb {R} }
的映射 ,使得对任何
t
0
∈
I
{\displaystyle t_{0}\in I}
,都存在区间
J
⊂
I
{\displaystyle J\subset I}
,使得
J
{\displaystyle J}
包含
t
0
{\displaystyle t_{0))
在
I
{\displaystyle I}
中一个开 邻域 ,并且对任何
t
1
,
t
2
∈
J
{\displaystyle t_{1},t_{2}\in J}
有
d
(
γ
(
t
1
)
,
γ
(
t
2
)
)
=
|
t
1
−
t
2
|
{\displaystyle d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=\left|t_{1}-t_{2}\right|}
换言之,
γ
(
J
)
{\displaystyle \gamma (J)}
是连接其上任何两点的一条最短路线。[2]
如果一个度量空间任何两点都有测地线相连,称为测地度量空间。
度量空间上的测地线的性质,和微分几何有些不同:
两条测地线即使有部分线段重合,却未必属于同一条测地线。例如在
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2))
上定义度量(曼哈顿距离 )
d
(
(
x
1
,
y
1
)
,
(
x
2
,
y
2
)
)
=
|
x
1
−
x
2
|
+
|
y
1
−
y
2
|
{\displaystyle d((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=\left|x_{1}-x_{2}\right|+\left|y_{1}-y_{2}\right|}
设
γ
1
{\displaystyle \gamma _{1))
是从(0,0)到(1,0)再到(1,1)的两条线段所组成,而
γ
2
{\displaystyle \gamma _{2))
是从(0,0)到(2,0)的线段。这两条都是测地线,且在(0,0)到(1,0)一段重合,但明显不属同一条测地线,因为这两条线过了点(1,0)之后就分开。
一个测地度量空间中,在一点上未必存在一个邻域,使得该点其邻域其他点都有唯一的测地线。在上例的度量空间中,两点间如果两个座标都不同,则有无限多条测地线连接两点。例如从(0,0)到(2,1),以下都是连接这两点的最短测地线:任取一数
t
0
∈
[
0
,
2
]
{\displaystyle t_{0}\in [0,2]}
,
γ
t
0
(
t
)
=
{
(
t
,
0
)
t
≤
t
0
(
t
0
,
t
−
t
0
)
t
0
≤
t
≤
t
0
+
1
(
t
−
1
,
1
)
t
0
+
1
≤
t
≤
3
{\displaystyle \gamma _{t_{0))(t)={\begin{cases}(t,0)&t\leq t_{0}\\(t_{0},t-t_{0})&t_{0}\leq t\leq t_{0}+1\\(t-1,1)&t_{0}+1\leq t\leq 3\end{cases))}
就是先向右走到
(
t
0
,
0
)
{\displaystyle (t_{0},0)}
,再向上走到
(
t
0
,
1
)
{\displaystyle (t_{0},1)}
,再向右走到(2,1)。在任何一点的任何邻域中,和该点两个座标都不同的点有无数个,所以从该点到这些点之间,最短测地线都不是唯一。
参考
^ Petersen, Peter (2006), Riemannian geometry, Graduate Texts in Mathematics, 171 (2nd ed.), Berlin, New York.
^ Burago, Dmitri; Yuri Burago, and Sergei Ivanov (2001), A Course in Metric Geometry, American Mathematical Society.