椭圆和它的某些数学性质 在数学 中，椭圆 是平面上到两个相异固定点的距离之和为常数 的点之轨迹。
根据该定义，可以用手绘椭圆：先准备一条线，将这条线的两端各绑在固定的点上（这两个点就当作是椭圆的两个焦点，且距离小于线长）；取一支笔，用笔尖将线绷紧，这时候两个点和笔就形成一个三角形（的两边）；然后左右移动笔尖拉住线开始作图，持续地使线绷紧，最后就可以完成一个椭圆图形。
由于两个固定点之间的距离也是一定的，所以可以省去绑在点上这一步骤而改将线绑成环状，然后以笔尖和这两个焦点将线绷直即可。下同。
概述
一个平面切截一个圆锥面得到的椭圆。 椭圆是一种圆锥曲线 ：如果一个平面切截一个圆锥 面，且不与它的底面相交，也不与它的底面平行，则圆锥和平面交截线是个椭圆。
在代数上说 ，椭圆是在笛卡尔平面 上如下形式的方程所定义的曲线
A
x
2
+
B
x
y
+
C
y
2
+
D
x
+
E
y
+
F
=
0
{\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,}
使得
B
2
<
4
A
C
{\displaystyle B^{2}<4AC\,}
穿过两焦点并终止于椭圆上的线段 AB叫做长轴 。长轴是通过连接椭圆上的两个点所能获得的最长线段。穿过中心（两焦点的连线的中点）垂直于长轴并且终止于椭圆的线段CD叫做短轴 。半长轴 a ）是长轴的一半：从中心通过一个焦点到椭圆的边缘的线段。半短轴 b ）是短轴的一半。
如果两个焦点重合，则这个椭圆是圆 ；换句话说，圆是离心率 为零的椭圆。
中心位于原点 的椭圆
A
x
2
+
B
x
y
+
C
y
2
=
1
{\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}=1\,}
单位圆 在关联于对称矩阵
A
′
=
[
A
B
/
2
B
/
2
C
]
=
P
D
P
T
{\displaystyle A^{\prime }={\begin{bmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{bmatrix))=PDP^{T}\,}
线性映射 下的图像，这里的 D 是带有
A
′
{\displaystyle A^{\prime ))
特征值 的对角矩阵 ，二者沿着主对角线都是正实数的，而 P 是拥有
A
′
{\displaystyle A^{\prime ))
特征向量 作为纵列的实数的酉矩阵 。椭圆的长短轴分别沿着
A
′
{\displaystyle A^{\prime ))
半长轴 和半短轴 的长度的平方的倒数 。
椭圆可以通过对一个圆的所有点的 x 坐标乘以一个常数而不改变 y 坐标来生成。
离心率
形状母数：C：中心 F 1 ：焦点一；F 2 ：焦点二；a ：半长轴；b ：半短轴；c ：半焦距；p ：半正焦弦（通常标示作
ℓ
{\displaystyle \ell }
椭圆的形状可以用叫做椭圆的离心率 的一个数来表达，习惯上指示为
ε
{\displaystyle \varepsilon \,}
圆 。
对于有半长轴 a 和半短轴 b 的椭圆，离心率是
ε
=
1
−
b
2
a
2
{\displaystyle \varepsilon ={\sqrt {1-{\frac {b^{2)){a^{2))))))
离心率越大，a 与 b 的比率 就越大，因此椭圆被更加拉长。
半焦距c 等于从中心到任一焦点的距离，
c
=
a
2
−
b
2
{\displaystyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2))))
则
ε
=
c
a
{\displaystyle \varepsilon ={\frac {c}{a))}
半焦距 c 也叫做椭圆的线性离心率 。在两个焦点间的距离是 2c = 2a ε。
方程
在正规位置上的椭圆的参数方程。参数 t 是蓝线对于 X-轴的角度。 中心位于点
(
h
,
k
)
{\displaystyle (h,k)}
x 轴的椭圆由如下方程指定
(
x
−
h
)
2
a
2
+
(
y
−
k
)
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\frac {(x-h)^{2)){a^{2))}+{\frac {(y-k)^{2)){b^{2))}=1}
这个椭圆可以参数化表达为
x
=
h
+
a
cos
t
,
{\displaystyle x=h+a\,\cos t,\,\!}
y
=
k
+
b
sin
t
{\displaystyle y=k+b\,\sin t\,\!}
这里的
t
{\displaystyle t}
−
π
≤
t
≤
π
{\displaystyle -\pi \leq t\leq \pi \,\!}
如果
h
=
0
{\displaystyle h=0}
k
=
0
{\displaystyle k=0}
x
=
a
cos
t
,
{\displaystyle x=a\,\cos t,\,\!}
