Матриця

${\displaystyle \mathbf {A} =\left({\begin{array}{rrrr}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{array))\right)}$

задає лінійне відображення (оператор) з простору${\displaystyle \mathbb {R} ^{n))$ в простір ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m))$.

Рядки матриці A є елементами векторного простору ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n))$, а стовпці — елементами ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m))$.

• Лінійна оболонка рядків матриці ${\displaystyle A}$ є лінійним підпростором простору ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n))$.
• Лінійна оболонка стовпців матриці ${\displaystyle A}$ є лінійним підпростором простору ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m))$.

Ранг матриці рівний найбільшому числу лінійно-незалежних рядків (або стовпців) матриці. Причому ранг по стовпцях збігається з рангом по рядках.

Матриця A ( rank A = r) вводить чотири фундаментальні підпростори:

Назва	Визначення	Простір в якому існує	Розмірність
простір стовпців чи образ	im(A) чи range(A)	${\displaystyle \mathbb {R} ^{m))$	r
нульпростір чи ядро	ker(A) чи null(A)	${\displaystyle \mathbb {R} ^{n))$	n — r
простір рядків чи кообраз[en]	im(AT) чи range(AT)	${\displaystyle \mathbb {R} ^{n))$	r
лівий нульпростір чи коядро	ker(AT) чи null(AT)	${\displaystyle \mathbb {R} ^{m))$	m — r

• В ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\;\;\ker {(A)}=(\mathrm {im} (A^{T}))^{\perp ))$, тобто, нульпростір є ортогональним доповненням простору рядків.
• В ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\;\;\ker {(A^{T})}=(\mathrm {im} (A))^{\perp ))$, тобто, лівий нульпростір є ортогональним доповненням простору стовпців.

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — ISBN 5791300158.(рос.)
• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 400+ с.(укр.)

п о р Лінійна алгебра
Основи	Скаляр Вектор Векторний простір Множення на скаляр Проєкція вектора Лінійний підпростір Лінійне відображення Лінійна проєкція Лінійно незалежні вектори Лінійна комбінація Базис Зміна базису Вектор-рядки та вектор-стовпці Простір рядків та простір стовпців Ядро Власні вектори та власні значення Лінійні рівняння
Матриці	Множення Мінор Ранг Транспонування Невироджена Перетворення Блочна Розклад Метод Гаусса Метод Крамера
Білінійна	Ортогональність Скалярний добуток Добуток Адамара Добуток Кронекера Зовнішній векторний добуток Процес Грама — Шмідта Спряжений простір Простір з внутрішнім добутком
Полілінійна	Визначник Векторна алгебра добуток потрійний добуток семивимірний добуток[en] Геометрична алгебра[en] Зовнішня алгебра Бівектори[en] Полівектор Тензор
Чисельна	Число з рухомою комою Числова стійкість Розріджена матриця MATLAB BLAS LAPACK NumPy Порівняння бібліотек лінійної алгебри[en] Порівняння програмного забезпечення чисельного аналізу[en]