列維-奇維塔符號（Levi-Civita symbol），又稱列維-奇維塔ε，為一在線性代數，張量分析和微分幾何等數學範疇中常見到的符號。對於正整數 n ，它以1, 2, ..., n 所形成排列的奇偶性來定義。它以義大利數學家和物理學家图利奥·列维-齐维塔命名。其他名稱包括排列符號、反對稱符號與交替符號。這些名稱與它排列和反對稱的性質有關。

列維-奇維塔符號的標準記號是希臘小寫字母 ε 或 ϵ ，較不常見的也有以拉丁文小寫 e 記號。下標符能與張量分析兼容的方式來顯示排列：

${\displaystyle \varepsilon _{a_{1}a_{2}\cdots a_{n))}$

其中每個下標指標 a₁, a₂, ..., a_n 取值介乎 1 到 n 。在 ε_a1a2...an 中，共有 nⁿ 個指標排列，可以排成為一個 n 維陣列。

當任何兩個指標相等，則定義符號值等於 0 ：

${\displaystyle \varepsilon _{\cdots a_{p}\cdots a_{p}\cdots }=0}$；

當全部指標都不相等時，我們定義：

${\displaystyle \varepsilon _{a_{1}a_{2}\cdots a_{n))=(-1)^{p}\varepsilon _{12\cdots n))$，

其中 p 稱為「排列的奇偶性」 (parity of permutation)，是要將 a₁, a₂, ..., a_n 變換成自然次序 1, 2, ..., n ，所需的對換次數。而因子 (−1)^p 被稱為「排列正負號」 (signum of permutation)。這裡， ε_12...n 的值必須有定義，否則其他特定排列的符號值將無法確定。大多數作者選擇 +1 作為自然次序的值：

${\displaystyle \varepsilon _{12\cdots n}=+1}$。

在本文中，也將使用這個定義。

從定義可知，當任何兩個指標互換，則須加上負號：

${\displaystyle \varepsilon _{\cdots a_{p}\cdots a_{q}\cdots }=-\varepsilon _{\cdots a_{q}\cdots a_{p}\cdots ))$。

這稱為「完全反對稱性」。

“n 維列維-奇維塔符號”一詞是指符號上的指標數 n ，和所討論的向量空間維度相符，其中可指歐幾里得空間或非歐幾里得空間，例如 R³ 的 n = 3 或閔可夫斯基空間的 n = 4 。

列維-奇維塔符號的值，與參考座標系無關。此外，這裡使用「符號」一詞。強調了它並不是一個張量；然而，它可以被理解為張量的密度。

列維-奇維塔符號可用來表示正方矩陣的行列式，及三維歐幾里德空間中的兩個向量的叉積。

定義

列維-奇維塔符號最常用於三維和四維，並在一定程度上用於二維，因此在定義一般情況之前，先給出這些符號值。

二維

在二維中，列維-奇維塔符號定義如下：

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\begin{cases}+1\\-1\\0\end{cases))\,}$	當 ${\displaystyle \left(i,j\right)=\left(1,2\right)}$
	當 ${\displaystyle \left(i,j\right)=\left(2,1\right)}$
	當 ${\displaystyle i=j}$

這些值可以排列成 2×2 反對稱矩陣：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}\end{pmatrix))={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix))}$

相對於其他維度，二維的列維-奇維塔符號並不常見，雖然在某些專門的主題，如超對稱和扭量理論中，談及2-旋量時會用到。

三維

三維以上的列維-奇維塔符號更常用。在三維中，列維-奇維塔符號定義如下：

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+1\\-1\\0\end{cases))\,}$	當 ${\displaystyle \left(i,j,k\right)=\left(1,2,3\right)}$ 、 ${\displaystyle \left(2,3,1\right)}$ 或 ${\displaystyle \left(3,1,2\right)}$
	當 ${\displaystyle \left(i,j,k\right)=\left(3,2,1\right)}$ 、 ${\displaystyle \left(2,1,3\right)}$ 或 ${\displaystyle \left(1,3,2\right)}$
	當 ${\displaystyle i=j}$ 、 ${\displaystyle j=k}$ 或 ${\displaystyle i=k}$

也就是說，如果 (i, j, k) 是 (1, 2, 3) 的偶排列，則符號值為 +1 。如果是奇排列，則符號值為 −1 。如果任何兩個索引重複，則符號值為 0 。

僅在三維中， (1, 2, 3) 的循環排列都是偶排列，反循環排列都是奇排列。這意味著在三維中，僅觀察 (i, j, k) 是 (1, 2, 3) 的循環排列，還是反循環排列，就足以分辨其奇偶性。

類似於二維矩陣，三維列維-奇維塔符號的值可以排成 3×3×3 陣列：

其中 i 是深度 (藍色: i = 1; 紅色: i = 2; 綠色: i = 3) ， j 是橫行，k 是直列。

以下是一些例子：

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2))=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3))&=-1\\\varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2))=-\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3))&=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3)))=1\\\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {BrickRed}{1))=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2))&=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3)))=1\\\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2))=-\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2))&=0\end{aligned))}$