y
=
b
sin
t
{\displaystyle y=b\,\sin t\,\!}
这个参数方程揭示了两个方向相互垂直的简谐运动(表现为具有周期性的简谐波)合成了闭合的椭圆形周期性运动（表现为轨迹是椭圆）。
椭圆方程
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
(
a
>
b
>
0
)
{\displaystyle {\frac {x^{2)){a^{2))}+{\frac {y^{2)){b^{2))}=1(a>b>0)}
y
2
a
2
+
x
2
b
2
=
1
(
a
>
b
>
0
)
{\displaystyle {\frac {y^{2)){a^{2))}+{\frac {x^{2)){b^{2))}=1(a>b>0)}
图像
范围
−
a
≤
x
≤
a
,
−
b
≤
y
≤
b
{\displaystyle -a\leq x\leq a,-b\leq y\leq b}
−
a
≤
y
≤
a
,
−
b
≤
x
≤
b
{\displaystyle -a\leq y\leq a,-b\leq x\leq b}
相对于中心的极坐标形式
用极坐标可表达为
C
P
¯
=
r
′
=
a
b
a
2
sin
2
ψ
+
b
2
cos
2
ψ
=
b
1
−
ε
2
cos
2
ψ
{\displaystyle {\overline {CP))=r'={\frac {ab}{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\psi +b^{2}\cos ^{2}\psi ))}={\frac {b}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}\psi ))))
这里的
ε
{\displaystyle \varepsilon }
ψ
{\displaystyle \psi }
C
B
¯
{\displaystyle {\overline {CB))}
C
P
¯
{\displaystyle {\overline {CP))}
相对于焦点的极坐标形式
椭圆的极坐标，原点在 F1 有一个焦点在原点的椭圆的极坐标方程是
F
1
P
¯
=
r
=
a
⋅
(
1
−
ε
2
)
1
−
ε
⋅
cos
θ
{\displaystyle {\overline {F_{1}P))=r={\frac {a\cdot (1-\varepsilon ^{2})}{1-\varepsilon \cdot \cos \theta ))}
这里的
θ
{\displaystyle \theta }
F
1
B
¯
{\displaystyle {\overline {F_{1}B))}
F
1
P
¯
{\displaystyle {\overline {F_{1}P))}
半正焦弦和极坐标
椭圆的半正焦弦(通常指示为
ℓ
{\displaystyle \ell \,\!}
a
{\displaystyle a\,\!}
b
{\displaystyle b\,\!}
a
ℓ
=
b
2
{\displaystyle a\ell =b^{2}\,\!}
ℓ
=
a
⋅
(
1
−
ε
2
)
{\displaystyle \ell =a\cdot (1-\varepsilon ^{2})\,\!}
椭圆，使用半正焦弦展示 在极坐标 中，一个焦点在原点而另一个焦点在负 x 轴上的椭圆给出自方程
r
⋅
(
1
+
ε
⋅
cos
θ
)
=
ℓ
{\displaystyle r\cdot (1+\varepsilon \cdot \cos \theta )=\ell \,\!}
椭圆可以被看作是圆的投影：在与水平面有角度 φ 的平面上的圆垂直投影到水平面上给出离心率 sin φ 的椭圆，假定 φ 不是 90°。
椭圆（用红色绘制）可以表达为内旋轮线 在 R=2r 时的特殊情况。
面积和周长
椭圆所包围的面积是
π
a
b
{\displaystyle \pi ab\,}
a
{\displaystyle a\,}
b
{\displaystyle b\,}
a
=
b
{\displaystyle a=b\,}
π
a
2
{\displaystyle \pi a^{2}\,}
椭圆的周长是
4
a
E
(
c
a
)
{\displaystyle 4aE({\frac {c}{a)))}
E
{\displaystyle E\,}
椭圆积分 。
周长为：
C
=
4
a
∫
0
π
2
1
−
(
c
a
)
2
sin
2
θ
d
θ
{\displaystyle C=4a\int _{0}^{\frac {\pi }{2)){\sqrt {1-\left({\frac {c}{a))\right)^{2}\sin ^{2}\theta ))\ {\rm {d))\theta \!}
C
=
4
a
∫
0
1
1
−
(
c
a
)
2
t
2
1
−
t
2
d
t
.
