在逻辑和数学中，逻辑合取或逻辑与或且是一个二元逻辑运算符。如果其两个变量的真值都为“真”，其结果为“真”，否则其结果为“假”。^[1][2][3]

相关名称

基本符号：${\displaystyle \land }$

英文名：logical conjunction

中文名：逻辑与，合取，交集，按位与，逻辑乘，与门，...

命题逻辑中的二元连接词合取，是一个两元算子，集合论中的交集算子，二进制中的逻辑乘算子，按位与（Bitwise AND），逻辑门中的“与”门（AND gate），编程语言中的&或and运算符等等。

基本定义

逻辑与（logical conjunction）是两个逻辑变量的一种运算，经常是两个命题的运算。它满足：当且仅当其两个变量的真值都为真时，其结果为真。

逻辑与${\displaystyle \land }$是个二元算子，运算结果取值为真的条件是，当且仅当两个命题的取值都真时。命题是取值要么是真要么是假的二值语句，没有第三种取值，或说值域为{真，假}或是{T,F}或是{0,1}。未知真又未知假的语句是猜想；既真又假，既不真又不假的语句是悖论。

复合命题${\displaystyle ~A\land B}$，读作A合取B，在GCT逻辑中，也叫联言命题。也有称为合取命题的。

真值表定义

A与B的真值表（也写作A${\displaystyle \land }$B（逻辑学），A && B（计算机科学），或A${\displaystyle \cdot }$B（电子学））。

${\displaystyle ~A\land B}$ 的真值表:

输入		输出
${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle A\land B}$
真	真	真
真	假	假
假	真	假
假	假	假

推理规则

合成与分解规则

合取引入规则

合取引入规则（∧+）（conjunction introduction rule）或联言推理的合成式，是经典逻辑中简单且有效的论证形式。这个论证形式有两个前提，A和B，可以直观地推出他们的合取。

其形式如下：

A,

B.

因此A且B.

形式化为：

${\displaystyle \mathbf {A} ,}$

${\displaystyle \mathbf {B} }$

${\displaystyle \vdash A\land B}$

下面的例子是满足联言推理的合成式的论证：

小橘子是正妹。

小橘子是车神。

因此小橘子是正妹也是车神。

另一个例子如下：

1小于2

6大于5

因此，1小于2，而且6大于5。

还有一个例子如下：

有一些PSPACE问题不是NL问题

有一些EXPSPACE问题不是PSPACE问题

因此有一些EXPSPACE问题不是PSPACE问题，而且有一些PSPACE问题不是NL问题

合取消去规则

合取消去规则（∧-）（Conjunction elimination rule）或联言推理的分解式，是另一个在经典逻辑中简单且有效的论证形式。从任何合取式中都可以直观地推论出两个前提中的任意一个。

其形式如下：

A且B。

因此A。

...或者，

A且B.

因此B.

用逻辑运算符描述为，

形式化为:

${\displaystyle A\land B}$

${\displaystyle \vdash A}$

或者,

${\displaystyle A\land B}$

${\displaystyle \vdash B}$

例如:

有一些EXPSPACE问题不是PSPACE问题，而且有一些PSPACE问题不是NL问题

因此有一些PSPACE问题不是NL问题

或者

有一些EXPSPACE问题不是PSPACE问题，而且有一些PSPACE问题不是NL问题

因此有一些EXPSPACE问题不是PSPACE问题

另一个例子如下：

1小于2，而且6大于5。

因此1小于2。

或者

1小于2，而且6大于5。

因此6大于5。

还有一个例子如下：

小橘子是正妹也是车神。

因此小橘子是正妹。

或者

小橘子是正妹也是车神。

因此小橘子是车神。

性质

逻辑与满足以下性质：

• 结合律: ${\displaystyle A\land (B\land C)\equiv (A\land B)\land C}$

• 交换律: ${\displaystyle A\land B\equiv B\land A}$

• 分配律: ${\displaystyle (A\land (B\lor C))\equiv ((A\land B)\lor (A\land C))}$

${\displaystyle (A\lor (B\land C))\equiv ((A\lor B)\land (A\lor C))}$

• 幂等律: ${\displaystyle A\land A\equiv A}$

• 单调性: ${\displaystyle (A\rightarrow B)\rightarrow ((C\land A)\rightarrow (C\land B))}$

