在R 2 中标准基的图示。红蓝向量是这个基的元素。
线性代数
A
=
[
1
2
3
4
]
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix))}
向量 ·
向量空间 · 基底 ·
行列式 ·
矩阵
向量
标量 ·
向量 ·
向量空间 ·
向量投影 ·
外积 (
向量积 ·
七维向量积 ) ·
内积 (
数量积 ) ·
二重向量
矩阵与行列式
矩阵 ·
行列式 ·
线性方程组 ·
秩 ·
核 ·
跡 ·
單位矩陣 ·
初等矩阵 ·
方块矩阵 ·
分块矩阵 ·
三角矩阵 ·
非奇异方阵 ·
转置矩阵 ·
逆矩阵 ·
对角矩阵 ·
可对角化矩阵 ·
对称矩阵 ·
反對稱矩陣 ·
正交矩阵 ·
幺正矩阵 ·
埃尔米特矩阵 ·
反埃尔米特矩阵 ·
正规矩阵 ·
伴随矩阵 ·
余因子矩阵 ·
共轭转置 ·
正定矩阵 ·
幂零矩阵 ·
矩阵分解 (
LU分解 ·
奇异值分解 ·
QR分解 ·
极分解 ·
特征分解 ) ·
子式和余子式 ·
拉普拉斯展開 ·
克罗内克积
线性空间与线性变换
线性空间 ·
线性变换 ·
线性子空间 ·
线性生成空间 · 基 ·
线性映射 ·
线性投影 ·
線性無關 ·
线性组合 ·
线性泛函 ·
行空间与列空间 ·
对偶空间 ·
正交 ·
特征向量 ·
最小二乘法 ·
格拉姆-施密特正交化
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查 论 编
在线性代数 中,基 (英文:basis,又称基底 ) 是向量空间裡某一群特殊的向量(称为基向量 ),使得向量空间中的任意向量,都可以唯一地表示成基向量的线性组合 (或線性組合的極限 )。
通过基底可以直接地描述向量空间
V
{\displaystyle \mathrm {V} }
上定义的线性映射
f
{\displaystyle f}
,詳請參見线性映射#矩陣 一節。
為了記號表示方便,這裡仿造數列级数 定義一個"向量序列的級數":
通常會仿造數列級數而把上面定義的
s
i
{\displaystyle s_{i))
寫為
∑
k
=
0
i
v
k
{\displaystyle \sum _{k=0}^{i}v_{k))
或更直觀的
v
0
+
v
1
+
⋯
+
v
i
{\displaystyle v_{0}+v_{1}+\cdots +v_{i))
Hamel基的定義 —
V
{\displaystyle \mathrm {V} }
是定义在域
K
{\displaystyle K}
(也就是标量的母空間,如实数系
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
或复数系
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
)上的向量空间,如果
V
{\displaystyle \mathrm {V} }
的子集
B
{\displaystyle {\mathfrak {B))}
满足:
0
V
∉
B
{\displaystyle 0_{V}\notin {\mathfrak {B))}
(也就是零向量 不會在
B
{\displaystyle {\mathfrak {B))}
裡)
若
v
∈
V
{\displaystyle v\in \mathrm {V} }
且
v
≠
0
V
{\displaystyle v\neq 0_{V))
,則存在唯一的一組相異向量
e
1
,
e
2
,
…
,
e
n
∈
B
{\displaystyle e_{1},\,e_{2},\,\ldots ,\,e_{n}\in {\mathfrak {B))}
和唯一的一組非零 标量
λ
1
,
λ
2
,
…
,
λ
n
∈
K
{\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\in K}
使得
λ
1
⋅
e
1
+
λ
2
⋅
e
2
+
⋯
+
λ
n
⋅
e
n
=
v
{\displaystyle \lambda _{1}\cdot e_{1}+\lambda _{2}\cdot e_{2}+\cdots +\lambda _{n}\cdot e_{n}=v}
。
则稱
B
{\displaystyle {\mathfrak {B))}
是向量空间
V
{\displaystyle \mathrm {V} }
