Нехай дано трикутник , та — вписане та зовнівписане (яке дотикається до сторони ) коло відповідно, — центр вписаного кола (інцентр, точка перетину бісектрис), — центр зовнівписаного кола (точка перетину внутрішньої та двох зовнішніх бісектрис).
Нехай — точка дотику вписаного кола до сторони , а — точка дотику зовнівписаного кола до продовження сторони . Тоді — радіус вписаного кола , — радіус зовнівписаного кола , і нехай — півпериметр трикутника ..
Формулу Герона можна записати за допомогою визначника у вигляді[1]:
Перший визначник останньої формули є окремим випадком визначника Келі — Менгера[en] для обчислення гіпероб'ємусимплекса.
Низка формул для площі трикутника подібні за структурою до формули Герона, але виражається через інші параметри трикутника. Наприклад, через довжини медіан , и і їх півсуму [2]:
;
через довжини висот , и і півсуму їх обернених величин [3]:
;
через кут трикутника , і , півсуму їх синусів і діаметр описаного кола [4]:
Для тетраедрів існує формула Герона — Тартальї, узагальнена також на випадок інших багатогранників (згинаний многогранник): якщо в тетраедра довжини ребер рівні , то для його об'єму істинний вираз:
.
Формулу Герона — Тартальї можна виписати для тетраедра в явному вигляді: якщо , , , , , — довжини ребер тетраедра (перші три з них утворюють трикутник; і, наприклад, ребро протлежне ребру і так далі), то справедливі формули[5][6]:
Формула Брамагупти є узагальненням формули Герона для площі трикутника. А саме, площа S вписаного у коло чотирикутника зі сторонами a, b, c, d і півпериметр p дорівнює
У цьому випадку трикутник виявляється граничним випадком уписаного чотирикутника при прямуванні довжини однієї зі сторін до нуля. Та ж формула Брахмагупти через визначник[7]:
↑Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle, « Mathematical Gazette» 87, July 2003, 324—326.
↑Mitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle, " Mathematical Gazette 89, November 2005, 494.
↑Mitchell, Douglas W., "A Heron-type area formula in terms of sines, " Mathematical Gazette 93, March 2009, 108—109.
↑W. Kahan, «What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?», [1] [Архівовано 27 червня 2013 у Wayback Machine.], pp. 16-17.
↑ Маркелов С. Формула для объёма тетраэдра// Математическое просвещение. Вып. 6. 2002. С. 132
↑Стариков В. Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл ред. Романова И .В Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39
This browser is not supported by Wikiwand :( Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience. Please download and use one of the following browsers:
Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.
X
Get ready for Wikiwand 2.0 🎉! the new version arrives on September 1st! Don't want to wait?
Oh no, there's been an error
Please help us solve this error by emailing us at support@wikiwand.com
Let us know what you've done that caused this error, what browser you're using, and whether you have any special extensions/add-ons installed.
Thank you!