数学中，滥用符号（英语：Abusing notation^{[注 1]}）虽然不严格，并非按数学符号的字面定义来运用，但有时能使数学论证更清晰，或引导读者明白其直观意义（英语：Mathematical intuition），同时减少犯错和增进理解。不过，符号是否严格使用，或句法（英语：syntax (logic)）上是否正确，很视乎时代和学科背景。某些用法，在某些场合算为滥用，在另一种背景下却是严格正确。某理论在严格化前，若已引入新的符号，则该些符号是否属滥用，就可能取决于时代，因为有时该理论发展后，逻辑根基得到巩固，统一符号用法，而使符号变成严格正确。滥用符号不等于误用符号，因为前者是表意与严格性两方面的取舍，而后者则仅是错误，应当避免。误用积分常数为后者一例^[1]。

相似的概念是滥用语文（英语：abusing language）或滥用术语（英语：abusing terminology），此时滥用的是词语，而非符号。例如，“表示”的正式含义，是由某个群 ${\displaystyle G}$ 到某向量空间 ${\displaystyle V}$ 上的一般线性群 ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ 的群同态，但经常会将 ${\displaystyle V}$ 称为 ${\displaystyle G}$ 的表示。另一个常见滥用，是称两个典范同构（英语：Canonical isomorphism）但不相等的物件为等同。^[2]类似还有：视常数函数与其值等同、视群（一个基集与其上二元运算组成的二元组）与其基集等同、视集合笛卡儿积${\displaystyle \mathbb {R} ^{3))$与三维欧氏空间（配备几何结构）等同。^[3]

集合与映射例子

函数写法

许多教科书中，会写“设函数 ${\displaystyle f(x)}$ 为⋯⋯（填入关于 ${\displaystyle x}$ 的式子）”。此为滥用符号，因为函数的名称应为 ${\displaystyle f}$，而 ${\displaystyle f(x)}$ 应表示函数 ${\displaystyle f}$ 在其定义域中某处 ${\displaystyle x}$ 的取值。严格的写法为：“设 ${\displaystyle f}$ 为函数，在 ${\displaystyle x}$ 处取值为⋯⋯”或“设 ${\displaystyle f}$ 为函数 ${\displaystyle x\mapsto \cdots }$”此种滥用非常广泛，^[4]因为可简化写法，而严格的写法可能显得过于执着细节。

类似的滥用尚有“考虑函数 ${\displaystyle x^{2}+x+1}$⋯⋯”，因为 ${\displaystyle x^{2}+x+1}$ 并非函数，真正的函数是将 ${\displaystyle x}$ 对应到 ${\displaystyle x^{2}+x+1}$ 的运算，用匿名函数的写法可将该函数写成 ${\displaystyle x\mapsto x^{2}+x+1}$。同样，此种滥用亦广泛出现，因为避免拘泥小节，同时一般不会造成混淆。

数学结构

许多数学物件是由一个集合（通常称为基集，英语：underlying set）及其上的额外结构组成。此种结构可以是数学运算、关系或拓扑结构。经常滥用同一个符号，同时表示基集及整个数学结构（此现象称为“压参数”，英语：suppression of parameters^[3]）。举例，${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 表示整数集，但同时可以表示整数集与加法组成的群，还可以是整数集连同加法、乘法组成的环。一般而言，此类用法中，若所指的物件为所熟知，则不会引起读者混淆；若刻意避免滥用，反而可能略嫌冗余，使数学论述更难理解。实在混淆时，可以写出整个结构以作区分，即以 ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ 表示整数的加法群，${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,\cdot )}$ 表示整数环。

同理，拓扑空间由基集 ${\displaystyle X}$ 与拓扑结构 ${\displaystyle {\mathcal {T))}$ 两部分构成，后者是 ${\displaystyle X}$ 若干子集构成的族，该些子集称为开集。通常，只考虑 ${\displaystyle X}$ 上某一个拓扑，于是一经指定，就无需再次提及，可用同一个符号 ${\displaystyle X}$ 同时表示基集及 ${\displaystyle X}$ 与拓扑结构 ${\displaystyle {\mathcal {T))}$ 组成的二元组，而不引起混淆，即使严格而言，两者为不同的数学物件。不过，有时要同时考虑同一个基集上的两个拓扑（如拓扑向量空间上的强拓扑（英语：strong topology）和弱拓扑（英语：weak topology），或实数线上的欧氏拓扑和下限拓扑），此时则须当心使用结构的全写，如 ${\displaystyle (X,{\mathcal {T)))}$ 和 ${\displaystyle (X,{\mathcal {T))')}$，以作区分。