{\displaystyle C=4a\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-\left({\frac {c}{a))\right)^{2}t^{2))}{\sqrt {1-t^{2))))\ {\rm {d))t.\!}
精确的无穷级数 为：
C
=
2
π
a
[
1
−
(
1
2
)
2
c
2
a
2
−
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
2
c
4
3
a
4
−
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
2
c
6
5
a
6
−
…
]
{\displaystyle C=2\pi a\left[{1-\left({1 \over 2}\right)^{2}{\frac {c^{2)){a^{2))}-\left({1\cdot 3 \over 2\cdot 4}\right)^{2}{c^{4} \over {3a^{4))}-\left({1\cdot 3\cdot 5 \over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^{2}{c^{6} \over {5a^{6))}-\dots }\right]\!\,}
或：
C
=
−
2
π
a
∑
n
=
0
∞
{
[
∏
m
=
1
n
(
2
m
−
1
2
m
)
]
2
c
2
n
a
2
n
(
2
n
−
1
)
}
{\displaystyle C=-2\pi a\sum _{n=0}^{\infty }{\left\lbrace \left[\prod _{m=1}^{n}\left({2m-1 \over 2m}\right)\right]^{2}{c^{2n} \over ((a^{2n))\left(2n-1\right)))\right\rbrace ))
拉马努金 给出一较为接近的式子：
C
≈
π
[
3
(
a
+
b
)
−
(
3
a
+
b
)
(
a
+
3
b
)
]
{\displaystyle C\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)))\right]\!\,}
它还可以写为：
C
≈
3
a
π
[
1
+
1
−
(
c
a
)
2
]
−
a
π
[
3
+
1
−
(
c
a
)
2
]
[
1
+
3
1
−
(
c
a
)
2
]
{\displaystyle C\approx 3a\pi \left[1+{\sqrt {1-\left({\frac {c}{a))\right)^{2))}\right]-a\pi {\sqrt {\left[3+{\sqrt {1-\left({\frac {c}{a))\right)^{2))}\right]\left[1+3{\sqrt {1-\left({\frac {c}{a))\right)^{2))}\right]))\!\,}
还有一条近似很高的公式：
C
≈
π
(
a
+
b
)
[
1
+
3
(
a
−
b
a
+
b
)
2
10
+
4
−
3
(
a
−
b
a
+
b
)
2
]
[
1
+
(
22
7
π
−
1
)
(
a
−
b
a
)
33
(
a
−
b
a
)
697
1000
]
{\displaystyle C\approx \pi (a+b)\left[1+{\frac {3\left({\frac {a-b}{a+b))\right)^{2)){10+{\sqrt {4-3\left({\frac {a-b}{a+b))\right)^{2))))}\right]\left[1+\left({\frac {22}{7\pi ))-1\right)\left({\frac {a-b}{a))\right)^{33}{\sqrt[{1000}]{\left({\frac {a-b}{a))\right)^{697))}\right]\!\,}
标准方程的推导
如果在一个平面内一个动点 到两个定点 的距离 的和等于定长，那么这个动点的轨迹 叫做椭圆。 假设（注意所有假设只是为了导出椭圆方程时比较简便）动点为
P
(
x
,
y
)
{\displaystyle P(x,y)\,}
F
1
(
−
c
,
0
)
{\displaystyle F_{1}(-c,0)\,}
F
2
(
c
,
0
)
{\displaystyle F_{2}(c,0)\,}
P
{\displaystyle P}
|
P
F
1
|
+
|
P
F
2
|
=
2
a
(
a
>
0
)
{\displaystyle |PF_{1}|+|PF_{2}|=2a(a>0)\,}
2
a
{\displaystyle 2a\,}
用两点的距离公式可得：
|
P
F
1
|
=
(
x
+
c
)
2
+
y
2
{\displaystyle |PF_{1}|={\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2))}\,}
|
P
F
2
|
=
(
x
−
c
)
2
+
y
2
{\displaystyle |PF_{2}|={\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2))}\,}
(
x
+
c
)
2
+
y
2
+
(
x
−
c
)
2
+
y
2
=
2
a
{\displaystyle {\sqrt {\left(x+c\right)^{2}+y^{2))}+{\sqrt {\left(x-c\right)^{2}+y^{2))}=2a\,}