四維

在四維中，列維-奇維塔符號定義如下：

${\displaystyle \varepsilon _{ijkl}={\begin{cases}+1\\-1\\0\end{cases))\,}$	當 ${\displaystyle \left(i,j,k,l\right)=\left(1,2,3,4\right)}$ 的偶排列
	當 ${\displaystyle \left(i,j,k,l\right)=\left(1,2,3,4\right)}$ 的奇排列
	其餘情況，即任意兩個指標相等

這些值可以排成 4×4×4×4 陣列，然而四維以上較難描繪出示意圖。

以下是一些例子：

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2))}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2))\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4))&=-1\\\varepsilon _{\color {Orange}{\color {Orange}{2))\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4))=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2))\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4))&=-1\\\varepsilon _{\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2))\color {BrickRed}{1))=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2))\color {RedViolet}{4))&=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2))\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4)))=1\\\varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2))\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3))=-\varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2))\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3))&=0\end{aligned))}$

推廣到高維

更一般地推廣到 n 維中，則列維-奇維塔符號的定義為：

${\displaystyle \varepsilon _{a_{1}a_{2}a_{3}\ldots a_{n))={\begin{cases}+1\\-1\\0\end{cases))}$	當 ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})}$ 是 ${\displaystyle (1,2,3,\dots ,n)}$ 的偶排列
	當 ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})}$ 是 ${\displaystyle (1,2,3,\dots ,n)}$ 的奇排列
	其餘情況，即任意兩個指標相等

又可使用求積符號 ∏ 表達為：

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{a_{1}a_{2}a_{3}\ldots a_{n))&=\prod _{1\leq i<j\leq n}\operatorname {sgn}(a_{j}-a_{i})\\&=\operatorname {sgn}(a_{2}-a_{1})\operatorname {sgn}(a_{3}-a_{1})\dots \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{1})\operatorname {sgn}(a_{3}-a_{2})\operatorname {sgn}(a_{4}-a_{2})\dots \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{2})\dots \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{n-1})\end{aligned))}$

其中的 sgn(x) 是符號函數，根據 x 的正負給出 +1 、 0 或 −1。該公式對對於任何 n 及任何指標排列都有效（當 n = 0 或 1 時，定義為空積 1）。

然而，計算以上公式的時間複雜度為 O(n²) ，而以不交循環排列的性質計算，則只需 O(n log(n)) 。

兩個列維-奇維塔符號的積，可以用一個以廣義克羅內克函數表示的行列式求得：

${\displaystyle \varepsilon _{ijk\dots }\varepsilon _{mnl\dots }={\begin{vmatrix}\delta _{im}&\delta _{in}&\delta _{il}&\dots \\\delta _{jm}&\delta _{jn}&\delta _{jl}&\dots \\\delta _{km}&\delta _{kn}&\delta _{kl}&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots \\\end{vmatrix))}$

應用和範例

行列式

在线性代数中， 3×3 的方陣 A = (a_ij) ：

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix))}$，

其行列式可以寫為：

${\displaystyle \det(A)=\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\,a_{1i}\,a_{2j}\,a_{3k))$，

類似地， n×n 矩陣 A = (a_ij) 的行列式可以寫為：

${\displaystyle \det(A)=\sum _{a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}=1}^{n}\varepsilon _{a_{1}a_{2}\cdots a_{n))\,a_{1a_{1))\,a_{2a_{2))\,\cdots \,a_{na_{n)),}$

向量的叉積

對於向量 a 與 b ，它們的叉積：

${\displaystyle {\boldsymbol {a))\times {\boldsymbol {b))={\begin{vmatrix}{\boldsymbol {e))_{1}&{\boldsymbol {e))_{2}&{\boldsymbol {e))_{3}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix))=\sum _{1\leq i,j,k\leq 3}\varepsilon _{ijk}\,a_{i}b_{j}\,{\boldsymbol {e))_{k))$

對於向量 a 、 b 與 c ，它們的三重積：

${\displaystyle {\boldsymbol {a))\cdot ({\boldsymbol {b))\times {\boldsymbol {c)))={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix))=\sum _{1\leq i,j,k\leq 3}\varepsilon _{ijk}\,a_{i}b_{j}c_{k))$

性質

由列維-奇維塔符號給出（共變等級為n）張量在正交基礎中的組成部份，有時稱為“置換張量”。

根據普通的張量變換規則，列維-奇維塔符號在純旋轉下不變，與正交變換相關的所有座標系統（在定義上）相同。然而，列維-奇維塔符號是一種贗張量，因為在雅可比行列式−1的正交變換之下，例如，一個奇數維度的鏡射，如果它是一個張量，它“應該”有一個負號。由於它根本沒有改變，所以列維-奇維塔符號根據定義，是一個贗張量。

由於列維-奇維塔符號是贗張量，因此取叉積的結果是贗張量，而不是向量。

在一般座標變換下，置換張量的分量乘以变换矩阵的雅可比。這表示在與定義張量的座標系不同的座標系中，其組成部份與列維-奇維塔符號表示的那些，不同之處在於一整體因子。如果座標是正交的，則根據座標的方向是否相同，因子將為±1。

在無指標的張量符號中，列維-奇維塔符號被霍奇对偶的概念所取代。

在使用張量的指標符號來操作分量的上下文中，列維-奇維塔符號可以將其指標寫為下標或上標，而不改變意義，這也許是方便的如下寫成：

${\displaystyle \varepsilon ^{ij\dots k}=\varepsilon _{ij\dots k}.}$

在這些例子中，上標應該被視為與下標相同。

使用愛因斯坦標記法可消除求和符號，其中兩個或多個項之間重複的指標表示該指標的求和。例如，

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{imn}\equiv \sum _{i=1,2,3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{imn))$.

