系列条目
微积分学
函数 极限论 微分学 积分 微积分基本定理 微积分发现权之争（英语：Leibniz–Newton calculus controversy）
基础概念（含极限论和级数论） 实数性质 函数 · 单调性 · 初等函数 · 数列 · 极限 · 实数的构造（1=0.999…） · 无穷（衔尾蛇） · 无穷小量 · ε-δ语言 · 实无穷（英语：Actual infinity） · 大O符号 · 最小上界 · 收敛数列 · 芝诺悖论 · 柯西序列 · 单调收敛定理 · 夹挤定理 · 波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理 · 斯托尔兹-切萨罗定理 · 上极限和下极限 · 函数极限 · 渐近线 · 邻域 · 连续 · 连续函数 · 不连续点 · 狄利克雷函数 · 稠密集 · 一致连续 · 紧集 · 海涅-博雷尔定理 · 支撑集 · 欧几里得空间 · 点积 · 外积 · 三重积 · 拉格朗日恒等式 · 等价范数 · 坐标系 · 多元函数 · 凸集 · 巴拿赫不动点定理 · 级数 · 收敛级数（英语：convergent series） · 几何级数 · 调和级数 · 项测试 · 格兰迪级数 · 收敛半径 · 审敛法 · 柯西乘积 · 黎曼级数重排定理 · 函数项级数（英语：function series） · 一致收敛 · 迪尼定理 数列与级数 连续 函数
一元微分 差分 · 均差 · 微分 · 微分的线性（英语：linearity of differentiation） · 导数（流数法 · 二阶导数 · 光滑函数 · 高阶微分 · 莱布尼兹记号（英语：Leibniz's_notation） · 幽灵似的消失量） · 介值定理 · 中值定理（罗尔定理 · 拉格朗日中值定理 · 柯西中值定理） · 泰勒公式 · 求导法则（乘积法则 · 广义莱布尼茨定则（英语：General Leibniz rule） · 除法定则 · 倒数定则 · 链式法则） · 洛必达法则 · 反函数的微分 · Faà di Bruno公式（英语：Faà di Bruno's formula） · 对数微分法 · 导数列表 · 导数的函数应用（单调性 · 切线 · 极值 · 驻点 · 拐点 · 求导检测（英语：derivative test） · 凸函数 · 凹函数 · 简森不等式 · 曲线的曲率 · 埃尔米特插值） · 达布定理 · 魏尔施特拉斯函数
一元积分 积分表 定义 不定积分 定积分 黎曼积分 达布积分 勒贝格积分 积分的线性 求积分的技巧（换元积分法 · 三角换元法 · 分部积分法 · 部分分式积分法 · 降次积分法） 微元法 · 积分第一中值定理 · 积分第二中值定理 · 微积分基本定理 · 反常积分 · 柯西主值 · 积分函数（Β函数 · Γ函数 · 古德曼函数 · 椭圆积分） · 数值积分（矩形法 · 梯形公式 · 辛普森积分法 · 牛顿-寇次公式） · 积分判别法 · 傅里叶级数（狄利克雷定理 · 周期延拓） · 魏尔施特拉斯逼近定理 · 帕塞瓦尔定理 · 刘维尔定理
多元微积分 偏导数 · 隐函数 · 全微分（微分的形式不变性） · 二阶导数的对称性 · 全微分 · 方向导数 · 标量场 · 向量场 · 梯度（Nabla算子） · 多元泰勒公式 · 拉格朗日乘数 · 黑塞矩阵 · 鞍点 · 多重积分（逐次积分 · 积分顺序（英语：Order of integration (calculus)）） · 积分估值定理 · 旋转体 · 帕普斯-古尔丁中心化旋转定理 · 祖暅-卡瓦列里原理 · 托里拆利小号 · 雅可比矩阵 · 广义多重积分（高斯积分） · 若尔当曲线 · 曲线积分 · 曲面积分（施瓦茨的靴（俄语：Сапог Шварца）） · 散度 · 旋度 · 通量 · 可定向性 · 格林公式 · 高斯散度定理 · 斯托克斯定理及其外微分形式 · 若尔当测度 · 隐函数定理 · 皮亚诺-希尔伯特曲线 · 积分变换 · 卷积定理 · 积分符号内取微分 (莱布尼茨积分定则（英语：Leibniz integral rule）) · 多变量原函数的存在性（全微分方程） · 外微分的映射原像存在性（恰当形式） · 向量值函数 · 向量空间内的导数推广（英语：generalizations of the derivative）（加托导数 · 弗雷歇导数 · 矩阵的微积分（英语：matrix calculus）） · 弱微分
微分方程 常微分方程 · 柯西-利普希茨定理 · 皮亚诺存在性定理 · 分离变数法 · 级数展开法 · 积分因子 · 拉普拉斯算子 · 欧拉方法 · 柯西-欧拉方程 · 伯努利微分方程 · 克莱罗方程 · 全微分方程 · 线性微分方程 · 叠加原理 · 特征方程式 · 朗斯基行列式 · 微分算子法 · 差分方程 · 拉普拉斯变换 · 偏微分方程（拉普拉斯方程 · 泊松方程） · 施图姆-刘维尔理论 · N体问题 · 积分方程
相关数学家 牛顿 · 莱布尼兹 · 柯西 · 魏尔斯特拉斯  · 黎曼 · 拉格朗日 · 欧拉 · 帕斯卡 · 海涅 · 巴罗 · 波尔查诺 · 狄利克雷 · 格林 · 斯托克斯 · 若尔当 · 达布 · 傅里叶 · 拉普拉斯 · 雅各布·伯努利 · 约翰·白努利 · 阿达马 · 麦克劳林 · 迪尼 · 沃利斯 · 费马 · 达朗贝尔 · 黑维塞 · 吉布斯 · 奥斯特罗格拉德斯基 · 刘维尔 · 棣莫弗 · 格雷果里 · 玛达瓦（英语：Madhava of Sangamagrama） · 婆什迦罗第二 · 阿涅西 · 阿基米德
历史名作 从无穷小量分析来理解曲线（英语：Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes） · 分析学教程（英语：Cours d'Analyse） · 无穷小分析引论 · 用无穷级数做数学分析（英语：De analysi per aequationes numero terminorum infinitas） · 流形上的微积分（英语：Calculus on Manifolds (book)） · 微积分学教程 · 纯数学教程（英语：A Course of Pure Mathematics） · 机械原理方法论（英语：The Method of Mechanical Theorems）
分支学科 实变函数论 · 复分析 · 傅里叶分析 · 变分法 · 特殊函数 · 动力系统 · 微分几何 · 微分代数 · 向量分析 · 分数微积分 · 玛里亚温微积分（英语：Malliavin calculus） · 随机分析 · 最优化 · 非标准分析
查 论 编

