En algèbre linéaire, un invariant de similitude est une quantité qu'on peut associer à toute matrice carrée (à coefficients dans un corps commutatif fixé K), telle que pour deux matrices semblables cette quantité soit toujours la même. Des exemples d'invariants de similitude sont la taille de la matrice, sa trace, son déterminant, son polynôme caractéristique (dont on peut déduire les trois invariants précédents), ou encore son polynôme minimal. Du fait de cette invariance, une telle quantité peut aussi être associée à tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie, en utilisant sa matrice dans une base quelconque de l'espace.

Un ensemble d'invariants de similitude est appelé un système complet si pour deux matrices non semblables, au moins un des invariants prend des valeurs distinctes sur les deux matrices. Les invariants mentionnés ci-dessus ne forment pas un système complet. Mais un système complet est connu : ces invariants sont classiquement appelés les invariants de similitude d'une matrice. Ces invariants consistent en une suite finie de polynômes unitaires, dont chacun divise son successeur, dont le dernier élément est le polynôme minimal, et dont le produit donne le polynôme caractéristique.

On peut montrer que, si A est une matrice carrée de taille n à coefficients dans le corps K, alors il existe une matrice B semblable à A, diagonale par blocs, et dont les blocs diagonaux sont les matrices compagnons de ces invariants de similitude. L'existence d'une telle matrice B repose sur la décomposition de Frobenius (en sous-modules cycliques) de l'espace vectoriel Kⁿ, vu comme K[X]-module (de type fini) où X agit comme l'application linéaire définie par A. Cette décomposition est l'objet, dans un cadre plus général, du théorème des facteurs invariants. Les invariants de similitude se trouvent être les facteurs invariants de ce K[X]-module.

Le calcul de ces invariants de similitude est effectif (il ne demande pas la factorisation d'un polynôme, comme c'est le cas pour la recherche de valeurs propres), et repose sur des algorithmes du type pivot de Gauss.

Soient E un espace vectoriel de dimension finie non nulle sur un corps commutatif K, soit u un endomorphisme de E. On dit qu'un sous-espace F de E est u-monogène s'il existe un vecteur x de F tel que F soit le sous-espace de E engendré par les u^s(x), où s parcourt les naturels positifs. On peut évidemment se limiter aux nombres naturels s strictement inférieurs au degré du polynôme minimal de u. Si F est u-monogène, on a en particulier u(F) ⊆ F, de sorte qu'il existe un (et un seul) endomorphisme de F qui coïncide avec u en tout point de F. On notera u_|F cet endomorphisme de F (« restriction », ou encore « birestriction », de u à F). Dire que F est u-monogène revient à dire que u(F) ⊆ F et que F est u_|F-monogène. On démontre que E est u-monogène si et seulement si le polynôme minimal et le polynôme caractéristique de u sont égaux^[1].

On peut définir les invariants de similitude d'une matrice carrée M ∈ M_n(K) à coefficients dans un corps commutatif K comme étant les invariants de similitude de l'endomorphisme du K-espace Kⁿ qui a M pour matrice dans la base canonique. Le théorème qui précède a pour conséquence que deux matrices de M_n(K) ont les mêmes invariants de similitude si et seulement si elles sont semblables.

• Algorithme de Faddeev-Leverrier

v · m Algèbre linéaire générale
Vecteur Scalaire Combinaison linéaire Espace vectoriel Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice Famille libre (indépendance linéaire) Base Théorème de la base incomplète Théorème de la dimension pour les espaces vectoriels Rang Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel Somme de Minkowski Somme directe Sous-espace supplémentaire Dimension Codimension Droite Plan Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire Noyau Conoyau Lemme des noyaux Pseudo-inverse Théorème de factorisation Théorème du rang Équation linéaire Système d'équations linéaires Élimination de Gauss-Jordan Forme linéaire Espace dual Orthogonalité Base duale Endomorphisme linéaire Valeur propre, vecteur propre et espace propre Projecteur Symétrie Matrice diagonalisable Diagonalisation Endomorphisme nilpotent
Dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie Trace Déterminant Polynôme caractéristique Polynôme d'endomorphisme Théorème de Cayley-Hamilton Polynôme minimal d'un endomorphisme Invariants de similitude Réduction d'endomorphisme Réduction de Jordan Décomposition de Dunford Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme Produit scalaire Forme quadratique Espace vectoriel topologique Orientation Algèbre sur un corps Algèbre de Lie Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices Représentation de groupe Analyse fonctionnelle Algèbre multilinéaire Module sur un anneau

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