在数学的范畴论分支，若干个函数的等化子（英语：equaliser）是使其值相等的参数的集合。换言之，两个函数${\displaystyle f,g}$的等化子，是方程${\displaystyle f(x)=g(x)}$的解集（英语：solution set）。仅得两个函数时，也称为其差核，因为等于两个函数之差的核（英语：Kernel (category theory)）。

设${\displaystyle X}$与${\displaystyle Y}$为集合。又设${\displaystyle f,g}$为从${\displaystyle X}$至${\displaystyle Y}$的函数。则${\displaystyle f}$与${\displaystyle g}$的等化子为${\displaystyle X}$中所有满足${\displaystyle f(x)=g(x)}$的元素${\displaystyle x}$的集合，以符号表示为：

${\displaystyle \operatorname {Eq} (f,g):=\{x\in X\mid f(x)=g(x)\}.}$

等化子可以表示成${\displaystyle \mathrm {Eq} (f,g)}$或类似的符号，如改成小楷${\displaystyle \mathrm {eq} }$。有时非正式地写成${\displaystyle \{f=g\))$。

上述定义用到两个函数${\displaystyle f,g}$，但其实不必限制为两个函数，甚至不必为有限多个函数。一般而言，若${\displaystyle {\mathcal {F))}$是一族函数，从${\displaystyle X}$映向${\displaystyle Y}$，则${\displaystyle {\mathcal {F))}$的元素的等化子，是使${\displaystyle f(x)}$对所有${\displaystyle f\in {\mathcal {F))}$皆相等的元素${\displaystyle x\in X}$的集合。以符号表示：

${\displaystyle \operatorname {Eq} ({\mathcal {F))):=\{x\in X\mid \forall f,g\in {\mathcal {F)),\;f(x)=g(x)\}.}$

若${\displaystyle {\mathcal {F))}$可以写成${\displaystyle \{f,g,h,\ldots \))$，则等化子亦记为${\displaystyle \mathrm {Eq} (f,g,h,\ldots )}$。此情况下，亦可非正式地写成${\displaystyle \{f=g=h=\cdots \))$。

作为一般定义的退化，考虑${\displaystyle {\mathcal {F))}$为单元集${\displaystyle \{f\))$。由于${\displaystyle f(x)}$必然等于自己，等化子等于整个定义域${\displaystyle X}$。更退化的情况下，设${\displaystyle {\mathcal {F))}$为空集。则等化子仍为全个定义域${\displaystyle X}$，因为条件的全称量化命题为空真命题（英语：vacuously true）。

二元的等化子（即两个函数的等化子）又称差核（英语：difference kernel）。${\displaystyle f,g}$的差核可以记为${\displaystyle \mathrm {DiffKer} (f,g)}$、${\displaystyle \mathrm {Ker} (f,g)}$、${\displaystyle \mathrm {Ker} (f-g)}$。最后一种写法表明名称的由来，是两个函数之差的核，而且抽象代数中，该写法亦最常用。此外，单一个函数${\displaystyle f}$的核，可以作为差核${\displaystyle \mathrm {Eq} (f,{\boldsymbol {0)))}$找到，其中${\displaystyle {\boldsymbol {0))}$表示取零值的常数函数。

以上假设核的意义如同抽象代数中，解作某函数作用下，${\displaystyle 0}$的原像，但在范畴论定义中，并不一定。

等化子可以用泛性质定义，以将此概念从集合范畴推广到任意的范畴。

一般地，在任意范畴中，设${\displaystyle X,Y}$为物件，而${\displaystyle f,g}$为自${\displaystyle X}$往${\displaystyle Y}$的态射。此两件物件及两个态射组成该范畴的一幅图，而${\displaystyle f,g}$的等化子，则是该图表的极限。

具体而言，等化子是物件${\displaystyle E}$与态射${\displaystyle \mathrm {eq} :E\to X}$的整体，满足${\displaystyle f\circ eq=g\circ eq}$，且对任意物件${\displaystyle O}$与态射${\displaystyle m:O\to X}$，若有${\displaystyle f\circ m=g\circ m}$，则存在唯一的态射${\displaystyle u:O\to E}$，使得${\displaystyle \mathrm {eq} \circ u=m}$。

其中态射${\displaystyle m:O\rightarrow X}$满足的条件，即${\displaystyle f\circ m=g\circ m}$，又称为等化（英语：equalise）${\displaystyle f}$与 ${\displaystyle g}$。^[1]

在泛代数范畴，例如有定义差核的范畴，或集合范畴${\displaystyle \mathbf {Set} }$，物件${\displaystyle E}$总可以按原始定义（即${\displaystyle \{x:f(x)=g(x)\))$）选取，而相应的态射${\displaystyle \mathrm {eq} }$则是${\displaystyle E}$作为${\displaystyle X}$子集的包含映射。

可以直接推广到多于两支态射的情况，只要用在图中，添加更多支态射，然后再取极限便可。同样，只有一支态射的退化情况也很直接，而${\displaystyle \mathrm {eq} }$可以取为任何由${\displaystyle E}$至${\displaystyle X}$的同构。

但是，无态射的退化情况较为特殊，要较仔细画出正确的图。一开始，可能会尝试画出物件${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$，然后不加任何态射。然而，此为不正确，因为该图的极限，是${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$的范畴论积，而非所求的等化子（应为${\displaystyle X}$）。正确观念是，等化子的定义，与定义域${\displaystyle X}$密切相关（例如在集合范畴的情况下，${\displaystyle X}$出现在定义式中），但与${\displaystyle Y}$的关联则仅在于${\displaystyle Y}$是图中态射的陪域。 所以，若无态射，则${\displaystyle Y}$不必出现，故图仅有${\displaystyle X}$。此图的极限，是任何${\displaystyle E}$与${\displaystyle X}$间的同构。

可以证明，任意范畴中的等化子，皆为单态射。反之，若逆命题成立，即单态射皆为某两支态射的等化子，则该范畴（在单态射意义下）称为正则（英语：regular）。更一般地，任意范畴中，正则单态射是某族态射的等化子。也有作者更严格，要求其为某两个态射的二元等化子。然而，若所考虑的范畴完备（英语：complete category），则两种定义一致。

范畴论中，也有差核的概念。术语“差核”在范畴论各处也常用作描述二元等化子。预可加范畴中（于阿贝尔群范畴（英语：Category of abelian groups）上浓缩（英语：enriched category）的范畴，粗略而言，即每个态射集${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,B)}$皆具阿贝尔群结构），“差核”一词能逐字理解，因为两支（相同端点的）态射之差有定义，即${\displaystyle \mathrm {Eq} (f,g)=\mathrm {Ker} (f-g)}$，其中${\displaystyle \mathrm {Ker} }$表示范畴论核（英语：kernel (category theory)）。

若范畴有拉回（纤维积）及积，则有等化子。

• 余等化子（英语：Coequalizer），等化子的对偶（英语：dual (category theory)）概念，将定义中所有态射的方向反转而得。
• 重合理论（英语：Coincidence theory），不动点理论的推广，拓扑学中，研究拓扑空间等化子的理论。
• 拉回，可以用等化子和范畴论积构造的一类极限。

• nLab的Equalizer条目

• 一个互动网站，给出有限集范畴中的等化子例子。由Jocelyn Paine编写。

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