在数学中，艾森斯坦级数是一类可直接表成级数的模形式，由费迪南·艾森斯坦首创。对于一般的约化群，罗伯特·朗兰兹也发展了相应的理论。

固定整数 ${\displaystyle k>1}$。对上半平面上的复数 ${\displaystyle \tau }$，定义艾森斯坦级数 ${\displaystyle G_{2k))$ 为

${\displaystyle G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {1}{(m+n\tau )^{2k))}.}$

此级数是上半平面上的全纯函数，此外它更是模群 ${\displaystyle \Gamma :=\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$ 的权 ${\displaystyle 2k}$ 模形式。换言之，若 ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {Z} }$ 满足 ${\displaystyle ad-bc=1}$，则

${\displaystyle G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d))\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau )}$

模形式理论中的一个基本事实是：模群 ${\displaystyle \Gamma }$ 的模形式俱可表为 ${\displaystyle G_{4))$ 与 ${\displaystyle G_{6))$ 的多项式。作为特例，以下说明如何将艾森斯坦级数递回地表成 ${\displaystyle G_{4},G_{6))$ 的多项式。

置 ${\displaystyle d_{k}:=(2k+3)k!G_{2k+4))$，遂有下述关系式：

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}d_{k}d_{n-k}={\frac {2n+9}{3n+6))d_{n+2))$

在此 ${\displaystyle {n \choose k))$ 是二项式系数而 ${\displaystyle d_{0}=3G_{4))$、${\displaystyle d_{1}=5G_{6))$。

函数 ${\displaystyle d_{k))$ 可以表示魏尔斯特拉斯 ${\displaystyle \wp }$ 函数：

${\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2))}+z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {d_{k}z^{2k)){k!))={\frac {1}{z^{2))}+\sum _{k=1}^{\infty }(2k+1)G_{2k+2}z^{2k))$

置 ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau ))$。由于艾森斯坦级数是模群的模形式，故有傅立叶展开式

${\displaystyle G_{2k}(\tau )=2\zeta (2k)\left(1+c_{2k}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(n)q^{n}\right)}$

其中的傅立叶系数 ${\displaystyle c_{2k))$ 是

${\displaystyle c_{2k}={\frac {(2\pi i)^{2k)){(2k-1)!\zeta (2k)))={\frac {-4k}{B_{2k))))$。

此处的 ${\displaystyle B_{n))$ 是伯努利数，${\displaystyle \zeta (z)}$是黎曼ζ函数，而 ${\displaystyle \sigma _{p}(n)}$ 是 ${\displaystyle n}$ 的正因数的 ${\displaystyle p}$ 次幂和。

${\displaystyle G_{4}(\tau )={\frac {\pi ^{4)){45))\left[1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n}\right]}$

${\displaystyle G_{6}(\tau )={\frac {2\pi ^{6)){945))\left[1-504\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{5}(n)q^{n}\right]}$

当 ${\displaystyle |q|<1}$，对 ${\displaystyle q}$ 之和亦可化成兰伯特级数

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n)){1-q^{n))))$。

有时也会考虑常数项等于一的艾森斯坦级数：

${\displaystyle E_{2k}:={\frac {G_{2k)){2\zeta (2k)))=1-{\frac {4k}{B_{2k))}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(n)q^{n))$。

拉马努金给出了许多有趣的艾森斯坦级数关系式：定义

${\displaystyle L(q)=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nq^{n)){1-q^{n))}=E_{2}(\tau )}$

${\displaystyle M(q)=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n)){1-q^{n))}=E_{4}(\tau )}$

${\displaystyle N(q)=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n)){1-q^{n))}=E_{6}(\tau )}$

则有

${\displaystyle q{\frac {dL}{dq))={\frac {L^{2}-M}{12))}$

${\displaystyle q{\frac {dM}{dq))={\frac {LM-N}{3))}$

${\displaystyle q{\frac {dN}{dq))={\frac {LN-M^{2)){2))}$

• Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
• Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0
• Henryk Iwaniec, Spectral Methods of Automorphic Forms, Second Edition, (2002) (Volume 53 in Graduate Studies in Mathematics), America Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-3160-7 (See chapter 3)
• Jean-Pierre Serre, A course in arithmetic. Translated from the French. Graduate Texts in Mathematics, No. 7. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1973.