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度量张量 Connected to: {{::readMoreArticle.title}} 度量張量(英語:Metric tensor)在黎曼幾何裡面又叫黎曼度量,物理学译为度規張量,是指一用來衡量度量空间中距離,面積及角度的二階張量。 内容 當选定一個局部坐標系統 x i {\displaystyle x^{i)) ,度量張量為二階張量一般表示為 d s 2 = ∑ i j g i j d x i d x j {\displaystyle \textstyle ds^{2}=\sum _{ij}g_{ij}dx^{i}dx^{j)) ,也可以用矩陣 ( g i j ) {\displaystyle (g_{ij})} 表示,記作為G或g。而 g i j {\displaystyle g_{ij)) 記號傳統地表示度量張量的協變分量(亦為「矩陣元素」)。 a {\displaystyle a} 到 b {\displaystyle b} 的弧線長度定义如下,其中参数定為t,t由a到b: L = ∫ a b ∑ i j g i j d x i d t d x j d t d t {\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\sum _{ij}g_{ij}{dx^{i} \over dt}{dx^{j} \over dt))}dt} 兩個切向量的夾角 θ {\displaystyle \theta } ,設向量 U = ∑ i u i ∂ ∂ x i {\displaystyle \textstyle U=\sum _{i}u^{i}{\partial \over \partial x_{i))} 和 V = ∑ i v i ∂ ∂ x i {\displaystyle \textstyle V=\sum _{i}v^{i}{\partial \over \partial x_{i))} ,定義為: cos θ = ⟨ u , v ⟩ | u | | v | = ∑ i j g i j u i v j | ∑ i j g i j u i u j | | ∑ i j g i j v i v j | {\displaystyle \cos \theta ={\frac {\langle u,v\rangle }{|u||v|))={\frac {\sum _{ij}g_{ij}u^{i}v^{j)){\sqrt {\left|\sum _{ij}g_{ij}u^{i}u^{j}\right|\left|\sum _{ij}g_{ij}v^{i}v^{j}\right|)))) 若 f {\displaystyle f} 為 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n)) 到 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n)) 的局部微分同胚,其誘導出的度量張量的矩陣形式 G {\displaystyle G} ,由以下方程式計算得出: G = J T J {\displaystyle G=J^{T}J} J {\displaystyle J} 表示 f {\displaystyle f} 的雅可比矩阵,它的轉置为 J T {\displaystyle J^{T)) 。著名例子有 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2)) 之間從極座標系 ( r , θ ) {\displaystyle (r,\theta )} 到直角座標 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 的座標變換,在這例子裡有: x = r cos θ {\displaystyle x=r\cos \theta } y = r sin θ {\displaystyle y=r\sin \theta } 這映射的雅可比矩陣為 J = [ cos θ − r sin θ sin θ r cos θ ] . {\displaystyle J={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{bmatrix)).} 所以 G = ( g i j ) = J T J = [ cos 2 θ + sin 2 θ − r sin θ cos θ + r sin θ cos θ − r cos θ sin θ + r cos θ sin θ r 2 sin 2 θ + r 2 cos 2 θ ] = [ 1 0 0 r 2 ] {\displaystyle G=(g_{ij})=J^{\mathrm {T} }J={\begin{bmatrix}\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta &-r\sin \theta \cos \theta +r\sin \theta \cos \theta \\-r\cos \theta \sin \theta +r\cos \theta \sin \theta &r^{2}\sin ^{2}\theta +r^{2}\cos ^{2}\theta \end{bmatrix))={\begin{bmatrix}1&0\\0&r^{2}\end{bmatrix))\ } 這跟微積分裡極座標的黎曼度量, d s 2 = d r 2 + r 2 d θ 2 {\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2)) ,一致。 