的一组Hamel基 。
B
{\displaystyle {\mathfrak {B))}
裡的元素被稱為基向量 ,若基向量的總數是有限個,
B
{\displaystyle {\mathfrak {B))}
則會被稱為有限基 或直接簡稱為基 。
上面的第二個條件,也可以等價地改寫為以下兩條[1] :
线性无关 (linear independence)
對任意相異的
e
1
,
e
2
,
…
,
e
n
∈
B
{\displaystyle e_{1},\,e_{2},\,\ldots ,\,e_{n}\in {\mathfrak {B))}
和任意的
λ
1
,
λ
2
,
…
,
λ
n
∈
K
{\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\in K}
,若
λ
1
⋅
e
1
+
λ
2
⋅
e
2
+
⋯
+
λ
n
⋅
e
n
=
0
V
{\displaystyle \lambda _{1}\cdot e_{1}+\lambda _{2}\cdot e_{2}+\cdots +\lambda _{n}\cdot e_{n}=0_{V))
,则
λ
1
=
λ
2
=
…
=
λ
n
=
0
K
{\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\ldots =\lambda _{n}=0_{K))
生成律(spanning property)
对任意
v
∈
V
{\displaystyle v\in \mathrm {V} }
,存在相異向量
e
1
,
e
2
,
…
,
e
n
∈
B
{\displaystyle e_{1},\,e_{2},\,\ldots ,\,e_{n}\in {\mathfrak {B))}
和标量
λ
1
,
λ
2
,
…
,
λ
n
∈
K
{\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\in K}
使得
λ
1
e
1
+
λ
2
e
2
+
⋯
+
λ
n
e
n
=
v
{\displaystyle \lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}=v}
等價性來自於線性無關:
若有第二組相異
E
1
,
E
2
,
…
,
E
m
∈
B
{\displaystyle E_{1},\,E_{2},\,\ldots ,\,E_{m}\in {\mathfrak {B))}
基向量和第二組标量
c
1
,
c
2
,
…
,
c
m
∈
K
{\displaystyle c_{1},\,c_{2},\,\ldots ,\,c_{m}\in K}
也滿足
c
1
⋅
E
1
+
c
2
⋅
E
2
+
⋯
+
c
m
⋅
E
m
=
v
{\displaystyle c_{1}\cdot E_{1}+c_{2}\cdot E_{2}+\cdots +c_{m}\cdot E_{m}=v}
的話,把這住兩組基向量合併,並重新排列,於兩組間重複的記為
w
1
,
w
2
,
…
,
w
l
∈
B
{\displaystyle w_{1},\,w_{2},\,\ldots ,\,w_{l}\in {\mathfrak {B))}
,其他不重複的部分,第一組的記為
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
−
l
∈
B
{\displaystyle v_{1},\,v_{2},\,\ldots ,\,v_{n-l}\in {\mathfrak {B))}
;而第二組的記為
u
1
,
u
2
,
…
,
u
m
−
l
∈
B
{\displaystyle u_{1},\,u_{2},\,\ldots ,\,u_{m-l}\in {\mathfrak {B))}
;然後設
w
1
,
w
2
,
…
,
w
l
∈
B
{\displaystyle w_{1},\,w_{2},\,\ldots ,\,w_{l}\in {\mathfrak {B))}
於原來第一組對應的标量係數是
α
1
,
α
2
,
…
,
α
l
∈
K
{\displaystyle \alpha _{1},\,\alpha _{2},\,\ldots ,\,\alpha _{l}\in K}