上式左方分子凑出平方差，并化简，得：
(
x
+
c
)
2
+
y
2
−
[
(
x
−
c
)
2
+
y
2
]
(
x
+
c
)
2
+
y
2
−
(
x
−
c
)
2
+
y
2
=
2
a
{\displaystyle {\frac {\left(x+c\right)^{2}+y^{2}-\left[\left(x-c\right)^{2}+y^{2}\right]}((\sqrt {\left(x+c\right)^{2}+y^{2))}-{\sqrt {\left(x-c\right)^{2}+y^{2))))}=2a\,}
分子大部分相消，分母移项即得
(
x
+
c
)
2
+
y
2
−
(
x
−
c
)
2
+
y
2
=
2
x
c
a
{\displaystyle {\sqrt {\left(x+c\right)^{2}+y^{2))}-{\sqrt {\left(x-c\right)^{2}+y^{2))}={\frac {2xc}{a))\,}
①、②式相加并平方，整理得
x
2
(
a
2
−
c
2
a
2
)
+
y
2
=
a
2
−
c
2
{\displaystyle x^{2}\left({\frac {a^{2}-c^{2)){a^{2))}\right)+y^{2}=a^{2}-c^{2}\,}
当
a
>
c
{\displaystyle a>c\,}
a
2
−
c
2
=
b
2
{\displaystyle a^{2}-c^{2}=b^{2}\,}
x
2
b
2
a
2
+
y
2
=
b
2
{\displaystyle x^{2}{\frac {b^{2)){a^{2))}+y^{2}=b^{2}\,}
因为
b
2
>
0
{\displaystyle b^{2}>0\,}
b
2
{\displaystyle b^{2}\,}
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2)){a^{2))}+{\frac {y^{2)){b^{2))}=1\,}
则该方程即动点
P
{\displaystyle P}
椭圆的标准方程 。
椭圆的图像如果在直角坐标系 中表示，那么上述定义中两个定点被定义在了x 轴。若将两个定点改在y 轴，可以用相同方法求出另一个椭圆的标准方程 ：
y
2
a
2
+
x
2
b
2
=
1
(
a
>
b
>
0
)
{\displaystyle {\frac {y^{2)){a^{2))}+{\frac {x^{2)){b^{2))}=1(a>b>0)\,}
在方程中，所设的
2
a
{\displaystyle 2a\,}
长轴 长，
2
b
{\displaystyle 2b\,}
定点 称为焦点 ，那么
2
c
{\displaystyle 2c\,}
焦距 。在假设的过程中，假设了
a
>
c
{\displaystyle a>c\,}
a
=
c
{\displaystyle a=c\,}
线段 ；当
a
<
c
{\displaystyle a<c\,}
a
2
−
c
2
=
b
2
{\displaystyle a^{2}-c^{2}=b^{2}\,}
通常认为圆 是椭圆的一种特殊情况。
椭圆的旋转和平移
对于平面上任意椭圆
A
x
2
+
2
B
x
y
+
C
y
2
+
D
x
+
E
y
+
F
=
0
{\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,}
A
(
x
−
u
)
2
+
2
B
(
x
−
u
)
(
y
−
v
)
+
C
(
y
−
v
)
2
+
D
′
(
x
−
u
)
+
E
′
(
y
−
v
)
+
F
′
=
0
{\displaystyle A(x-u)^{2}+2B(x-u)(y-v)+C(y-v)^{2}+D'(x-u)+E'(y-v)+F'=0\,}
的形式。具体步骤为，将后式的各乘积乘方项展开，根据与前式对应项系数相等的法则便可求得u,v,D',E',F'的值（
D
′
=
2
A
u
+
B
v
+
D
{\displaystyle D'=2Au+Bv+D}
E
′
=
B
u
+
2
C
v
+
E
{\displaystyle E'=Bu+2Cv+E}
F
′
=
−
(
A
u
2
+
B
u
v
+
C
v
2
)
−
D
′
u
−
E
′
v
+
F
{\displaystyle F'=-(Au^{2}+Buv+Cv^{2})-D'u-E'v+F\,}
(
u
,
v
)
{\displaystyle (u,v)}
若将
x
=
x
′
−
u
{\displaystyle x=x^{\prime }-u}
y
=
y
′
−
v
{\displaystyle y=y^{\prime }-v}
代入式中便可得到平移前的椭圆。
若
B
≠
0
{\displaystyle B\neq 0}
φ
{\displaystyle \displaystyle \varphi }
t
a
n
(
2
φ
)
=
2
B
A
−
C
{\displaystyle \displaystyle tan(2\varphi )={\frac {2B}{A-C))}
当
A
−
C
=
0
{\displaystyle A-C=0}
φ
=
±
π
4
{\displaystyle \varphi =\pm {\frac {\pi }{4))}
若将
x
=
x
′
cos
φ
−
y
′
sin
φ
{\displaystyle x=x^{\prime }\cos \varphi -y^{\prime }\sin \varphi }
y
=
y
′
cos
φ
+
x
′
sin
φ
