方程
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=
1
{\displaystyle {x^{2} \over a^{2))+{y^{2} \over b^{2))+{z^{2} \over c^{2))=1}
表示的例子椭球: 球面 (上图, a=b=c=4), 类球面 (下左, a=b=5, c=3), 三轴椭球面 (下右, a=4.5, b=6, c=3) 椭球 是一种二次曲面 ,是椭圆 在三维空间 的推广。
标准方程
椭球在xyz -笛卡儿坐标系 中的方程式:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=
1
{\displaystyle {x^{2} \over a^{2))+{y^{2} \over b^{2))+{z^{2} \over c^{2))=1}
其中a 和b 是赤道半径(沿着x 和y 轴),c 是极半径(沿着z 轴)。这三个数都是固定的正 实数 ,决定了椭球的形状。
如果三个半径都是相等的,那么就是一个球 ;如果有两个半径是相等的,则是一个类球面 。
a
=
b
=
c
{\displaystyle a=b=c\,\!}
:球 ;
a
=
b
>
c
{\displaystyle a=b>c\,\!}
:扁球面 (类似盘状);
a
=
b
<
c
{\displaystyle a=b<c\,\!}
:长球面 (类似条状);
a
≠
b
,
b
≠
c
,
c
≠
a
{\displaystyle a\neq b,b\neq c,c\neq a\!}
:不等边 椭球(“三条边都不相等”)。点(a ,0,0)、(0,b ,0)和(0,0,c )都在曲面上。从原点到这三个点的线段,称为椭球的半主轴 。它们与椭圆 的半长轴 和半短轴 相对应。
参数化
使用球坐标系 ,其中
+
θ
′
{\displaystyle {\color {white}+}\!\!\!\theta {\color {white}'}\,\!}
是天顶 角,
+
φ
−
{\displaystyle {\color {white}+}\!\!\!\varphi {\color {white}\!\!\!-}\,\!}
是方位角 ,则椭球可以表示为以下的参数形式:
x
=
a
sin
θ
cos
φ
;
|
y
=
b
sin
θ
sin
φ
;
z
=
c
cos
θ
;
{\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\,\sin \theta \cos \varphi ;\!{\color {white}|}\\y&=b\,\sin \theta \sin \varphi ;\\z&=c\,\cos \theta ;\end{aligned))\,\!}
0
≤
θ
≤
180
∘
;
0
≤
φ
≤
360
∘
;
|
{\displaystyle {\begin{matrix}0\leq \theta \leq {180}^{\circ };\quad {0}\leq \varphi \leq {360}^{\circ };\!{\color {white}{\big |))\end{matrix))\,\!}
以扁椭球的XZ截面为例,这里的高度角是t,目标点是P,t不是点P的大地纬度 ,也不是它的地心纬度 ,由于此参数定义而被阿瑟·凯莱 称为“参数纬度”[1] 。 使用地理坐标系 ,其中
β
{\displaystyle \beta \,\!}
是一点的参数纬度 ,
+
λ
′
{\displaystyle {\color {white}+}\!\!\!\lambda {\color {white}'}\,\!}
是该点的经度 :
x
=
a
cos
β
cos
λ
;
|
y
=
b
cos
β
sin
λ
;
z
=
c
sin
β
;
{\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\,\cos \beta \cos \lambda ;\!{\color {white}|}\\y&=b\,\cos \beta \sin \lambda ;\\z&=c\,\sin \beta ;\end{aligned))\,\!}
−
90
∘
≤
β
≤
90
∘
;
−
180
∘
≤
λ
≤
180
∘
;
|
{\displaystyle {\begin{matrix}-90^{\circ }\leq \beta \leq 90^{\circ };\quad -180^{\circ }\leq \lambda \leq 180^{\circ };\!{\color {white}{\big |))\end{matrix))\,\!}
(注意,当
|
β
=
±
90
∘
|
{\displaystyle \scriptstyle ((\color {white}|}\beta =\pm {90}^{\circ )){\color {white}|}\,\!}
时,也就是在极点时,这个参数不是一一对应的)
体积和表面积
体积
椭球的体积 由以下公式给出:
4
3
π
a
b
c
.
