在数学中,克罗内克函数 (又称克罗内克δ函数、克罗内克δ)
δ
i
j
{\displaystyle \delta _{ij}\,\!}
是一个二元函数 ,得名于德国数学家利奥波德·克罗内克 。克罗内克函数的自变量(输入值)一般是两个整数 ,如果两者相等,则其输出值为1,否则为0。
δ
i
j
=
{
1
(
i
=
j
)
0
(
i
≠
j
)
{\displaystyle \delta _{ij}=\left\((\begin{matrix}1&(i=j)\\0&(i\neq j)\end{matrix))\right.\,\!}
。 克罗内克函数的值一般简写为
δ
i
j
{\displaystyle \delta _{ij}\,\!}
。
克罗内克函数和狄拉克δ函数 都使用δ作为符号,但是克罗内克δ用的时候带两个下标,而狄拉克δ函数则只有一个变量。
其它记法
另一种标记方法是使用艾佛森括号 (得名于肯尼斯·艾佛森 ):
δ
i
j
=
[
i
=
j
]
{\displaystyle \delta _{ij}=[i=j]\,\!}
。同时,当一个变量为0时,常常会被略去,记号变为
δ
i
{\displaystyle \delta _{i}\,\!}
:
δ
i
=
{
1
,
if
i
=
0
0
,
if
i
≠
0
{\displaystyle \delta _{i}=\left\((\begin{matrix}1,&{\mbox{if ))i=0\\0,&{\mbox{if ))i\neq 0\end{matrix))\right.\,\!}
。 在线性代数 中,克罗内克函数可以被看做一个张量 ,写作
δ
j
i
{\displaystyle \delta _{j}^{i}\,\!}
。
数码信号处理
冲激函数 类似的,在数码信号处理 中,与克罗内克函数等价的概念是变量为
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} \,\!}
(整数 )的函数:
δ
[
n
]
=
{
1
,
n
=
0
0
,
n
≠
0
{\displaystyle \delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases))\,\!}
。
这个函数代表着一个冲激 或单位冲激 。当一个数字处理单元的输入为单位冲激时,输出的函数被称为此单元的冲激响应 。
性质
克罗内克函数有筛选性:对任意
j
∈
Z
{\displaystyle j\in \mathbb {Z} \,\!}
:
∑
i
=
−
∞
∞
δ
i
j
a
i
=
a
j
{\displaystyle \sum _{i=-\infty }^{\infty }\delta _{ij}a_{i}=a_{j}\,\!}
。如果将整数看做一个装备了计数测度 的测度空间 ,那么这个性质和狄拉克δ函数 的定义是一样的:
∫
−
∞
∞
δ
(
x
−
y
)
f
(
x
)
d
x
=
f
(
y
)
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-y)f(x)dx=f(y)\,\!}
。实际上,狄拉克δ函数是根据克罗内克函数而得名的。在信号处理中,两者是同一个概念在不同的上下文中的表现。一般设定
δ
(
t
)
{\displaystyle \delta (t)\,\,\!}
为连续的情况(狄拉克函数) ,而使用i , j , k , l , m , and n 等变量一般是在 离散的情况下(克罗内克函数)。
线性代数中的应用
在线性代数 中,单位矩阵 可以写作
(
δ
i
j
)
i
,
j
=
1
n
{\displaystyle (\delta _{ij})_{i,j=1}^{n}\,\!}
。
在看做是张量 时(克罗内克张量),可以写作
δ
j
i
{\displaystyle \delta _{j}^{i}\,\!}
。
这个(1,1)向量表示:
作为线性映射 的单位矩阵。
迹数 。
内积
V
∗
⊗
V
→
K
{\displaystyle V^{*}\otimes V\to K\,\!}
。
映射
K
→
V
∗
⊗
V
{\displaystyle K\to V^{*}\otimes V\,\!}
,将数量乘积表示为外积 的形式。
广义克罗内克函数
定义广义克罗内克函数 为
n
×
n
{\displaystyle n\times n\,\!}
矩阵的行列式 ,以方程式表达为[1]
δ
i
1
i
2
…
i
n
j
1
j
2
…
j
n
=
[
δ
i
1
j
1
δ
i
2
j
1
⋯
δ
i
n
j
1
δ
i
1
j
2
δ
i
2
j
2
⋯
δ
i
n
j
2
⋮
⋱
⋮
δ
i
1
j
n
δ
i
2
j
n
⋯
δ
i
n
j
n
]