{\displaystyle y=y^{\prime }\cos \varphi +x^{\prime }\sin \varphi }
代入式中便可得到旋转前的椭圆。
渐开线及其导数
{
x
=
a
cos
t
+
a
b
E
(
t
,
a
2
−
b
2
a
)
sin
t
a
2
sin
2
t
+
b
2
cos
2
t
y
=
b
sin
t
+
b
2
E
(
t
,
a
2
−
b
2
a
)
cos
t
a
2
sin
2
t
+
b
2
cos
2
t
{\displaystyle {\begin{cases}x=a\cos t+{\cfrac {abE\left(t,{\cfrac {\sqrt {a^{2}-b^{2))}{a))\right)\sin t}{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t))}\!\,\\\\y=b\sin t+{\cfrac {b^{2}E\left(t,{\cfrac {\sqrt {a^{2}-b^{2))}{a))\right)\cos t}{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t))}\!\,\\\end{cases))}
{
d
x
d
t
=
[
b
2
sin
2
t
−
2
b
2
sin
t
⋅
E
(
t
,
a
2
−
b
2
a
)
]
(
a
2
sin
2
t
+
b
2
cos
2
t
)
−
a
b
(
a
2
−
b
2
)
sin
2
t
⋅
E
(
t
,
a
2
−
b
2
a
)
sin
t
2
(
a
2
sin
2
t
+
b
2
cos
2
t
)
a
2
sin
2
t
+
b
2
cos
2
t
−
a
sin
t
d
y
d
t
=
[
b
3
sin
2
t
−
2
a
b
2
sin
t
⋅
E
(
t
,
a
2
−
b
2
a
)
]
(
a
2
sin
2
t
+
b
2
cos
2
t
)
−
a
b
2
(
a
2
−
b
2
)
sin
2
t
⋅
E
(
t
,
a
2
−
b
2
a
)
sin
t
2
a
(
a
2
sin
2
t
+
b
2
cos
2
t
)
a
2
sin
2
t
+
b
2
cos
2
t
+
b
cos
t
{\displaystyle {\begin{cases}{\cfrac ((\rm {d))x}{\rm ((d}t))}={\cfrac {\left[b^{2}\sin 2t-2b^{2}\sin t\cdot E\left(t,{\cfrac {\sqrt {a^{2}-b^{2))}{a))\right)\right]\left(a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t\right)-ab\left(a^{2}-b^{2}\right)\sin 2t\cdot E\left(t,{\cfrac {\sqrt {a^{2}-b^{2))}{a))\right)\sin t}{2\left(a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t\right){\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t))))-a\sin t\!\,\\\\{\cfrac ((\rm {d))y}{\rm ((d}t))}={\cfrac {\left[b^{3}\sin 2t-2ab^{2}\sin t\cdot E\left(t,{\cfrac {\sqrt {a^{2}-b^{2))}{a))\right)\right]\left(a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t\right)-ab^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)\sin 2t\cdot E\left(t,{\cfrac {\sqrt {a^{2}-b^{2))}{a))\right)\sin t}{2a\left(a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t\right){\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t))))+b\cos t\!\,\\\end{cases))}
有了椭圆渐开线的导数，可以计算它的长度，其中
E
(
t
,
a
2
−
b
2
a
)
{\displaystyle E\left(t,{\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2))}{a))\right)\,}
椭圆积分 。
![{\displaystyle C=2\pi a\left[{1-\left({1 \over 2}\right)^{2}{\frac {c^{2)){a^{2))}-\left({1\cdot 3 \over 2\cdot 4}\right)^{2}{c^{4} \over {3a^{4))}-\left({1\cdot 3\cdot 5 \over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^{2}{c^{6} \over {5a^{6))}-\dots }\right]\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dfada5024276d3f82d18f849a5b95fb332eaacb)