;原第二組則是對應
a
1
,
a
2
,
…
,
a
l
∈
K
{\displaystyle a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{l}\in K}
。另外
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
−
l
∈
B
{\displaystyle v_{1},\,v_{2},\,\ldots ,\,v_{n-l}\in {\mathfrak {B))}
對應的标量係數則為
β
1
,
β
2
,
…
,
β
n
−
l
∈
K
{\displaystyle \beta _{1},\,\beta _{2},\,\ldots ,\,\beta _{n-l}\in K}
;
u
1
,
u
2
,
…
,
u
m
−
l
∈
B
{\displaystyle u_{1},\,u_{2},\,\ldots ,\,u_{m-l}\in {\mathfrak {B))}
對應的标量係數則為
b
1
,
b
2
,
…
,
b
m
−
l
∈
K
{\displaystyle b_{1},\,b_{2},\,\ldots ,\,b_{m-l}\in K}
; 這樣把
v
∈
V
{\displaystyle v\in \mathrm {V} }
的第一組線性組合表達式減去第二組會有
∑
i
=
1
l
(
α
i
−
a
i
)
⋅
w
i
+
∑
j
=
1
n
−
l
β
j
⋅
v
j
+
∑
k
=
1
m
−
l
(
−
b
k
)
⋅
u
k
=
0
V
{\displaystyle \sum _{i=1}^{l}(\alpha _{i}-a_{i})\cdot w_{i}+\sum _{j=1}^{n-l}\beta _{j}\cdot v_{j}+\sum _{k=1}^{m-l}(-b_{k})\cdot u_{k}=0_{V))
這樣依據線性無關,就有
α
1
−
a
1
=
α
2
−
a
2
=
⋯
=
α
l
−
a
l
=
0
K
{\displaystyle \alpha _{1}-a_{1}=\alpha _{2}-a_{2}=\cdots =\alpha _{l}-a_{l}=0_{K))
β
1
=
β
2
=
⋯
=
β
n
−
l
=
0
K
{\displaystyle \beta _{1}=\beta _{2}=\cdots =\beta _{n-l}=0_{K))
b
1
=
b
2
=
⋯
=
b
m
−
l
=
0
K
{\displaystyle b_{1}=b_{2}=\cdots =b_{m-l}=0_{K))
這就確保任意
v
∈
V
{\displaystyle v\in \mathrm {V} }
的線性組合表達式都是用同一組的基向量,且其标量係數也是唯一的。
除了上小節單以線性組合定義的Hamel基,也有以無窮級數展開任意向量為動機來定義基:
第二項條件通常會簡寫為
對每個
v
∈
V
{\displaystyle v\in \mathrm {V} }
,都存在唯一組标量
{
λ
i
∈
K
}
i
∈
N
{\displaystyle {\{\lambda _{i}\in K\))_{i\in \mathbb {N} ))
,使
v
=
lim
n
→
∞
∑
i
=
0
n
λ
i
⋅
e
i
{\displaystyle v=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}\cdot e_{i))
甚至寫為
v
=
∑
i
=
0
∞
λ
i
⋅
e
i
{\displaystyle v=\sum _{i=0}^{\infty }\lambda _{i}\cdot e_{i))
在傅立叶级数 的研究中,函数
{
1
}
∪
{
sin
(
n
x
)
,
cos
(
n
x
)
|
n
∈
N
}
{\displaystyle \{1\}\cup \{\sin(nx),\cos(nx)|n\in \mathbb {N} \))
是所有的在区间[0, 2π]上为平方可积分的(实数或复数值)的函数的(实数或复数)向量空间的“正交基”,这种函数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
满足
∫
0
2
π
|
f
(
x
)
|
2
d
x
<
∞
.
