Аксіома нескінченності
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Аксіомою нескінченності (англ. axiom of infinity) називається наступне висловлювання теорії множин:
- , де
Аксіома нескінченності проголошує існування (принаймні однієї) нескінченної множини, тобто множини, яка складається з
Для того, щоби пояснити цю аксіому, визначимо елемент B ∪ {B} як наступний елемент B (аксіома пари дозволяє нам сформувати синглетон {B}, а аксіома об'єднання дозволяє провести операцію ∪). Наступний елемент використовується, зокрема, для побудови теорії натуральних чисел за допомогою множин. В такій побудові нулю відповідає порожня множина (0 = {}), одиниця - наступний елемент за 0:
1 = 0 ∪ {0} = {} ∪ (()) = (()) = {0}.
Аналогічно, 2 - наступний елемент за 1.
2 = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = ((},(())} = {0,1}, і т.д.
Тобто, існує така множина a, що включає в себе пусту множину {} та для будь-якого належного їй елемента b включає також і множину, сформовану як об'єднання b та її синґлетону {b}.
В такій побудові кожне натуральне число дорівнює множині всіх попередніх натуральних чисел. Без цієї аксіоми така побудова була б неможливою.
- Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : ОНТИ , 1937. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.(рос.)
- Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)
Аксіоми |
| |
---|---|---|
Операції | ||
Концепції • Методи |
| |
Типи множин | ||
Теорії |
| |
Парадокси • Гіпотези |
| |
Теоретики | ||
Інше |
Text is available under the CC BY-SA 4.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.