数学中，一个由集合${\displaystyle X}$映射至集合${\displaystyle Y}$的函数，若对每一在${\displaystyle Y}$内的${\displaystyle y}$，存在唯一一个在${\displaystyle X}$内的${\displaystyle x}$与其对应，且对每一在${\displaystyle X}$内的${\displaystyle x}$，存在唯一一个在${\displaystyle Y}$内的${\displaystyle y}$与其对应，则此函数为双射函数。

换句话说，如果其为两集合间的一一对应，则${\displaystyle f}$是双射的。即，同时为单射和满射。

例如，由整数集合${\displaystyle \mathbb {Z} }$至${\displaystyle \mathbb {Z} }$的函数${\displaystyle \operatorname {succ} }$，其将每一个整数${\displaystyle x}$连结至整数${\displaystyle \operatorname {succ} (x)=x+1}$，这是一个双射函数；再看一个例子，函数${\displaystyle \operatorname {sumdif} }$，其将每一对实数${\displaystyle (x,y)}$连结至${\displaystyle \operatorname {sumdif} (x,y)=(x+y,x-y)}$，这也是个双射函数。

一双射函数亦简称为双射（英语：bijection）或置换。后者一般较常使用在${\displaystyle X=Y}$时。以由${\displaystyle X}$至${\displaystyle Y}$的所有双射组成的集合标记为${\displaystyle X\leftrightarrow Y}$。

双射函数在许多数学领域扮演着很基本的角色，如在同构的定义（以及如同胚和微分同构等相关概念）、置换群、投影映射及许多其他概念的基本上。

复合函数与反函数

一函数${\displaystyle f}$为双射的当且仅当其逆关系${\displaystyle f^{-1))$也是个函数。在这情况，${\displaystyle f^{-1))$也会是双射函数。

两个双射函数${\displaystyle f:X\leftrightarrow Y}$及${\displaystyle g:Y\leftrightarrow Z}$的复合函数${\displaystyle g\circ f}$亦为双射函数。其反函数为${\displaystyle (g\circ f)^{-1}=(f^{-1})\circ (g^{-1})}$。

另一方面，若${\displaystyle g\circ f}$为双射的，可知${\displaystyle f}$是单射的且${\displaystyle g}$是满射的，但也仅限于此。

一由${\displaystyle X}$至${\displaystyle Y}$的关系${\displaystyle f}$为双射函数当且仅当存在另一由${\displaystyle Y}$至${\displaystyle X}$的关系${\displaystyle g}$，使得${\displaystyle g\circ f}$为${\displaystyle X}$上的恒等函数，且${\displaystyle f\circ g}$为${\displaystyle Y}$上的恒等函数。必然地，此两个集合会有相同的势。

双射与势

若${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$为有限集合，则其存在一两集合的双射函数当且仅当两个集合有相同的元素个数。确实，在公理集合论里，这正是“相同元素个数”的定义，且广义化至无限集合，并导致了基数的概念，用以分辨无限集合的不同大小。

例子与反例

• 对任一集合${\displaystyle X}$，其恒等函数为双射函数。
• 函数${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$，其形式为${\displaystyle f(x)=2x+1}$，是双射的，因为对任一${\displaystyle y}$，存在一唯一${\displaystyle x=(y-1)/2}$使得${\displaystyle f(x)=y}$。
• 指数函数${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$，其形式为${\displaystyle g(x)=e^{x))$，不是双射的：因为不存在一${\displaystyle \mathbb {R} }$内的${\displaystyle x}$使得${\displaystyle g(x)=-1}$，故${\displaystyle g}$非为双射。但若其陪域改成正实数${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}=(0,+\infty )}$，则${\displaystyle g}$便是双射的了；其反函数为自然对数函数${\displaystyle \ln }$。
• 函数${\displaystyle h}$ : ${\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow [0,+\infty )}$，其形式为${\displaystyle h(x)=x^{2))$，不是双射的：因为${\displaystyle h(-1)=h(1)=1}$，故${\displaystyle h}$非为双射。但如果把定义域也改成${\displaystyle [0,+\infty )}$，则${\displaystyle h}$便是双射的了；其反函数为正平方根函数。
• ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto (x-1)x(x+1)=x^{3}-x}$不是双射函数，因为${\displaystyle -1,0}$和${\displaystyle 1}$都在其定义域里且都映射至${\displaystyle 0}$。
• ${\displaystyle \mathbb {R} \to [-1,1]:x\mapsto \sin(x)}$不是双射函数，因为${\displaystyle \pi /3}$和2${\displaystyle \pi /3}$都在其定义域里且都映射至${\displaystyle {\sqrt {3))/2}$。

性质

• 一由实数${\displaystyle \mathbb {R} }$至${\displaystyle \mathbb {R} }$的函数${\displaystyle f}$是双射的，当且仅当其图像和任一水平线相交且只相交于一点。
• 设${\displaystyle X}$为一集合，则由${\displaystyle X}$至其本身的双射函数，加上其复合函数“${\displaystyle \circ }$”的运算，会形成一个群，即为${\displaystyle X}$的对称群，其标记为${\displaystyle {\mathfrak {S))(X)}$、${\displaystyle {\mathfrak {S))_{X))$或${\displaystyle X!}$。
• 取一定义域的子集${\displaystyle A}$及一陪域的子集${\displaystyle B}$，则

${\displaystyle |f(A)|=|A|}$且${\displaystyle |f^{-1}(B)|=|B|}$。

• 若${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$为具相同势的有限集合，且${\displaystyle f:X\to Y}$，则下列三种说法是等价的：

1. ${\displaystyle f}$为一双射函数。
2. ${\displaystyle f}$为一满射函数。
3. ${\displaystyle f}$为一单射函数。

• 一个严格的单调函数是双射函数，但双射函数不一定是单调函数（例如${\displaystyle y=x^{-3))$）。

双射与范畴论

形式上，双射函数恰好是集合范畴内的同构。

另见

• 等势
• 单射
• 同构
• 置换
• 对称群
• 满射
• 双射计数法
• 水平线测试

参考文献

外部链接

维基共享资源中相关的多媒体资源：Bijectivity

• Hazewinkel, Michiel (编), Bijection, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• 埃里克·韦斯坦因. Bijection. MathWorld. 
• Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.（页面存档备份，存于互联网档案馆）

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