亚纯函数
在复分析中,一个复平面的开子集D上的亚纯函数是一个在D上除一个或若干个孤点集合之外的区域全纯的函数,且这些孤立点都是该函数的极点。
每个D上的亚纯函数可以表达为两个全纯函数的比(其分母不恒为0):极点也就是分母的零点。
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/44/Gamma_abs.png/220px-Gamma_abs.png)
直观的讲,一个亚纯函数是两个性质很好的(全纯)函数的比。这样的函数本身性质也很“好”,除了分式的分母为零的点,那时函数的值为无穷。
从代数的观点来看,如果D是一个连通集,则亚纯函数的集合是全纯函数的整域的分式域。这和有理数和整数的关系类似。
例子
[编辑]- 所有的有理函数如
- 都是在整个复平面上的亚纯函数。
- 函数
- 都属于亚纯函数。又因为它们都不是有理函数,所以它们也被称为超越亚纯函数。
- 函数
- 函数
- 函数不是在整个复平面上的亚纯函数,因为不能通过从复平面去除可数个点而让它变成全纯的。
性质
[编辑]由于亚纯函数的奇点是孤立点,它们至多有可数多个。极点的个数可以有无穷多个,例如函数:
使用解析拓延来消去可去奇点后,亚纯函数可以进行加减法和乘法的运算。当在D的连通部分上不恒为零时,还可以定义f/g。因此,当D连通时,所有的亚纯函数构成一个域,为复数域的一个域扩张。
黎曼曲面上的亚纯函数
[编辑]在一个黎曼曲面上,每个点都拥有一个同构于复平面上的一个开子集的开邻域。因此,在任意黎曼曲面上都可以定义亚纯函数。
当D为整个黎曼球时,亚纯函数域就是复平面上的单变量有理函数域,因为可以证明任意黎曼球上的亚纯函数都是有理函数(这是所谓的GAGA原理的一个特例)。
参考
[编辑]- Serge Lang, Complex Analysis, Springer, 2003. ISBN 0-387-98592-1.
- Stein. Complex Analysis.
- Ahlfors. Complex Analysis, 1966.
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