![{\displaystyle C=-2\pi a\sum _{n=0}^{\infty }{\left\lbrace \left[\prod _{m=1}^{n}\left({2m-1 \over 2m}\right)\right]^{2}{c^{2n} \over ((a^{2n))\left(2n-1\right)))\right\rbrace ))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a57534cbe1f8f5c5b5fb48f3be75f7b37ec9f5ae)
![{\displaystyle C\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)))\right]\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd246503ae5e29912d4149f118c5d7145d637085)
![{\displaystyle C\approx 3a\pi \left[1+{\sqrt {1-\left({\frac {c}{a))\right)^{2))}\right]-a\pi {\sqrt {\left[3+{\sqrt {1-\left({\frac {c}{a))\right)^{2))}\right]\left[1+3{\sqrt {1-\left({\frac {c}{a))\right)^{2))}\right]))\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5ad92a27ab7667d10fcdd89db63ed66ba331cc1)
![{\displaystyle C\approx \pi (a+b)\left[1+{\frac {3\left({\frac {a-b}{a+b))\right)^{2)){10+{\sqrt {4-3\left({\frac {a-b}{a+b))\right)^{2))))}\right]\left[1+\left({\frac {22}{7\pi ))-1\right)\left({\frac {a-b}{a))\right)^{33}{\sqrt[{1000}]{\left({\frac {a-b}{a))\right)^{697))}\right]\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62aa6152db65a0903657774d16c0477e7ea273d6)
![{\displaystyle {\frac {\left(x+c\right)^{2}+y^{2}-\left[\left(x-c\right)^{2}+y^{2}\right]}((\sqrt {\left(x+c\right)^{2}+y^{2))}-{\sqrt {\left(x-c\right)^{2}+y^{2))))}=2a\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc56759682756dfdc31a8718c98b6a251963920d)
![{\displaystyle {\begin{cases}{\cfrac ((\rm {d))x}{\rm ((d}t))}={\cfrac {\left[b^{2}\sin 2t-2b^{2}\sin t\cdot E\left(t,{\cfrac {\sqrt {a^{2}-b^{2))}{a))\right)\right]\left(a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t\right)-ab\left(a^{2}-b^{2}\right)\sin 2t\cdot E\left(t,{\cfrac {\sqrt {a^{2}-b^{2))}{a))\right)\sin t}{2\left(a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t\right){\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t))))-a\sin t\!\,\\\\{\cfrac ((\rm {d))y}{\rm ((d}t))}={\cfrac {\left[b^{3}\sin 2t-2ab^{2}\sin t\cdot E\left(t,{\cfrac {\sqrt {a^{2}-b^{2))}{a))\right)\right]\left(a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t\right)-ab^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)\sin 2t\cdot E\left(t,{\cfrac {\sqrt {a^{2}-b^{2))}{a))\right)\sin t}{2a\left(a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t\right){\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t))))+b\cos t\!\,\\\end{cases))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fb25c21dda4b86817dbaf019bd92ed03bb4bd94)