{\displaystyle \delta _{i_{1}i_{2}\dots i_{n))^{j_{1}j_{2}\dots j_{n))={\begin{bmatrix}\delta _{i_{1))^{j_{1))\delta _{i_{2))^{j_{1))&\cdots &\delta _{i_{n))^{j_{1))\\\delta _{i_{1))^{j_{2))\delta _{i_{2))^{j_{2))&\cdots &\delta _{i_{n))^{j_{2))\\\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{i_{1))^{j_{n))\delta _{i_{2))^{j_{n))&\cdots &\delta _{i_{n))^{j_{n))\\\end{bmatrix))\,\!}
; 其中,
δ
j
i
{\displaystyle \delta _{j}^{i}\,\!}
是个张量 函数,定义为
δ
j
i
=
d
e
f
δ
i
j
{\displaystyle \delta _{j}^{i}\ {\stackrel {def}{=))\ \delta _{ij}\,\!}
。
以下列出涉及广义克罗内克函数的一些恒等式 :
δ
i
m
n
i
j
k
=
δ
m
n
j
k
=
δ
m
j
δ
n
k
−
δ
n
j
δ
m
k
{\displaystyle \delta _{imn}^{ijk}=\delta _{mn}^{jk}=\delta _{m}^{j}\delta _{n}^{k}-\delta _{n}^{j}\delta _{m}^{k}\,\!}
。
δ
i
j
m
i
j
k
=
2
δ
m
k
{\displaystyle \delta _{ijm}^{ijk}=2\delta _{m}^{k}\,\!}
。
δ
i
j
k
i
j
k
=
6
{\displaystyle \delta _{ijk}^{ijk}=6\,\!}
。
δ
l
m
n
i
j
k
=
ϵ
i
j
k
ϵ
l
m
n
{\displaystyle \delta _{lmn}^{ijk}=\epsilon ^{ijk}\epsilon _{lmn}\,\!}
;其中,
ϵ
i
j
k
{\displaystyle \epsilon ^{ijk}\,\!}
和
ϵ
l
m
n
{\displaystyle \epsilon _{lmn}\,\!}
是列维-奇维塔符号 。
δ
i
1
i
2
…
i
n
j
1
j
2
…
j
n
=
ϵ
j
1
j
2
…
j
n
ϵ
i
1
i
2
…
i
n
{\displaystyle \delta _{i_{1}i_{2}\dots i_{n))^{j_{1}j_{2}\dots j_{n))=\epsilon ^{j_{1}j_{2}\dots j_{n))\epsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n))\,\!}
。
δ
i
1
i
2
…
i
n
12
…
n
=
ϵ
i
1
i
2
…
i
n
{\displaystyle \delta _{i_{1}i_{2}\dots i_{n))^{12\dots n}=\epsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n))\,\!}
。
δ
i
1
i
2
…
i
n
j
1
j
2
…
j
n
T
j
1
j
2
…
j
n
=
n
!
T
i
1
i
2
…
i
n
{\displaystyle \delta _{i_{1}i_{2}\dots i_{n))^{j_{1}j_{2}\dots j_{n))T_{j_{1}j_{2}\dots j_{n))=n!\ T_{i_{1}i_{2}\dots i_{n))\,\!}
;其中,
T
j
1
j
2
…
j
n
{\displaystyle T_{j_{1}j_{2}\dots j_{n))\,\!}
是
n
{\displaystyle n\,\!}
阶张量。
积分表示
对任意的整数
n
{\displaystyle n\,\!}
,运用标准的留数 计算,可以将克罗内克函数表示成积分的形式:
δ
x
,
n
=
1
2
π
i
∮
z
x
−
n
−
1
d
z
{\displaystyle \delta _{x,n}={\frac {1}{2\pi i))\oint z^{x-n-1}dz\,\!}
;其中积分的路径是围绕零点逆时针进行。
这个表示方式与下面的另一形式等价:
δ
x
,
n
=
1
2
π
∫
0
2
π
e
i
(
x
−
n
)
φ
d
φ
{\displaystyle \delta _{x,n}={\frac {1}{2\pi ))\int _{0}^{2\pi }e^{i(x-n)\varphi }d\varphi \,\!}
。
参考文献
^ Heinbockel, J. H., Introduction to Tensor Calculus and Continum Mechanics , Victoria, B.C. Canada: Trafford Publishing: pp. 14, 31, 2001 [2010-04-25 ] , ISBN 1-55369-133-4 , (原始内容 存档于2020-01-06)