雷诺传输定理也称为莱布尼兹-雷诺传输定理或雷诺输运定理，是以积分符号内取微分闻名的莱布尼兹积分的三维推广。

雷诺传输定理得名自奥斯鲍恩·雷诺（1842–1912），用来调整积分量的微分，用来推导连续介质力学的基础方程。

考虑在时变的区域${\displaystyle \Omega (t)}$积分${\displaystyle \mathbf {f} =\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)}$，其边界为${\displaystyle \partial \Omega (t)}$，考虑上式对时间的微分：

${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t))\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} ~{\text{dV))~.}$

若要求上述积分的导数，会有两个问题，${\displaystyle \mathbf {f} }$的时间相依性，及因${\displaystyle \Omega }$动态的边界而增加或减少的空间，雷诺传输定理提供了必要的框架。

通用型式

雷诺传输定理可表为以下形式^[1][2][3]是：

${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t))\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} ~{\text{dV))=\int _{\Omega (t)}{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t))~{\text{dV))+\int _{\partial \Omega (t)}(\mathbf {v} _{b}\cdot \mathbf {n} )\mathbf {f} ~{\text{dA))~}$

其中${\displaystyle \mathbf {n} (\mathbf {x} ,t)}$为向外的单位法向量，${\displaystyle \mathbf {x} }$为区域中的一点，也是积分变数，${\displaystyle {\text{dV))}$ 及${\displaystyle {\text{dA))}$是位于${\displaystyle \mathbf {x} }$的体积元素及表面元素，${\displaystyle \mathbf {v} _{b}(\mathbf {x} ,t)}$为面积元素的速度而非流速。函数${\displaystyle \mathbf {f} }$可以是张量、向量或标量函数^[4]。注意等式左边的积分只是时间的函数，所以采用全微分符号。

针对流体块的形式

在连续介质力学中，此定理常用在没有物质进来或离开的流体块或固体中。若${\displaystyle \Omega (t)}$为一流体块，则存在速度函数${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$及边界元素符合下式

${\displaystyle \mathbf {v} ^{b}\cdot \mathbf {n} =\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} .}$

上式在替代后，可以得到以下的定理^[5]

${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t))\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} ~{\text{dV))\right)=\int _{\Omega (t)}{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t))~{\text{dV))+\int _{\partial \Omega (t)}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {f} ~{\text{dA))~.}$