例子 歐幾里德幾何度量 二維歐幾里德度量張量: ( g i j ) = [ 1 0 0 1 ] {\displaystyle (g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix))} 弧線長度轉為熟悉微積分方程式: L = ∫ a b ( d x 1 d t ) 2 + ( d x 2 d t ) 2 d t {\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {dx^{1)){dt))\right)^{2}+\left({\frac {dx^{2)){dt))\right)^{2))}\mathrm {d} t} 在其他坐標系統的歐氏度量: 极坐标系: ( x 1 , x 2 ) = ( r , θ ) {\displaystyle (x^{1},x^{2})=(r,\theta )} ( g i j ) = [ 1 0 0 ( x 1 ) 2 ] {\displaystyle (g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0\\0&(x^{1})^{2}\end{bmatrix))} 圓柱坐標系: ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( r , θ , z ) {\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})=(r,\theta ,z)} ( g i j ) = [ 1 0 0 0 ( x 1 ) 2 0 0 0 1 ] {\displaystyle (g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&(x^{1})^{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix))} 球坐標系: ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( r , ϕ , θ ) {\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})=(r,\phi ,\theta )} ( g i j ) = [ 1 0 0 0 ( x 1 ) 2 0 0 0 ( x 1 sin x 2 ) 2 ] {\displaystyle (g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&(x^{1})^{2}&0\\0&0&(x^{1}\sin x^{2})^{2}\end{bmatrix))} 平坦的闵可夫斯基空间 (狭义相对论): ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) = ( c t , x , y , z ) {\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,x,y,z)\,} ( g μ ν ) = ( η μ ν ) ≡ [ − 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] {\displaystyle (g_{\mu \nu })=(\eta _{\mu \nu })\equiv {\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix))} 在一些習慣中,與上面相反地,時間ct的度規分量取正號而空間 (x,y,z)的度規分量取負號,故矩陣表示為: ( g μ ν ) = ( η μ ν ) ≡ [ 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 ] {\displaystyle (g_{\mu \nu })=(\eta _{\mu \nu })\equiv {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix))} 參看 偽黎曼度量查论编張量張量理論中的字彙(英语:Glossary of tensor theory)範疇数学 坐標系 多重线性代数 欧几里得几何 张量代数 並矢張量 微分几何 外微分 張量微積分 物理学工程学 连续介质力学 电磁学 输运现象 廣義相對論 计算机视觉 符號 指標記號(英语:index notation) 多重指标 爱因斯坦求和约定 瑞奇微積分(英语:Ricci calculus) 潘洛斯圖形符號 佛依格特記號(英语:Voigt notation) 抽象指标记号 四元組 (指標記號)(英语:tetrad (index notation)) 凡得瓦登記號(英语:Van der Waerden notation) 張量定義 张量 (内蕴定义) 张量场 張量密度(英语:tensor density) 曲線座標中的張量(英语:tensors in curvilinear coordinates) 混合張量 反對稱張量(英语:antisymmetric tensor) 對稱張量(英语:symmetric tensor) 張量算符(英语:tensor operator) 张量场 运算 张量积 外代数 張量收縮(英语:tensor contraction) 转置矩阵 指标的上升和下降 霍奇对偶 协变微商 外微分 外共变导数 李导数 相關抽象名詞 維度 基 (線性代數) 向量(英语:Vector (mathematics and physics))、向量空间 多重向量(英语:multivector) 共變和反變 线性映射 矩阵 旋量 卡當形式 (物理學)(英语:Cartan formalism (physics)) 微分形式 微分形式 联络形式 测地线 流形 纤维丛 列维-奇维塔联络 仿射联络 知名張量數學 克罗内克δ函数 列維-奇維塔符號 度量张量 nonmetricity tensor(英语:nonmetricity tensor) 克里斯托费尔符号 里奇曲率張量 黎曼曲率張量 外勒張量(英语:Weyl tensor) 扭率張量 物理 轉動慣量 角动量 自旋張量(英语:spin tensor) 柯西应力张量 應力-能量張量 電磁張量 膠子場強度張量(英语:gluon field strength tensor) 爱因斯坦张量 度量張量 (廣相)(英语:Metric tensor (general relativity)) 数学家 萊昂哈德·歐拉 卡爾·弗里德里希·高斯 奧古斯丁-路易·柯西 赫爾曼·格拉斯曼 格雷戈里奥·里奇-库尔巴斯托罗 图利奥·列维-齐维塔 Jan 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