在复分析中,留数是一个正比于一个亚纯函数某一奇点周围的路径积分的复数。(更一般地,对于任何除去离散点集{ak}之外全纯的函数
都可以计算其留数,即便是离散点集中含有本质奇点)留数可以是很容易计算的,一旦知道了留数,就可以通过留数定理来计算更复杂的路径积分。
例子
作为例子,考虑以下的路径积分:
![{\displaystyle \oint _{C}{e^{z} \over z^{5))\,dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7a77dad0024b956391a788fe86b39e0676d169f)
其中C是围绕原点的任意(正向)简单闭曲线。
我们来计算这个积分,不用任何标准的积分定理。现在,ez的泰勒级数是众所周知的,我们可以把这个级数代入被积表达式中。则积分变为:
![{\displaystyle \oint _{C}{1 \over z^{5))\left(1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+{z^{5} \over 5!}+{z^{6} \over 6!}+\cdots \right)\,dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0000b5b221ac208372b7af248080a6ac0f28e9d2)
我们把1/z5的项代进级数中,便得到:
![{\displaystyle \oint _{C}\left({1 \over z^{5))+{z \over z^{5))+{z^{2} \over 2!\;z^{5))+{z^{3} \over 3!\;z^{5))+{z^{4} \over 4!\;z^{5))+{z^{5} \over 5!\;z^{5))+{z^{6} \over 6!\;z^{5))+\cdots \right)\,dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd109172e406b45fbc97b09c1b4c9cfb41697471)
![{\displaystyle =\oint _{C}\left({1 \over \;z^{5))+{1 \over \;z^{4))+{1 \over 2!\;z^{3))+{1 \over 3!\;z^{2))+{1 \over 4!\;z}+{1 \over \;5!}+{z \over 6!}+\cdots \right)\,dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea0a89429c5b9d54f97784fd1cf1258dea6b828a)
现在,积分便化为更简单的形式。由于:
![{\displaystyle \oint _{C}{1 \over z^{a))\,dz=0,\quad a\in \mathbb {Z} ,\quad a\neq 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6734020782d9d656368a0bb83c886bbaee79814)
因此任何不是cz−1形式的项都变成了零,那么积分变为:
![{\displaystyle \oint _{C}{1 \over 4!\;z}\,dz={1 \over 4!}\oint _{C}{1 \over z}\,dz={1 \over 4!}(2\pi i)={\pi i \over 12}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43c1bebaae80a9bc3ac0d03794abb6fba18a11c6)
1/4!就是ez/z5在z = 0的留数,记为:
或
或![{\displaystyle \mathrm {Res} (f,0).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a6fc3a6ceeb25aaa02d33236469c5955e934a28)
留数的计算
设复平面内有一穿孔圆盘D = {z : 0 < |z − c| < R},f是定义在D内的一个全纯函数。f在c的留数Res(f, c)是罗朗级数展开式的(z − c)−1项的系数a−1。计算留数的值的方法有很多,具体采用那种方法取决于题目中的函数,以及奇点的性质。
根据柯西积分公式,我们有:
![{\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2bb730a3baa8a31d174c87c7b1981b958bff2d5)
其中γ是逆时针绕着c的一条闭曲线。我们可以选择γ为绕着c的一个圆,它的半径可以任意地小。
可去奇点
如果函数f在整个圆盘{ |z − c| < R }内可以延拓为全纯函数,则Res(f, c) = 0。反过来不总成立。
一阶极点
在一阶极点,留数由以下公式给出:
![{\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3c77989d4967c0c228f0823d85fc6911773e4ab)
设g和h在c的一个邻域内是全纯函数,h(c) = 0而g(c) ≠ 0,那么函数f(z)=g(z)/h(z)在极点c的留数为:
![{\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={\frac {g(c)}{h'(c))).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bedfec2c0f8e9877a5f3f56e9689c1198552fceb)
较高阶极点的极限公式
更一般地,f在z = c的留数,其中c是n阶极点,由以下公式给出:
![{\displaystyle \mathrm {Res} (f,c)={\frac {1}{(n-1)!))\lim _{z\to c}{\frac {d^{n-1)){dz^{n-1))}\left((z-c)^{n}f(z)\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9531ebf53de355143669b822ea217ca8fed4f7e)
以上的公式对于计算低阶极点的留数是十分有用的。对于较高阶的极点,则级数展开式更加容易一些。
无穷远点的留数
一般地,无穷远点的留数是指:
.
如果满足下面的条件:
,
则可以用下面的公式计算无穷远点的留数:
.
如果不满足,即
,
则无穷远点的留数为:
.
级数方法
如果函数的一部分或全部可以展开为泰勒级数或洛朗级数,则留数的计算比用其它的方法要容易得多。
1. 第一个例子,计算以下函数在奇点的留数:
![{\displaystyle f(z)={\sin {z} \over z^{2}-z))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45fc952fae6e4750f7b559e7fc96be5f04431985)
它可以用来计算一定的路径积分。这个函数表面上在z = 0处具有奇点,但如果把分母因式分解,而把函数写成:
![{\displaystyle f(z)={\sin {z} \over z(z-1)))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9887e123fafa274081ec104eaaea23e7359ec118)
则显然z = 0是可去奇点,因此z = 0处的留数为零。
唯一一个另外的奇点是z = 1。函数g(z)在z = a的泰勒级数为:
![{\displaystyle g(z)=g(a)+g'(a)(z-a)+{g''(a)(z-a)^{2} \over 2!}+{g'''(a)(z-a)^{3} \over 3!}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1b965178a995efefbdb1ca3210ddf3b68005b09)
因此,对于g(z) = sin z和a = 1,我们有:
![{\displaystyle \sin {z}=\sin {1}+\cos {1}(z-1)+{-\sin {1}(z-1)^{2} \over 2!}+{-\cos {1}(z-1)^{3} \over 3!}+\cdots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2345253afe09322a3bf4b13695fcccf3ff1ec3f0)
对于g(z) = 1/z和a = 1,我们有:
![{\displaystyle {\frac {1}{z))={\frac {1}{(z-1)+1))=1-(z-1)+(z-1)^{2}-(z-1)^{3}+\cdots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/639e34e4714cd22e3c73d5997745d4d4f1cf2cff)
把两个级数相乘,并除以(z − 1),便得:
![{\displaystyle {\frac {\sin {z)){z(z-1)))={\sin {1} \over z-1}+(\cos {1}-\sin 1)+(z-1)\left(-{\frac {\sin {1)){2!))-\cos 1+\sin 1\right)+\cdots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/069a0899e171cd694e47d344e4a6120609699694)
因此f(z)在z = 1的留数为sin 1。
2. 接下来的例子展示了运用级数展开来求留数,拉格朗日反演定理在这里发挥了重要作用。令
![{\displaystyle u(z):=\sum _{k\geq 1}u_{k}z^{k))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/206af1c62288050577641b65c8f760f3393fc884)
为一个整函数,并令
![{\displaystyle v(z):=\sum _{k\geq 1}v_{k}z^{k))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1e801400e098baa576b4ff9b96f11982ff4e86a)