在数学中，克罗内克函数（又称克罗内克δ函数、克罗内克δ）${\displaystyle \delta _{ij}\,\!}$ 是一个二元函数，得名于德国数学家利奥波德·克罗内克。克罗内克函数的自变量（输入值）一般是两个整数，如果两者相等，则其输出值为1，否则为0。

${\displaystyle \delta _{ij}=\left\((\begin{matrix}1&(i=j)\\0&(i\neq j)\end{matrix))\right.\,\!}$ 。

克罗内克函数的值一般简写为 ${\displaystyle \delta _{ij}\,\!}$ 。

克罗内克函数和狄拉克δ函数都使用δ作为符号，但是克罗内克δ用的时候带两个下标，而狄拉克δ函数则只有一个变量。

其它记法

另一种标记方法是使用艾佛森括号（得名于肯尼斯·艾佛森）：

${\displaystyle \delta _{ij}=[i=j]\,\!}$ 。

同时，当一个变量为0时，常常会被略去，记号变为 ${\displaystyle \delta _{i}\,\!}$ ：

${\displaystyle \delta _{i}=\left\((\begin{matrix}1,&{\mbox{if ))i=0\\0,&{\mbox{if ))i\neq 0\end{matrix))\right.\,\!}$ 。

在线性代数中，克罗内克函数可以被看做一个张量，写作 ${\displaystyle \delta _{j}^{i}\,\!}$ 。

数字信号处理

类似的，在数字信号处理中，与克罗内克函数等价的概念是变量为 ${\displaystyle \mathbb {Z} \,\!}$ (整数)的函数：

${\displaystyle \delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases))\,\!}$ 。

这个函数代表着一个冲激或单位冲激。当一个数字处理单元的输入为单位冲激时，输出的函数被称为此单元的冲激响应。

性质

克罗内克函数有筛选性：对任意 ${\displaystyle j\in \mathbb {Z} \,\!}$ ：

${\displaystyle \sum _{i=-\infty }^{\infty }\delta _{ij}a_{i}=a_{j}\,\!}$ 。

如果将整数看做一个装备了计数测度的测度空间，那么这个性质和狄拉克δ函数的定义是一样的：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-y)f(x)dx=f(y)\,\!}$ 。

实际上，狄拉克δ函数是根据克罗内克函数而得名的。在信号处理中，两者是同一个概念在不同的上下文中的表现。一般设定 ${\displaystyle \delta (t)\,\,\!}$ 为连续的情况（狄拉克函数） ，而使用i, j, k, l, m, and n 等变量一般是在 离散的情况下（克罗内克函数）。

线性代数中的应用

在线性代数中，单位矩阵可以写作 ${\displaystyle (\delta _{ij})_{i,j=1}^{n}\,\!}$ 。

在看做是张量时（克罗内克张量），可以写作 ${\displaystyle \delta _{j}^{i}\,\!}$ 。

这个(1,1)向量表示:

• 作为线性映射的单位矩阵。
• 迹数。
• 内积 ${\displaystyle V^{*}\otimes V\to K\,\!}$ 。
• 映射 ${\displaystyle K\to V^{*}\otimes V\,\!}$ ，将数量乘积表示为外积的形式。

廣義克羅內克函數

定義廣義克羅內克函數為 ${\displaystyle n\times n\,\!}$ 矩陣的行列式，以方程式表達為^[1]

${\displaystyle \delta _{i_{1}i_{2}\dots i_{n))^{j_{1}j_{2}\dots j_{n))={\begin{bmatrix}\delta _{i_{1))^{j_{1))\delta _{i_{2))^{j_{1))&\cdots &\delta _{i_{n))^{j_{1))\\\delta _{i_{1))^{j_{2))\delta _{i_{2))^{j_{2))&\cdots &\delta _{i_{n))^{j_{2))\\\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{i_{1))^{j_{n))\delta _{i_{2))^{j_{n))&\cdots &\delta _{i_{n))^{j_{n))\\\end{bmatrix))\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle \delta _{j}^{i}\,\!}$ 是個張量函數，定義為 ${\displaystyle \delta _{j}^{i}\ {\stackrel {def}{=))\ \delta _{ij}\,\!}$ 。

以下列出涉及廣義克羅內克函數的一些恆等式：

• ${\displaystyle \delta _{imn}^{ijk}=\delta _{mn}^{jk}=\delta _{m}^{j}\delta _{n}^{k}-\delta _{n}^{j}\delta _{m}^{k}\,\!}$ 。
• ${\displaystyle \delta _{ijm}^{ijk}=2\delta _{m}^{k}\,\!}$ 。
• ${\displaystyle \delta _{ijk}^{ijk}=6\,\!}$ 。
• ${\displaystyle \delta _{lmn}^{ijk}=\epsilon ^{ijk}\epsilon _{lmn}\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle \epsilon ^{ijk}\,\!}$ 和 ${\displaystyle \epsilon _{lmn}\,\!}$ 是列維-奇維塔符號。

• ${\displaystyle \delta _{i_{1}i_{2}\dots i_{n))^{j_{1}j_{2}\dots j_{n))=\epsilon ^{j_{1}j_{2}\dots j_{n))\epsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n))\,\!}$ 。
• ${\displaystyle \delta _{i_{1}i_{2}\dots i_{n))^{12\dots n}=\epsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n))\,\!}$ 。
• ${\displaystyle \delta _{i_{1}i_{2}\dots i_{n))^{j_{1}j_{2}\dots j_{n))T_{j_{1}j_{2}\dots j_{n))=n!\ T_{i_{1}i_{2}\dots i_{n))\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle T_{j_{1}j_{2}\dots j_{n))\,\!}$ 是 ${\displaystyle n\,\!}$ 階張量。

积分表示

对任意的整数 ${\displaystyle n\,\!}$ ，运用标准的留数计算，可以将克罗内克函数表示成积分的形式：

${\displaystyle \delta _{x,n}={\frac {1}{2\pi i))\oint z^{x-n-1}dz\,\!}$ ；

其中积分的路径是围绕零点逆时针进行。

这个表示方式与下面的另一形式等价：

${\displaystyle \delta _{x,n}={\frac {1}{2\pi ))\int _{0}^{2\pi }e^{i(x-n)\varphi }d\varphi \,\!}$ 。

参见

• 列維-奇維塔符號
• 狄拉克测度
• 同或门

參考文獻

1. ^ Heinbockel, J. H., Introduction to Tensor Calculus and Continum Mechanics, Victoria, B.C. Canada: Trafford Publishing: pp. 14, 31, 2001 [2010-04-25], ISBN 1-55369-133-4, （原始内容存档于2020-01-06）  引文格式1维护：冗余文本 (link)