Неви́роджена ма́триця (неособли́ва, несингуля́рна, інверто́вана) — квадратна матриця, визначник якої не дорівнює нулю:

${\displaystyle \ \det(A)\neq 0.}$

• Рядки і стовпці невиродженої матриці лінійно незалежні.
• Ранг матриці дорівнює розмірності матриці.
• У невиродженої матриці є обернена матриця. Це еквівалентно тому, що лінійний оператор, який задається матрицею А є бієкцією векторного простору.
• Якщо матриця ${\displaystyle \ A}$ — невироджена, то система рівнянь ${\displaystyle \ Ax=0}$ має тільки нульовий розв'язок.
• Матриця є невиродженою тоді і тільки тоді якщо всі її власні значення є ненульовими.

• Одинична матриця є невиродженою.
• Матриця повороту є невиродженою.

Також матриці можна обернути блоками через використання такої формули:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix))^{-1}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} ^{-1}+\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} (\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} )^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}&-\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} (\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} )^{-1}\\-(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} )^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}&(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} )^{-1}\end{bmatrix))}$

${\displaystyle (1)\,}$

де A, B, C і D це блоки матриці довільного розміру. (A і D повинні бути квадратними, щоб їх можна було обернути. Більше того, A і D−CA⁻¹B повинна бути невиродженою.^[1]) Цей підхід особливо вигідний якщо A є діагональною і D−CA⁻¹B (доповнення Щура щодо A) це маленька матриця, оскільки лише ці дві матриці потребують обернення.

Теорема виродженості говорить про те, що виродженість A дорівнює виродженості підблока в нижньому правому куті оберненої матриці, і що виродженість B дорівнює виродженості підблока в горішньому правому куті оберненої матриці.

Процедура обернення, що призвела до рівняння (1) виконувала блокові матричні операції, які спочатку працювали на C і D . Натомість, якщо почати з A і B, і за умови несингулярності D і A−BD⁻¹C ,^[2] результатом є

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix))^{-1}={\begin{bmatrix}(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} )^{-1}&-(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} )^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}\\-\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} (\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} )^{-1}&\quad \mathbf {D} ^{-1}+\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} (\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} )^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}\end{bmatrix)).}$

${\displaystyle (2)\,}$

Прирівнявши (1) і (2) отримуємо

${\displaystyle (\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} )^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}+\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} (\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} )^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}\,}$

${\displaystyle (3)\,}$

${\displaystyle (\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} )^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} (\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} )^{-1}\,}$

${\displaystyle \mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} (\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} )^{-1}=(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} )^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}\,}$

${\displaystyle \mathbf {D} ^{-1}+\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} (\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} )^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}=(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} )^{-1}\,}$

де рівняння (3) є лемою обернення матриці.

Оскільки поблокове обернення ${\displaystyle n\times n}$ матриці потребує обернення двох матриць половинного розміру і 6 множень між матрицями половинного розміру, можна показати, що алгоритм розділяй та володарюй, який використовує поблокове обернення для обернення матриці виконується з такою ж часовою складністю, що й алгоритм множення матриць.^[3]

...

• Теорія матриць
• Вироджена матриця
• Союзна матриця

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 400+ с.(укр.)

п о р Лінійна алгебра
Основи	Скаляр Вектор Векторний простір Множення на скаляр Проєкція вектора Лінійний підпростір Лінійне відображення Лінійна проєкція Лінійно незалежні вектори Лінійна комбінація Базис Зміна базису Вектор-рядки та вектор-стовпці Простір рядків та простір стовпців Ядро Власні вектори та власні значення Лінійні рівняння
Матриці	Множення Мінор Ранг Транспонування Невироджена Перетворення Блочна Розклад Метод Гаусса Метод Крамера
Білінійна	Ортогональність Скалярний добуток Добуток Адамара Добуток Кронекера Зовнішній векторний добуток Процес Грама — Шмідта Спряжений простір Простір з внутрішнім добутком
Полілінійна	Визначник Векторна алгебра добуток потрійний добуток семивимірний добуток[en] Геометрична алгебра[en] Зовнішня алгебра Бівектори[en] Полівектор Тензор
Чисельна	Число з рухомою комою Числова стійкість Розріджена матриця MATLAB BLAS LAPACK NumPy Порівняння бібліотек лінійної алгебри[en] Порівняння програмного забезпечення чисельного аналізу[en]