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\left|f(x)\right|^{2}\,dx<\infty .}
函数族
{
1
}
∪
{
sin
(
n
x
)
,
cos
(
n
x
)
|
n
∈
N
}
{\displaystyle \{1\}\cup \{\sin(nx),\cos(nx)|n\in \mathbb {N} \))
是线性无关的,所有在[0, 2π]上平方可积分的函数是它们的“无限线性组合”,在如下意义上
lim
n
→
∞
∫
0
2
π
|
a
0
+
∑
k
=
1
n
(
a
k
cos
(
k
x
)
+
b
k
sin
(
k
x
)
)
−
f
(
x
)
|
2
d
x
=
0
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\int _{0}^{2\pi }{\biggl |}a_{0}+\sum _{k=1}^{n}{\bigl (}a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx){\bigr )}-f(x){\biggr |}^{2}\,dx=0}
对于适合的(实数或复数)系数a k , b k 。但是多数平方可积分函数不能表达为这些基函数的有限线性组合,因为它们不构成Hamel基。这个空间的所有Hamel基都大于这个函数的只可数无限集合。此类空间的Hamel基没有什么价值,而这些空间的正交基是傅立叶分析的根本。
如果基中元素个数有限 ,就称向量空间为有限维向量空间,並将元素的个数称作向量空间的维度 [2] 。如果原本的基底為:
B
=
{
e
1
,
e
2
,
…
,
e
N
}
{\displaystyle {\mathfrak {B))=\left\{e_{1},\,e_{2},\ldots ,\,e_{N}\right\))
那時也可依據元素個數 的數數是以一對一對應 來定義的本質,反過來用基向量序列
{
e
i
∈
V
}
i
=
1
N
{\displaystyle {\{e_{i}\in V\))_{i=1}^{N))
來間接代表
B
{\displaystyle {\mathfrak {B))}
。
事实上,不是所有空间都拥有由有限个元素构成的基底。这样的空间称为无限维空间。某些无限维空间上可以定义由无限个元素构成的基。在现代集合论中,如果承认选择公理 ,就可以证明任何向量空间都拥有一组基。一个向量空间的基不止一组,但同一个空间的两组不同的基,它们的元素个数或势 (当元素个数是无限的时候)会是相等的。一组基里面的任意一部分向量都是线性无关 的;反之,如果向量空间拥有一组基,那么在向量空间中取一组线性无关的向量,一定能得到一组基。特别地,在内积向量空间 中,可以定义正交 的概念。通过特别的方法,可以将任意的一组基变换成正交基乃至标准正交基 。
设
B
{\displaystyle {\mathfrak {B))}
是向量空间
V
{\displaystyle \mathrm {V} }
的子集。则
B
{\displaystyle {\mathfrak {B))}
是基,当且仅当 满足了下列任一条件:
V
{\displaystyle \mathrm {V} }
是
B
{\displaystyle {\mathfrak {B))}
的极小生成集,就是说只有
B
{\displaystyle {\mathfrak {B))}
能生成
V
{\displaystyle \mathrm {V} }
,而它的任何真子集都不能生成全部的向量空间。
B
{\displaystyle {\mathfrak {B))}
是
V
{\displaystyle \mathrm {V} }
中线性无关向量的极大集合,就是说
B
{\displaystyle {\mathfrak {B))}
在
V
{\displaystyle \mathrm {V} }
中是线性无关(線性獨立)集合,而且
V
{\displaystyle \mathrm {V} }
中没有其他线性无关(線性獨立)集合包含它作为真子集。
V
{\displaystyle \mathrm {V} }
中所有的向量都可以按唯一的方式表达为
B
{\displaystyle {\mathfrak {B))}
中向量的线性组合。如果基是有序的,则在这个线性组合中的系数提供了这个向量关于这个基的坐标。如果承认良序定理 或任何选择公理 的等价物,那么作为推论,可以证明任何的向量空间都拥有一组基。(证明:良序排序这个向量空间的元素。建立不线性依赖于前面元素的所有元素的子集。它就是基)。反过来也是真的。一个向量空间的所有基都拥有同样的势 (元素个数),叫做这个向量空间的维度 。这个结果叫做维度定理,它要求系统承认严格弱形式的选择公理即超滤子引理 。
考虑所有坐标 (a , b )的向量空间R 2 ,这里的a 和b 都是实数。则非常自然和简单的基就是向量e 1 = (1,0)和e 2 = (0,1):假设v = (a , b )是R 2 中的向量,则v = a (1,0) + b (0,1)。而任何两个线性无关向量如 (1,1)和(−1,2),也形成R 2 的一个基。 更一般的说,给定自然数n 。n 个线性无关的向量e 1 , e 2 , ..., e n 可以在实数域上生成R n 。因此,它们也是的一个基而R n 的维度是n 。这个基叫做R n 的标准基。 设V 是由函数e t 和e 2t 生成的实数 向量空间。这两个函数是线性无关的,所有它们形成了V 的基。 设R [x]指示所有实数多项式 的向量空间;则 (1, x, x2 , ...)是R [x]的基。R [x]的维度的势 因此等于
ℵ
0
{\displaystyle \aleph _{0))
. 在行向量空间
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n))
中有单位行向量
E
(
1
)
=
(
1
,
0
,
.