针对一流体块的证明

令${\displaystyle \Omega _{0))$为区域${\displaystyle \Omega (t)}$的参考组态，令其运动及形变梯度为 ${\displaystyle \mathbf {x} ={\boldsymbol {\varphi ))(\mathbf {X} ,t)~;\qquad \implies \qquad {\boldsymbol {F))(\mathbf {X} ,t)={\boldsymbol {\nabla ))_{\circ }{\boldsymbol {\varphi ))~.}$ 令${\displaystyle J(\mathbf {X} ,t)=\det[{\boldsymbol {F))(\mathbf {X} ,t)]}$. 则目前组态及参考组态的积分有以下的关系 ${\displaystyle \int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)~{\text{dV))=\int _{\Omega _{0))\mathbf {f} [{\boldsymbol {\varphi ))(\mathbf {X} ,t),t]~J(\mathbf {X} ,t)~{\text{dV))_{0}=\int _{\Omega _{0)){\hat {\mathbf {f} ))(\mathbf {X} ,t)~J(\mathbf {X} ,t)~{\text{dV))_{0}~.}$ That this derivation is for a material element is implicit in the time constancy of the reference configuration: it is constant in material coordinates. 针对体积积分的微分定义为 ${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t))\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)~{\text{dV))\right)=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\cfrac {1}{\Delta t))\left(\int _{\Omega (t+\Delta t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t+\Delta t)~{\text{dV))-\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)~{\text{dV))\right)~.}$ 将上式转换为对参考组态的积分，可得 ${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t))\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)~{\text{dV))\right)=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\cfrac {1}{\Delta t))\left(\int _{\Omega _{0)){\hat {\mathbf {f} ))(\mathbf {X} ,t+\Delta t)~J(\mathbf {X} ,t+\Delta t)~{\text{dV))_{0}-\int _{\Omega _{0)){\hat {\mathbf {f} ))(\mathbf {X} ,t)~J(\mathbf {X} ,t)~{\text{dV))_{0}\right)~.}$ 因为${\displaystyle \Omega _{0))$和时间无关，可得 ${\displaystyle {\begin{aligned}{\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t))\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)~{\text{dV))\right)&=\int _{\Omega _{0))\left[\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\cfrac ((\hat {\mathbf {f} ))(\mathbf {X} ,t+\Delta t)~J(\mathbf {X} ,t+\Delta t)-{\hat {\mathbf {f} ))(\mathbf {X} ,t)~J(\mathbf {X} ,t)}{\Delta t))\right]~{\text{dV))_{0}\\&=\int _{\Omega _{0)){\frac {\partial }{\partial t))[{\hat {\mathbf {f} ))(\mathbf {X} ,t)~J(\mathbf {X} ,t)]~{\text{dV))_{0}\\&=\int _{\Omega _{0))\left({\frac {\partial }{\partial t))[{\hat {\mathbf {f} ))(\mathbf {X} ,t)]~J(\mathbf {X} ,t)+{\hat {\mathbf {f} ))(\mathbf {X} ,t)~{\frac {\partial }{\partial t))[J(\mathbf {X} ,t)]\right)~{\text{dV))_{0}\end{aligned))}$ 现在，${\displaystyle \det {\boldsymbol {F))}$的时间导数为 [6] ${\displaystyle {\frac {\partial J(\mathbf {X} ,t)}{\partial t))={\frac {\partial }{\partial t))(\det {\boldsymbol {F)))=(\det {\boldsymbol {F)))({\boldsymbol {\nabla ))\cdot \mathbf {v} )=J(\mathbf {X} ,t)~{\boldsymbol {\nabla ))\cdot \mathbf {v} ({\boldsymbol {\varphi ))(\mathbf {X} ,t),t)=J(\mathbf {X} ,t)~{\boldsymbol {\nabla ))\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)~.}$ 因此 ${\displaystyle {\begin{aligned}{\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t))\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)~{\text{dV))\right)&=\int _{\Omega _{0))\left({\frac {\partial }{\partial t))[{\hat {\mathbf {f} ))(\mathbf {X} ,t)]~J(\mathbf {X} ,t)+{\hat {\mathbf {f} ))(\mathbf {X} ,t)~J(\mathbf {X} ,t)~{\boldsymbol {\nabla ))\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right)~{\text{dV))_{0}\\&=\int _{\Omega _{0))\left({\frac {\partial }{\partial t))[{\hat {\mathbf {f} ))(\mathbf {X} ,t)]+{\hat {\mathbf {f} ))(\mathbf {X} ,t)~{\boldsymbol {\nabla ))\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right)~J(\mathbf {X} ,t)~{\text{dV))_{0}\\&=\int _{\Omega (t)}\left({\dot {\mathbf {f} ))(\mathbf {x} ,t)+\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)~{\boldsymbol {\nabla ))\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right)~{\text{dV))\end{aligned))}$ 其中${\displaystyle {\dot {\mathbf {f} ))}$为${\displaystyle \mathbf {f} }$的材料导数（英语：Material derivative），现在材料导数为 ${\displaystyle {\dot {\mathbf {f} ))(\mathbf {x} ,t)={\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)}{\partial t))+[{\boldsymbol {\nabla ))\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)]\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)~.}$ 因此 ${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t))\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)~{\text{dV))\right)=\int _{\Omega (t)}\left({\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)}{\partial t))+[{\boldsymbol {\nabla ))\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)]\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)~{\boldsymbol {\nabla ))\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right)~{\text{dV))}$ 或者 ${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t))\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} ~{\text{dV))\right)=\int _{\Omega (t)}\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t))+{\boldsymbol {\nabla ))\mathbf {f} \cdot \mathbf {v} +\mathbf {f} ~{\boldsymbol {\nabla ))\cdot \mathbf {v} \right)~{\text{dV))~.}$ 利用以下的恒等式 ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla ))\cdot (\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )=\mathbf {v} ({\boldsymbol {\nabla ))\cdot \mathbf {w} )+{\boldsymbol {\nabla ))\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }$ 可得 ${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t))\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} ~{\text{dV))\right)=\int _{\Omega (t)}\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t))+{\boldsymbol {\nabla ))\cdot (\mathbf {f} \otimes \mathbf {v} )\right)~{\text{dV))~.}$ 利用高斯散度定理及恒等式 ${\displaystyle (\mathbf {a} \otimes \mathbf {b} )\cdot \mathbf {n} =(\mathbf {b} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {a} }$，可得 ${\displaystyle ((\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t))\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} ~{\text{dV))\right)=\int _{\Omega (t)}{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t))~{\text{dV))+\int _{\partial \Omega (t)}(\mathbf {f} \otimes \mathbf {v} )\cdot \mathbf {n} ~{\text{dA))=\int _{\Omega (t)}{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t))~{\text{dV))+\int _{\partial \Omega (t)}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {f} ~{\text{dA))\qquad \square ))$

