在数学中,魏尔斯特拉斯椭圆函数(Weierstrass's elliptic functions)又称 p 函数并且以
符号表示,是格外简单的一类椭圆函数,也是雅可比椭圆函数的特殊形式。卡尔·魏尔斯特拉斯首先研究了这些函数。
定义
固定
中的格
(
在
上线性无关),对应的魏尔斯特拉斯椭圆函数定义是
。
显然右式只与格
相关,无关于基
之选取。
的元素也称作周期。
另一方面,格
在取适当的全纯同态
后可表成
,其中
属于上半平面。对于这种形式的格,
。
反之,由此亦可导出对一般的格之公式
![{\displaystyle \wp (z;\mathbb {Z} \omega _{1}\oplus \mathbb {Z} \omega _{2})={\frac {\wp ({\frac {z}{\omega _{1))};{\frac {\omega _{2)){\omega _{1))})}{\omega _{1}^{2))}\quad (\mathrm {Im} ({\frac {\omega _{1)){\omega _{2))})>0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4697dfe85bc4108cc86b62207e31ac3a0723d42)
在数值计算方面,
可以由Θ函数快速地计算,方程是
![{\displaystyle \wp (z;\tau )=\pi ^{2}\vartheta ^{2}(0;\tau )\vartheta _{10}^{2}(0;\tau ){\vartheta _{01}^{2}(z;\tau ) \over \vartheta _{11}^{2}(z;\tau )}-{\pi ^{2} \over {3))\left[\vartheta ^{4}(0;\tau )+\vartheta _{10}^{4}(0;\tau )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26f9c99244c5b95e7970a8b9d7ae2df3c3a2f432)
- 在周期格中的每个点,
有二阶极点。
是偶函数。
- 复导函数
是奇函数。
模判别式
续用上节符号,模判别式
定义为下述函数
![{\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75aea810f524692943a624bb693bea38b79ab402)
视为周期格的函数,这是权 12 之模形式。模判别式也可以用戴德金η函数表示。
文献
- Stein. Complex Analysis.
- Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
- Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0 (See chapter 1.)
- K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
- Serge Lang, Elliptic Functions (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6
- E. T. Whittaker and G. N. Watson, A course of modern analysis (1952), Cambridge University Press, chapters 20 and 21