Аксіомою об'ємності називається наступне висловлювання теорії множин:

${\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b\ (b\in a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2})\to a_{1}=a_{2})}$

Якщо переписати аксіому об'ємності у вигляді

${\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b\ (b\in a_{1}\to b\in a_{2})\ \land \ \forall b\ (b\in a_{2}\to b\in a_{1})\to a_{1}=a_{2})}$,

тоді дану аксіому можна сформулювати так:

"Якими би не були дві множини, якщо кожен елемент першої множини належить другій множині, а кожен елемент другої множини належить першій множині, тоді перша множина є ідентичною другій множині."

Інше формулювання:

«Дві множини рівні в тому і тільки в тому випадку, коли вони складаються з одних і тих самих елементів.»

${\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}\subseteq a_{2}\ \land \ a_{2}\subseteq a_{1}\to a_{1}=a_{2})}$

${\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}\neq a_{2}\to \exists b\ (b\in a_{1}\ \veebar \ b\in a_{2})\ )}$

Аксіома об'ємності виражає необхідну умову рівності множин. Достатню умову рівності множин можна вивести з аксіом предиката ${\displaystyle ~=}$, а саме:

${\displaystyle ~\forall a\ (a=a)}$,

${\displaystyle ~\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}=a_{2}\to (\varphi [a_{1}]\to \varphi [a_{2}]))}$, де ${\displaystyle ~\varphi [a_{1}]}$ — будь-яке математично коректне судження про ${\displaystyle ~a_{1))$, а ${\displaystyle ~\varphi [a_{2}]}$ — те ж саме судження, але про ${\displaystyle ~a_{2))$.

Об'єднуючи зазначену достатню умову рівності множин з аксіомою об'ємності, отримуємо наступний критерій рівності множин:

${\displaystyle ~\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}=a_{2}\leftrightarrow \forall b\ (b\in a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2})\ )}$

Зазначений критерій рівності множин не гірший і не кращий за інші аналогічні критерії, включаючи:

1) критерій рівності комплексних чисел

${\displaystyle ~\forall x\forall y\forall u\forall v\ (x,y,u,v\in \mathbb {R} \to (x+iy=u+iv\leftrightarrow x=u\ \land \ y=v))}$,

2) критерій рівності впорядкованих пар

${\displaystyle ~\forall x\forall y\forall u\forall v\ (\ (x,y)=(u,v)\leftrightarrow x=u\ \land \ y=v)\ )}$,

3) критерій рівності невпорядкованих пар

${\displaystyle ~\forall x\forall y\forall u\forall v\ (\{x,y\}=\{u,v\}\leftrightarrow x=u\ \land \ y=v\quad \lor \quad x=v\ \land \ y=u)\ )}$,

4) критерій рівності двох послідовностей

${\displaystyle ~\{x_{n}\}=\{y_{n}\}\leftrightarrow \forall i\ (i\in \mathbb {N} \to x_{i}=y_{i})}$.

З викладеного ясно, що 'аксіома об'ємності' є органічною частиною аксіоматики теорії множин.

Аксіому об'ємності застосовують при доведенні єдиності множини, існування якої вже декларовано аксіомою або установлено доведенням теореми.

Приклади

1. Доведення єдиності порожньої множини

Існування (принаймні однієї) порожньої множини декларовано аксіомою

${\displaystyle ~\exists a\forall b\ (b\notin a)}$.

Потрібно довести існування не більше, ніж однієї множини ${\displaystyle ~a}$, для якої вірне висловлювання:

${\displaystyle ~\forall b\ (b\notin a)}$.

Іншими словами, потрібно довести

${\displaystyle ~\exists \{0,1\}a\ (\forall b\ (b\notin a))}$

Або, що теж саме, потрібно довести

${\displaystyle ~\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b(b\notin a_{1})\ \land \ \forall b(b\notin a_{2})\to a_{1}=a_{2})}$

Доведення

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall b(b\notin a_{1})\ \land \ \forall b(b\notin a_{2})\Leftrightarrow \forall b(b\notin a_{1}\ \land \ b\notin a_{2})\Rightarrow \forall b(b\notin a_{1}\leftrightarrow b\notin a_{2})\\\ \Leftrightarrow \forall b(b\in a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2})\Rightarrow a_{1}=a_{2}\end{aligned))}$

Оскільки ${\displaystyle ~\exists a\forall b\ (b\notin a)\ \land \ \exists \{0,1\}a\forall b\ (b\notin a)\Leftrightarrow \exists \{1\}a\forall b\ (b\notin a)}$, то доведення єдиності порожньої множини завершено.

2. Доведення єдиності множини підмножин

Існування (принаймні однієї) множини підмножин декларовано аксіомою

${\displaystyle ~\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)}$

Потрібно довести існування не більше, ніж однієї множини ${\displaystyle ~d}$, для якої є вірним висловлювання

${\displaystyle ~\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)}$

Іншими словами, потрібно довести

${\displaystyle ~\exists \{0,1\}d\ (\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a))}$

Або, що те ж саме, потрібно довести

${\displaystyle ~\forall d_{1}\forall d_{2}\ (\forall b\ (b\in d_{1}\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ \forall b\ (b\in d_{2}\leftrightarrow b\subseteq a)\to d_{1}=d_{2})}$

Доведення

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall b(b\in d_{1}\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ \forall b(b\in d_{2}\leftrightarrow b\subseteq a)\Leftrightarrow \forall b((b\in d_{1}\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ (b\in d_{2}\leftrightarrow b\subseteq a))\\\ \Rightarrow \forall b(b\in d_{1}\leftrightarrow b\in d_{2})\Rightarrow d_{1}=d_{2}\end{aligned))}$

Оскільки ${\displaystyle ~\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ \exists \{0,1\}d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)\Leftrightarrow \exists \{1\}d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)}$, то доведення єдиності множини підмножин завершено.

• Аксіоматика теорії множин

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)

• В.І. Андрійчук, М.Я. Комарницький, Ю.Б. Іщук. «Вступ до дискретної математики»

п о р Теорія множин
Аксіоми	Приєднання Вибору зліченного залежного глобального[en] Конструктивності (V=L)[en] Детермінованості[en] PD ADR AD+ Об'ємності Нескінченності Пари Булеана Об'єднання Регулярності Мартіна Аксіомна схема виділення підстановки
Операції	Булеан Декартів добуток Доповнення Об'єднання Перетин Правила де Моргана Різниця Симетрична різниця
Концепції • Методи	Бієкція Діагональний метод Діаграма Венна Елемент впорядкована пара кортеж Кардинальне число (велике) Клас Конструктивний універсум[en] Континуум-гіпотеза Порядкове число Потужність Сімейство Трансфінітна індукція Форсинг[en]
Типи множин	Зліченна Надмножина Незліченна Нескінченна Нечітка Підмножина Порожня Розв'язна Скінченна (спадково[en]) Транзитивна Універсальна
Теорії	Аксіоматична Альтернативна[en] Наївна Теорема Кантора Цермело Z Загальна GST Principia Mathematica Нові основи[en] NF Цермело — Френкеля ZF фон Неймана — Бернайса — Геделя NBG Морзе — Келлі[en] Кріпке — Платека[en] Тарського — Гротендіка[en]
Парадокси • Гіпотези	Парадокс Расселла Гіпотеза Сусліна[en]
Теоретики	Абрахам Френкель Бертран Расселл Віллард Квайн Георг Кантор Джон фон Нейман Ернст Цермело Курт Гедель Лотфі Заде Пол Коен Поль Бернайс[en] Ріхард Дедекінд Томаш Жех[en]
Інше	Універсум фон Неймана