错误的引用

此定理常被错误的引用为只针对物质体积（material volume）的形式，若将只针对物质体积应用于物质体积以外的区域中，就会出现问题。

特别形式

若${\displaystyle \Omega }$不随时间改变，则${\displaystyle \mathbf {v} _{b}=0}$，且恒等式化简为以下的形式

${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t))\int _{\Omega }f~{\text{dV))=\int _{\Omega }{\frac {\partial f}{\partial t))~{\text{dV))~,}$

不过若用了不正确的雷诺传输定理，无法进行上述的简化。

在一维下的诠释及简化

此定理是积分符号内取微分的高维延伸，有些情形下可以简化为积分符号内取微分。假设${\displaystyle f}$和${\displaystyle y}$和${\displaystyle z}$无关，且${\displaystyle \Omega (t)}$为${\displaystyle y-z}$平面的单位方块，且有${\displaystyle a(t)}$及${\displaystyle b(t)}$的极限，雷诺传输定理会简化为

${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t))\int _{a(t)}^{b(t)}f~{\text{dx))=\int _{a(t)}^{b(t)}{\frac {\partial f}{\partial t))~{\text{dx))+{\frac {\partial b(t)}{\partial t))f(b(t),t)-{\frac {\partial a(t)}{\partial t))f(a(t),t)~,}$

上述是由积分符号内取微分来的表示式，但x及t变数已经对调。

相关条目

• 积分符号内取微分
• 莱布尼兹积分律（英语：Leibniz integral rule）

脚注

参考资料

• L. G. Leal, 2007, Advanced transport phenomena: fluid mechanics and convective transport processes, Cambridge University Press, p. 912.
• O. Reynolds, 1903, Papers on Mechanical and Physical Subjects, Vol. 3, The Sub-Mechanics of the Universe, Cambridge University Press, Cambridge.
• J. E. Marsden and A. Tromba, 2003, Vector Calculus, 5th ed., W. H. Freeman .

外部链接

• Osborne Reynolds, Collected Papers on Mechanical and Physical Subjects, in three volumes, published circa 1903, now fully and freely

available in digital format:Volume 1, Volume 2, Volume 3,

• https://web.archive.org/web/20080327180821/http://www.catea.org/grade/mecheng/mod6/mod6.html#slide1
• http://planetmath.org/reynoldstransporttheorem （页面存档备份，存于互联网档案馆）