Théorème —  Soit ${\displaystyle f:X\to Y}$ une application telle que (pour toute paire d'éléments x, x' dans X)

${\displaystyle xRx'\Rightarrow f(x)=f(x')}$.

Alors, il existe une unique application

${\displaystyle g:X/R\to Y{\text{ telle que ))f=g\circ s}$.

De plus :

• ${\displaystyle g}$ est injective si et seulement si, réciproquement, ${\displaystyle f(x)=f(x')\Rightarrow xRx'}$ (et donc si ${\displaystyle f(x)=f(x')\Leftrightarrow xRx'}$) ;
• ${\displaystyle g}$ est surjective si et seulement si ${\displaystyle f}$ est surjective ;
• ${\displaystyle g}$ est bijective si ${\displaystyle f}$ est surjective et si ${\displaystyle xRx'\Longleftrightarrow f(x)=f(x')}$.

Théorème —  Soit ${\displaystyle f:G\to K}$ un morphisme de groupes. Si ${\displaystyle H}$ est contenu dans le noyau de ${\displaystyle f}$, alors il existe un unique morphisme de groupes ${\displaystyle g:G/H\to K}$ tel que ${\displaystyle f=g\circ s}$. De plus :

• ${\displaystyle g}$ est surjectif si ${\displaystyle f}$ est surjectif ;
• ${\displaystyle g}$ est injectif si on a ${\displaystyle H=\ker f}$ ;
• ${\displaystyle g}$ est un isomorphisme si ${\displaystyle f}$ est surjectif et ${\displaystyle H=\ker f}$.

Théorème —  Soit ${\displaystyle f:E\to F}$ une application linéaire. Si ${\displaystyle H}$ est contenu dans le noyau de ${\displaystyle f}$, alors il existe une unique application linéaire ${\displaystyle g:E/H\to F}$ telle que ${\displaystyle f=g\circ s}$. De plus :

• ${\displaystyle g}$ est surjective si ${\displaystyle f}$ est surjective ;
• ${\displaystyle g}$ est injective si on a ${\displaystyle H=\ker f}$ ;
• ${\displaystyle g}$ est un isomorphisme si ${\displaystyle f}$ est surjective et ${\displaystyle H=\ker f}$.

Théorème —  Soit ${\displaystyle f:A\to B}$ un morphisme d'anneaux. Si ${\displaystyle I}$ est contenu dans le noyau de ${\displaystyle f}$, alors il existe un unique morphisme d'anneaux ${\displaystyle g:A/I\to B}$ tel que ${\displaystyle f=g\circ s}$. De plus :

• ${\displaystyle g}$ est surjectif si ${\displaystyle f}$ est surjectif ;
• ${\displaystyle g}$ est injectif si on a ${\displaystyle I=\ker f}$ ;
• ${\displaystyle g}$ est un isomorphisme si ${\displaystyle f}$ est surjectif et ${\displaystyle I=\ker f}$.

Théorème —  Si pour tout couple ${\displaystyle xRx'}$ dans ${\displaystyle X}$, on a ${\displaystyle f(x)=f(x')}$, alors il existe une unique application continue ${\displaystyle g:X/R\to Y}$ telle que ${\displaystyle f=g\circ s}$. De plus :

• ${\displaystyle g}$ est surjective si ${\displaystyle f}$ est surjective ;
• ${\displaystyle g}$ est injective si on a ${\displaystyle xRx'}$ équivalent à ${\displaystyle f(x)=f(x')}$ ;
• ${\displaystyle g}$ est ouverte (resp. fermée) si ${\displaystyle f}$ est ouverte (resp. fermée) ;
• ${\displaystyle g}$ est un homéomorphisme si ${\displaystyle f}$ est surjective et ouverte ou fermée, et si ${\displaystyle xRx'\Longleftrightarrow f(x)=f(x')}$.