以下的例子使用愛因斯坦標記法。

二維

在二維上，當所有${\displaystyle i}$，${\displaystyle j}$，${\displaystyle m}$，${\displaystyle n}$各取值1和2時，

${\displaystyle \varepsilon _{ij}\varepsilon ^{mn}={\delta _{i))^{m}{\delta _{j))^{n}-{\delta _{i))^{n}{\delta _{j))^{m))$

1

${\displaystyle \varepsilon _{ij}\varepsilon ^{in}={\delta _{j))^{n))$

2

${\displaystyle \varepsilon _{ij}\varepsilon ^{ij}=2.}$

3

三維

指標和符號值

在三維中，當所有${\displaystyle i}$，${\displaystyle j}$，${\displaystyle k}$，${\displaystyle m}$，${\displaystyle n}$各取值1,2和3時：

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{imn}=\delta _{j}{}^{m}\delta _{k}{}^{n}-\delta _{j}{}^{n}\delta _{k}{}^{m))$

4

${\displaystyle \varepsilon _{jmn}\varepsilon ^{imn}=2{\delta _{j))^{i))$

5

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{ijk}=6.}$

6

乘積

列維-奇維塔符號與克罗内克函数有關。 在三維中，關係由以下等式給出（垂直線表示行列式）：

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmn}&={\begin{vmatrix}\delta _{il}&\delta _{im}&\delta _{in}\\\delta _{jl}&\delta _{jm}&\delta _{jn}\\\delta _{kl}&\delta _{km}&\delta _{kn}\\\end{vmatrix))\\[6pt]&=\delta _{il}\left(\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}\right)-\delta _{im}\left(\delta _{jl}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{kl}\right)+\delta _{in}\left(\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{jm}\delta _{kl}\right).\end{aligned))}$

這個結果的一個特例是(4):

${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km))$

有時候其被稱為“contracted epsilon identity”。

在愛因斯坦標記法中，${\displaystyle i}$指標的重複表示對於${\displaystyle i}$的求和。由此，上述結論可表記為：

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km))$

進一步可以知道：

${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijn}=2\delta _{kn))$

n維

指標和符號值

在n維中，當所有${\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{n},j_{1},\ldots ,j_{n))$take values${\displaystyle 1,2,\ldots ,n}$：

${\displaystyle \varepsilon _{i_{1}\dots i_{n))\varepsilon ^{j_{1}\dots j_{n))=n!\delta _{[i_{1))^{j_{1))\dots \delta _{i_{n}]}^{j_{n))=\delta _{i_{1}\dots i_{n))^{j_{1}\dots j_{n))}$

7

${\displaystyle \varepsilon _{i_{1}\dots i_{k}~i_{k+1}\dots i_{n))\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{k}~j_{k+1}\dots j_{n))=k!(n-k)!~\delta _{[i_{k+1))^{j_{k+1))\dots \delta _{i_{n}]}^{j_{n))=k!~\delta _{i_{k+1}\dots i_{n))^{j_{k+1}\dots j_{n))}$

8

${\displaystyle \varepsilon _{i_{1}\dots i_{n))\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{n))=n!}$

9

驚嘆號(${\displaystyle !}$)代表階乘，而${\displaystyle \delta _{\beta \ldots }^{\alpha \ldots ))$是廣義克罗内克函数，對於任意n有屬性：

${\displaystyle \sum _{i,j,k,\dots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\dots }\varepsilon _{ijk\dots }=n!}$

從以下事實可得出：

• 每個排列是偶排列或奇排列，
• ${\displaystyle (+1)^{2}=(-1)^{2}=1}$，與
• 任何n-元素集合的排列數正好是${\displaystyle n!}$。

乘積

一般來說，對於n維，兩個列維-奇維塔符號的乘積可以寫成：

${\displaystyle \varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n))\varepsilon _{j_{1}j_{2}\dots j_{n))={\begin{vmatrix}\delta _{i_{1}j_{1))&\delta _{i_{1}j_{2))&\dots &\delta _{i_{1}j_{n))\\\delta _{i_{2}j_{1))&\delta _{i_{2}j_{2))&\dots &\delta _{i_{2}j_{n))\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{i_{n}j_{1))&\delta _{i_{n}j_{2))&\dots &\delta _{i_{n}j_{n))\\\end{vmatrix))}$

證明