{\displaystyle {\frac {4}{3))\pi abc.\,\!}
注意,当三个半径都相等时,这个公式便化为球的体积;两个半径相等时,便化为扁球面 或长球面 的体积。
表面积
椭球的表面积 由以下公式给出:
S
=
2
π
[
c
2
+
b
a
2
−
c
2
F
(
o
ε
,
b
2
−
c
2
b
2
sin
2
o
ε
)
+
b
c
2
a
2
−
c
2
E
(
o
ε
,
b
2
−
c
2
b
2
sin
2
o
ε
)
]
,
{\displaystyle S=2\pi \left[c^{2}+b{\sqrt {a^{2}-c^{2))}F\left(o\!\varepsilon ,{\frac {b^{2}-c^{2)){b^{2}\sin ^{2}o\!\varepsilon ))\right)+{\frac {bc^{2)){\sqrt {a^{2}-c^{2))))E\left(o\!\varepsilon ,{\frac {b^{2}-c^{2)){b^{2}\sin ^{2}o\!\varepsilon ))\right)\right],\,\!}
其中
o
ε
=
arccos
c
a
{\displaystyle o\!\varepsilon =\arccos {\frac {c}{a))\;}
(扁球面)或
arccos
a
c
{\displaystyle \arccos {\frac {a}{c))\;}
(长球面),是角离心率 ;
F
(
x
,
k
)
{\displaystyle F(x,k)\,\!}
、
E
(
x
,
k
)
{\displaystyle E(x,k)\,\!}
是第一类和第二类不完全椭圆积分 。与球的表面积不同,椭球的表面积一般不能用初等函数 来表示。
一个近似公式为:
S
≈
4
π
(
a
p
b
p
+
a
p
c
p
+
b
p
c
p
3
)
1
p
.
{\displaystyle S\approx 4\pi \!\left({\frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}+b^{p}c^{p)){3))\right)^{\frac {1}{p)).\,\!}
其中
p
≈
1.6075
{\displaystyle p\approx 1.6075\,}
。这样相对误差最多为
1.061
{\displaystyle 1.061\,}
%(Knud Thomsen公式);
p
=
8
5
=
1.6
{\displaystyle p={\frac {8}{5))=1.6\,}
的值对于接近于球的椭球较为适宜,其相对误差最多为
1.178
{\displaystyle 1.178\,}
%(David W. Cantrell公式)。
对于
a
=
b
{\displaystyle a=b\,}
的情况,有一个精确的公式:
扁球面:
S
=
2
π
(
a
2
+
c
2
arctanh
sin
o
ε
sin
o
ε
)
;
{\displaystyle S=2\pi \!\left(a^{2}+c^{2}{\frac {\operatorname {arctanh} \sin o\!\varepsilon }{\sin o\!\varepsilon ))\right);\,\!}
长球面:
S
=
2
π
(
a
2
+
c
2
o
ε
tan
o
ε
)
;
{\displaystyle S=2\pi \!\left(a^{2}+c^{2}{\frac {o\!\varepsilon }{\tan o\!\varepsilon ))\right);\,\!}
c
{\displaystyle c\,}
比
a
{\displaystyle a\,}
和
b
{\displaystyle b\,}
都小很多时,表面积近似等于
2
π
a
b
.
{\displaystyle 2\pi ab.\,\!}
。
线性变换
如果我们对球使用可逆的线性变换 ,便可以得到一个椭球;它可以用旋转 的方法来化成以上标准的形式,这是谱定理 的结果。如果该线性变换用一个对称的3乘3矩阵 来表示的话,那么这个矩阵的特征向量 就是正交 的(根据谱定理),它表示了轴的方向:而半轴的长度则由特征值给出。
椭球与平面 的交集 是空集 、一个点,或一个椭圆。
我们也可以利用经过线性变换的球来定义多维空间的椭球,并使用谱定理来得出一个标准方程。
鸡蛋形
鸡蛋 的形状可以近似地认为是半个长球面与半个球在赤道处相拼合而成,共用一个旋转对称 的主轴。[3] 虽然鸡蛋形 通常意味着在赤道平面没有反射对称,它也可以用来指真正的长球面。它也可以用来描述相应的二维图形。参见鹅蛋形 。