.
.
,
0
)
,
E
(
2
)
=
(
0
,
1
,
.
.
.
,
0
)
,
.
.
.
,
E
(
n
)
=
(
0
,
0
,
.
.
.
,
1
)
{\displaystyle E_{(1)}=(1,0,...,0),E_{(2)}=(0,1,...,0),...,E_{(n)}=(0,0,...,1)}
那么在该空间中,任意向量
X
=
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
{\displaystyle X=(x_{1},x_{2},...,x_{n})}
,都可以唯一 表示成
X
=
x
1
E
(
1
)
+
x
2
E
(
2
)
+
.
.
.
+
x
n
E
(
n
)
{\displaystyle X=x_{1}E_{(1)}+x_{2}E_{(2)}+...+x_{n}E_{(n)))
.然后我们可以看出,
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n))
可以由它的向量子空间构成
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n))
=<
E
(
1
)
,
E
(
2
)
,
.
.
.
,
E
(
n
)
>
{\displaystyle =<E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)}>}
.
同样的,单位列向量 就可以表达为
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n))
=
[
E
(
1
)
,
E
(
2
)
,
.
.
.
,
E
(
n
)
]
{\displaystyle =[E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)}]}
.
线性无关 的单位行向量
E
(
1
)
,
E
(
2
)
,
.
.
.
,
E
(
n
)
{\displaystyle E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)))
生成
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n))
. 那么
E
(
1
)
,
E
(
2
)
,
.
.
.
,
E
(
n
)
{\displaystyle {E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)))}
是
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n))
的基,称这个基为标准基 .
如上所述,一个向量空间的每一组基都是一个极大的线性无关集合,同时也是极小的生成集合。可以证明,如果向量空间拥有一组基,那么每个线性无关的子集都可以扩张成一组基(也称为基的扩充定理),每个能够生成整个空间的子集也必然包含一组基。特别地,在任何线性无关集合和任何生成集合之间有一组基。以数学语言来说:如果
L
{\displaystyle {\mathfrak {L))}
是在向量空间
V
{\displaystyle \mathrm {V} }
中的一个线性无关集合而集合
G
{\displaystyle {\mathfrak {G))}
是一个包含
L
{\displaystyle {\mathfrak {L))}
而且能够生成
V
{\displaystyle \mathrm {V} }
的集合,则存在
V
{\displaystyle \mathrm {V} }
的一组基
B
{\displaystyle {\mathfrak {B))}
,它包含了
L
{\displaystyle {\mathfrak {L))}
而且是
G
{\displaystyle {\mathfrak {G))}
的子集:
L
⊆
B
⊆
G
{\displaystyle {\mathfrak {L))\subseteq {\mathfrak {B))\subseteq {\mathfrak {G))}
。