${\displaystyle (A\rightarrow B)\rightarrow ((A\land C)\rightarrow (B\land C))}$

• 保真性: 所有变量的真值皆为“真”的命题在逻辑与运算后的结果为真。

• 保假性: 所有变量的真值皆为“假”的命题在逻辑与运算后的结果为假。

如果用二进制来表达真（1）和假（0），逻辑与运算与算术乘法运算一致。

计算机科学中的运用

位运算

逻辑与常在位运算中使用，比如：

• 0 and 0 = 0
• 0 and 1 = 0
• 1 and 0 = 0
• 1 and 1 = 1

• 1100 and 1010 = 1000

编程中的使用

在高等计算机编程中，逻辑合取“与”通常由内置算符and或&号来表达。很多编程语言还提供与逻辑与相应的短路求值控制结构。

布尔“与”也在SQL的运算符中使用。有些数据库区分大小写，需要"AND"符号。

在计算机科学中，AND运算符可以用来构造位屏蔽，以选择二进制序列的一部分。比如10011101 AND 00001000 = 00001000用来取二进制序列的第五位。

交集运算

集合论中的交运算是用逻辑与来定义的：x ∈ A ∩ B当且仅当(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)。因此逻辑与有很多与交集运算相同的性质，诸如结合律，交换律，分配律，及德·摩根定律。

注释

参见

• 与门

相关网页

维基共享资源上的相关多媒体资源：逻辑与

• Wolfram Mathematics Conjunction （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• All Math Words Encyclopedia Conjunction （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Hazewinkel, Michiel (编), Conjunction, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Property and truth table of AND propositions. （原始内容存档于May 6, 2017）. 

查 论 编 逻辑联结词 恒真（${\displaystyle \top }$） 与非（${\displaystyle \uparrow }$） 反蕴涵（${\displaystyle \leftarrow }$） 蕴涵（${\displaystyle \rightarrow }$） 或（${\displaystyle \lor }$） 非（${\displaystyle \neg }$） 异或（${\displaystyle \oplus }$） 双条件（${\displaystyle \leftrightarrow }$） 命题 或非（${\displaystyle \downarrow }$） 非蕴涵（${\displaystyle \nrightarrow }$） 反非蕴涵（${\displaystyle \nleftarrow }$） 与（${\displaystyle \land }$） 恒假（${\displaystyle \bot }$）

