贵金属比例、贵金属分割（英语：metallic ratio）定义为

${\displaystyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4))}{2)):1}$（n为自然数）

所表示的比率。

随${\displaystyle n}$值的不同，又称为第${\displaystyle n}$贵金属比例、第${\displaystyle n}$贵金属分割。特别地，第1贵金属比例${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5))}{2)):1}$称为黄金比例、第2贵金属比例${\displaystyle 1+{\sqrt {2)):1}$称为白银比例、第3贵金属比例${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {13))}{2)):1}$称为青铜比例。 ^[1]

贵金属数

0	${\displaystyle {\frac {0+{\sqrt {4))}{2))}$	1	1
1	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5))}{2))}$	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5))}{2))}$	1.6180339887...
2	${\displaystyle {\frac {2+{\sqrt {8))}{2))}$	${\displaystyle 1+{\sqrt {2))}$	2.4142135623...
3	${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {13))}{2))}$	${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {13))}{2))}$	3.3027756377...
4	${\displaystyle {\frac {4+{\sqrt {20))}{2))}$	${\displaystyle 2+{\sqrt {5))}$	4.2360679774...
5	${\displaystyle {\frac {5+{\sqrt {29))}{2))}$	${\displaystyle {\frac {5+{\sqrt {29))}{2))}$	5.1925824035...
6	${\displaystyle {\frac {6+{\sqrt {40))}{2))}$	${\displaystyle 3+{\sqrt {10))}$	6.1622776601...
7	${\displaystyle {\frac {7+{\sqrt {53))}{2))}$	${\displaystyle {\frac {7+{\sqrt {53))}{2))}$	7.1400549446...
8	${\displaystyle {\frac {8+{\sqrt {68))}{2))}$	${\displaystyle 4+{\sqrt {17))}$	8.1231056256...
9	${\displaystyle {\frac {9+{\sqrt {85))}{2))}$	${\displaystyle {\frac {9+{\sqrt {85))}{2))}$	9.1097722286...
n	${\displaystyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4))}{2))}$

贵金属数是

${\displaystyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4))}{2))}$

即二次方程式${\displaystyle x^{2}-nx-1=0}$的正根。

贵金属数的连分数表示是：

${\displaystyle n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{\ddots ))))))))=[n;n,n,n,n,\dots ]}$

黄金数（第1贵金属数）是斐波那契数列相邻两项的比的极限，白银数（第2贵金属数）是佩尔数列相邻两项的比的极限；一般地，也存在以第${\displaystyle n}$贵金属数为相邻两项的比的极限的数列。

数列${\displaystyle \{M_{k}\))$的递推关系式

${\displaystyle M_{0}=0,\quad M_{1}=1,\quad M_{k+2}=nM_{k+1}+M_{k))$

一旦定义了此关系式，则在此之中，第${\displaystyle n}$贵金属数为${\displaystyle \mu }$，有

${\displaystyle M_{k}={\frac {\mu ^{k}-(-\mu )^{-k)){\mu +\mu ^{-1))}={\frac {\mu ^{k}-(-\mu )^{-k)){\sqrt {n^{2}+4))))$

成立。在这种情况下，这个序列的两个相邻项的商数在${\displaystyle K\rightarrow \infty }$收敛于${\displaystyle \mu }$。即

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {M_{k+1)){M_{k))}=\mu }$

成立。

• 黄金比例
• 白银比例
• 青铜比例

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