以上两个结论可以帮助证明一个集合是否是给定向量空间的基。如果不知道某个向量空间的维度,证明一个集合是它的基需要证明这个集合不仅是线性无关的,而且能够生成整个空间。如果已知这个向量空间的维度(有限维),那么这个集合的元素个数必须等于维数,才可能是它的基。在两者相等时,只需要证明这个集合线性无关,或这个集合能够生成整个空间这两者之一就够了。这是因为线性无关的子集必然能扩充成基;而这个集合的元素个数已经等于基的元素个数,需要添加的元素是0个。这说明原集合就是一组基。同理,能够生成整个空间的集合必然包含一组基作为子集;但假如这个子集是真子集,那么元素个数必须少于原集合的元素个数。然而原集合的元素个数等于维数,也就是基的元素个数,这是矛盾的。这说明原集合就是一组基。
基底是作为向量空间的子集定义的,其中的元素并不按照顺序排列。为了更方便相关的讨论,通常会将基向量进行排列。比如说将:
B
=
{
e
1
,
e
2
,
⋯
,
e
n
}
{\displaystyle {\mathfrak {B))=\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\))
写成有序向量组:
(
e
1
,
e
2
,
⋯
,
e
n
)
{\displaystyle (e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n})}
。这样的有序向量组称为有序基 。在有限维向量空间和可数维数的向量空间中,都可以自然地将基底表示成有序基。在有序基下,任意的向量都可以用确定的数组表示,称为向量的坐标 。例如,在使用向量的坐标表示的时候习惯谈论“第一个”或“第二个”坐标,这只在指定了基的次序前提下有意义。在这个意义下,有序基可以看作是向量空间的坐标架。
设
V
{\displaystyle \mathrm {V} }
是在域
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
上的n 维向量空间。在
V
{\displaystyle \mathrm {V} }
上确定一个有序基等价于确定一个从坐标空间
F
n
{\displaystyle \mathbb {F} ^{n))
到
V
{\displaystyle \mathrm {V} }
的一个选定线性同构
ϕ
{\displaystyle \phi }
。
证明 :这个证明利用了
F
n
{\displaystyle \mathbb {F} ^{n))
的标准基是有序基的事实。
首先假设
ϕ
:
F
n
→
V
{\displaystyle \phi :\;\;\mathbb {F} ^{n}\rightarrow \mathrm {V} }
是线性同构。可以定义
V
{\displaystyle \mathrm {V} }
的一组有序基
{
v
i
}
1
⩽
i
⩽
n
{\displaystyle \{v_{i}\}_{1\leqslant i\leqslant n))
如下:
v
i
=
ϕ
(
e
i
)
,
∀
i
,
1
⩽
i
⩽
n
.
{\displaystyle v_{i}=\phi (e_{i}),\;\;\forall i,\;1\leqslant i\leqslant n.}
其中的
{
e
i
}
1
⩽
i
⩽
n
{\displaystyle \{e_{i}\}_{1\leqslant i\leqslant n))
是
F
n
{\displaystyle \mathbb {F} ^{n))
的标准基。
反过来说,给定一个有序基,考虑如下定义的映射
φ (x ) = x 1 v 1 + x 2 v 2 + ... + x n v n ,这里的x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + ... + x n e n 是F n 的一个元素。不难检查出φ 是线性同构。
这两个构造明显互逆。所以V 的有序基一一对应于线性同构F n → V 。
确定自有序基{v i }线性映射φ 的逆映射为V 装备了坐标:如果对于向量v ∈ V , φ -1 (v ) = (a 1 , a 2 ,...,a n ) ∈ F n ,则a j = a j (v )的分量是v 的坐标,在v = a 1 (v ) v 1 + a 2 (v ) v 2 + ... + a n (v ) v n 的意义上。
从向量v 到分量a j (v )的映射是从V 到F 的线性映射,因为φ -1 是线性的。所以它们是线性泛函 。它们形成V 的对偶空间 的基,叫做对偶基 。
^ 柯斯特利金.代数学引论(第二版)[M]高等教育出版社:53
^ Lang, Serge. Linear algebra. Berlin: New York: Springer-Verlag. 1987. ISBN 978-0-387-96412-6 .