查 论 编 数理逻辑 基本概念 公理 列表 势 一阶逻辑 形式证法（英语：Formal proof） 逻辑语义学 数学基础 信息论 蕴涵 结构 集合 定理 形式理论 类型论 定理 （列表（英语：Category:Theorems in the foundations of mathematics）及悖论（英语：Paradoxes of set theory）） 哥德尔完备性定理及哥德尔不完备定理 塔斯基不可定义定理 巴拿赫-塔斯基定理 康托尔 定理、悖论和对角论证法 紧致性定理 停机问题 林德斯特伦定理（英语：Lindström's theorem） 勒文海姆–斯科伦定理 罗素悖论 逻辑 传统逻辑 逻辑真理 恒真式 命题 推理 逻辑等价 一致性 相同一致性（英语：Equiconsistency） 逻辑论证 可靠性定理 有效性 直言三段论 对立四边形 文氏图 命题逻辑 逻辑代数 布尔函数 逻辑运算符 命题逻辑 命题公式 真值表 多值逻辑 三值 有限值（英语：Finite-valued logic） 无限值（英语：Infinite-valued logic） 经典逻辑 经典逻辑 一阶逻辑 二阶逻辑 一元（英语：Monadic second-order logic） 高阶逻辑 自由逻辑 量化 谓词（英语：Predicate (mathematical logic)） 一元谓词演算 集合论 集合 遗传集（英语：Hereditary set） 类 （基本）元素 有序对 序数 子集 相等 外延性 力迫 关系 等价关系 集合划分 集合运算 交集 并集 补集 笛卡儿积 幂集 同一性（英语：List of set identities and relations） 集合种类 可数集 不可数集 空集 居集（英语：Inhabited set） 单元素集合 有限集合 无限集合 传递集合 超滤子（英语：Ultrafilter (set theory)） 递归集合 模糊集 全集 可构造全集（英语：Constructible universe） 格伦迪克全集（英语：Grothendieck universe） 冯·诺伊曼全集 映射与势 函数、映射 定义域 到达域 像 单射、满射、双射 康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理 同构 哥德尔数 列举法 大基数 不可达基数 阿列夫数 运算 二元运算 集合理论 策梅洛-弗兰克尔 (ZFC) 选择公理 连续统假设 广义集合论 (GST)（英语：General set theory） 克里普克-普拉克 (KP)（英语：Kripke–Platek set theory） 莫尔斯-凯利集合论 (MK)（英语：Morse–Kelley set theory） 朴素集合论 新基础集合论 塔斯基-格罗滕迪克 (TG)（英语：Tarski–Grothendieck set theory） 冯·诺伊曼-博内斯-哥德尔 (NBG) 建构式集合论（英语：Constructive set theory） 句法（英语：Syntax (logic)）及语言 字母表 元数 自动机理论 公理模式 表达式 基础表达式（英语：Ground expression） 扩展（英语：Extension by new constant and function names） 关系 形式 文法 语言 证明 系统 理论 形成规则（英语：Formation rule） 合式公式 原子公式 封闭式 基本式（英语：Ground formula） 开放式 自由变量和约束变量 元语言 逻辑运算符 ¬ ∨ ∧ → ↔ 逻辑相等（英语：Logical equality） 谓词（英语：Predicate (mathematical logic)） 泛函谓词 谓词变量 命题变量 量化 ∃ ! ∀ 级别（英语：Quantifier rank） 句子 原子句子 逻辑签名（英语：Signature (logic)） 字符串 替换法（英语：Substitution (logic)） 逻辑符号 函数符号 逻辑常量（英语：Logical constant） 非逻辑符号（英语：Non-logical symbol） 变数 逻辑术语（英语：Term (logic)） 公理系统示例 （列表（英语：List of first-order theories）） 实算术（英语：True arithmetic） 皮亚诺公理 二阶（英语：Second-order arithmetic） 初等函数（英语：Elementary function arithmetic） 原始递归（英语：Primitive recursive arithmetic） 罗宾逊算术（英语：Robinson arithmetic） 斯科勒姆算术（英语：Skolem arithmetic） 实数的构造 塔尔斯基公理化（英语：Tarski's axiomatization of the reals） 布尔代数 正则定义（英语：Boolean algebras canonically defined） 最小公理（英语：Minimal axioms for Boolean algebra） 几何（英语：Foundations of geometry） 欧几里得几何 《原本》 希尔伯特公理 非欧几里得几何 塔尔斯基公理（英语：Tarski's axioms） 《数学原理》 证明论 形式证明 自然演绎 蕴涵 推理规则 相继式演算 定理 系统 形式 公理 演绎 希尔伯特演绎系统 列表（英语：List of Hilbert systems） 完备理论（英语：Complete theory） ZFC系统的独立性（英语：Independence (mathematical logic)） 列表 不可能证明（英语：Proof of impossibility） 序数分析（英语：Ordinal analysis） 逆数学 自恰理论（英语：Self-verifying theories） 模型论 解释 结构 初等等价 有限模型（英语：Finite model theory） 饱和模型 子结构 非标准模型 算术（英语：Non-standard model of arithmetic） 结构图（英语：Diagram (mathematical logic)） 基本图（英语：Elementary diagram） 分类理论（英语：Categorical theory） 完备模型论（英语：Model complete theory） 可满足性（英语：Satisfiability） 逻辑语义学 强度（英语：Strength (mathematical logic)） 真理 语义理论 塔尔斯基 克里普克 T-模式 转移原则（英语：Transfer principle） 真理谓词（英语：Truth predicate） 真值 型 超积 有效性 可计算性理论 邱奇数 邱奇-图灵论题 递归可枚举集合 可计算函数 递归集合 决定性问题 可决定性（英语：Decidability (logic)） 不可决定性 P NP P/NP问题 柯氏复杂性 Λ演算 原始递归函数 递归 递归集合 图灵机 类型论 其他相关 抽象逻辑（英语：Abstract logic） 范畴论 具象范畴、抽象范畴 集合范畴 逻辑史 数理逻辑 历史年表（英语：Timeline of mathematical logic） 逻辑主义 数学对象 数学哲学 超任务（英语：Supertask） 数学主题

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