Квадратна матриця ${\displaystyle \ P}$ з комплексними елементами називається проєкційною, якщо виконується ${\displaystyle \ P=P^{2}.}$

Якщо виконується ${\displaystyle \ P=P^{*}P,}$ то матриця ${\displaystyle \ P}$ називається ортогонально-проєкційною.

• Проєкційні матриці ${\displaystyle \ P_{1},P_{2))$ називаються ортогональними, якщо ${\displaystyle \ P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}=0.}$

З точки зору абстрактної алгебри проєкційні матриці — це ідемпотентні елементи кільця квадратних матриць.

• Кожна ортогональна-проєкційна матриця є проєкційною і одночасно ермітовою матрицею, оскільки:

${\displaystyle \ P=P^{*}P\quad \Rightarrow \quad P^{*}=(P^{*}P)^{*}=P\quad \Rightarrow \quad P=P^{2}.}$

• Якщо матриця ${\displaystyle \ P}$ є проєкційною, то матриці

${\displaystyle \ P^{n},\;(I-P)^{n},\;P^{*}\quad \forall n\in \mathbb {N} }$    теж будуть проєкційними.

• Якщо матриця ${\displaystyle P\!}$ є ортогонально-проєкційною, то матриці

${\displaystyle \ P^{n},\;(I-P)^{n}\quad \forall n\in \mathbb {N} }$    теж будуть ортогонально-проєкційними.

• Якщо матриця ${\displaystyle P\!}$ є ортогонально-проєкційною, то

${\displaystyle \ \forall x,y:\quad Px\perp (I-P)y.}$

• Власні значення проєкційних матриць можуть приймати значення тільки +1 та 0, що легко побачити з розкладу матриці по її власних векторах.
• Ортогонально-проєкційні матриці є невід'ємноозначеними матрицями.

• Найпростішим випадком ортогональної проєкції є проєкція на лінію вектора. Якщо u є одиничним вектором, тоді проєктором на лінію вздовж вектора буде матриця

${\displaystyle \ P_{u}=uu^{\top }.}$

• Довільна прямокутна матриця ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n))$ вводить дві ортогонально-проєкційні матриці:

${\displaystyle P(A)=A^{+}A\;\in \mathbb {C} ^{n\times n))$ — проєктор в просторі ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n))$ на підпростір векторів-рядків матриці${\displaystyle \ A,}$

${\displaystyle P(A^{*})=AA^{+}\;\in \mathbb {C} ^{m\times m))$ — проєктор в просторі ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m))$ на підпростір векторів-стовпців матриці${\displaystyle \ A.}$

• Проєктори на ортогональне доповнення до даних підпросторів, позначаються:

${\displaystyle \ Z(A)=I_{n}-P(A),}$

${\displaystyle \ Z(A^{*})=I_{m}-P(A^{*}).}$

Для ${\displaystyle \ P(A^{*}),Z(A^{*})}$ ще використовують позначення ${\displaystyle P_{A}^{\parallel ))$ та ${\displaystyle P_{A}^{\perp ))$ відповідно.

${\displaystyle \ A^{+))$ — псевдообернена матриця до матриці A.

• Одинична матриця є проєктивною.
• ${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix))\quad \Rightarrow \quad P{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix))={\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix)).}$
• ${\displaystyle P={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix))\quad \Rightarrow \quad P^{2}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix)){\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix))=P.}$

• Застосовується при QR розкладі матриці в методах: Процес Грама — Шмідта, Перетворення Хаусхолдера.
• Застосовується при сингулярному розкладі матриці.

• Теорія матриць
• Спектральна теорема
• Проєкції

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 400+ с.(укр.)

п о р Лінійна алгебра
Основи	Скаляр Вектор Векторний простір Множення на скаляр Проєкція вектора Лінійний підпростір Лінійне відображення Лінійна проєкція Лінійно незалежні вектори Лінійна комбінація Базис Зміна базису Вектор-рядки та вектор-стовпці Простір рядків та простір стовпців Ядро Власні вектори та власні значення Лінійні рівняння
Матриці	Множення Мінор Ранг Транспонування Невироджена Перетворення Блочна Розклад Метод Гаусса Метод Крамера
Білінійна	Ортогональність Скалярний добуток Добуток Адамара Добуток Кронекера Зовнішній векторний добуток Процес Грама — Шмідта Спряжений простір Простір з внутрішнім добутком
Полілінійна	Визначник Векторна алгебра добуток потрійний добуток семивимірний добуток[en] Геометрична алгебра[en] Зовнішня алгебра Бівектори[en] Полівектор Тензор
Чисельна	Число з рухомою комою Числова стійкість Розріджена матриця MATLAB BLAS LAPACK NumPy Порівняння бібліотек лінійної алгебри[en] Порівняння програмного забезпечення чисельного аналізу[en]