等价类

等价关系中，元素 ${\displaystyle x}$ 所在等价类严格地可记为 ${\displaystyle [x]}$，但有时亦滥用符号记为 ${\displaystyle x}$。此处等价类的意思是，若集合 ${\displaystyle X}$ 分划成等价关系 ${\displaystyle \sim }$ 的等价类，则对每个 ${\displaystyle x\in X}$，等价类 ${\displaystyle \{y\in X:y\sim x\))$ 记为 ${\displaystyle [x]}$。但实用上，若取商集后，余下讨论仅关心等价类，而非原集合的元素，则常会弃用方括号。

例如，模算术中，有等价关系 ${\displaystyle \sim }$，其定义中，${\displaystyle x\sim y}$ 当且仅当 ${\displaystyle x\equiv y{\pmod {n))}$。将整数集按 ${\displaystyle \sim }$ 划分，可以得到等价类 ${\displaystyle [0],[1],\ldots ,[n-1]}$，关于加法组成一个 ${\displaystyle n}$ 阶循环群，但实用上，该群的元素常简记为 ${\displaystyle 0,1,\ldots ,n-1}$。

另一个例子是，某测度空间上，可测函数（类）组成的向量空间，或勒贝格可积函数（类）组成的向量空间。此处等价关系为“几乎处处相等”。

相等抑或同构

许多数学构造是以某性质来刻划其定义（经常是泛性质），如直积、张量积、自由积。选定所需性质后，可能有多种方法构造出具该性质的结构，各结构严格而言，固然是不同的物件，但因为性质完全一样（“同构”），不能藉其性质区分各同构物件，即使实际不等亦常迳称“相等”。^[2]

以笛卡儿积为例，常以为可结合：

${\displaystyle (E\times F)\times G=E\times (F\times G)=E\times F\times G,}$

实则不然，因为若 ${\displaystyle x\in E,y\in F,z\in G}$，则有序对之间的等式 ${\displaystyle ((x,y),z)=(x,(y,z))}$ 会推出 ${\displaystyle (x,y)=x}$ 和 ${\displaystyle z=(y,z)}$，而 ${\displaystyle ((x,y),z)=(x,y,z)}$ 甚至不合式，是句法错误。不过，在范畴论中，得以自然变换的概念，将上述“结合律”修正。

类似滥用亦常见于谈论结构“个数”的句子。举例“恰有两个8阶非交换群”严格而言可写作“8阶非交换群的同构类（英语：Isomorphism class）恰有两个”或“不别同构之异，恰有两种8阶非交换群”。

微积分例子

导数

数学分析中，导函数的莱布尼兹记法${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x))}$，算是滥用了分数符号。此种写法的好处是，形式上得以沿用分数的运算法则，方便计算，例如复合函数求导的连锁律，按莱布尼兹记法为：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x))={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u))\cdot {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x)),}$

状似分数乘法。

类似滥用出现于解微分方程的分离变数法，常将方程 ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x))={\frac {g(x)}{h(y)))}$ 左边的导数，如分数般“移项”写成 ${\displaystyle h(y)\mathrm {d} y=g(x)\mathrm {d} x}$，然后两边积分。还有积分记号中，将 ${\displaystyle \int {\frac {1}{x))\mathrm {d} x}$ 的 ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ 看成因子，与 ${\displaystyle {\frac {1}{x))}$ 的分子相乘，写成

${\displaystyle \int {dx \over x}.}$

但在微分形式理论中，有 ${\displaystyle \mathrm {d} y}$ 和 ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ 的严格定义，此时，上述写法不再是滥用。

向量叉积

设实向量 ${\displaystyle {\boldsymbol {a))=(a_{1},a_{2},a_{3})}$，${\displaystyle {\boldsymbol {b))=(b_{1},b_{2},b_{3})}$，则两者的叉积可用形式行列式定义为：

${\displaystyle {\boldsymbol {a))\times {\boldsymbol {b))=\left|{\begin{matrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{matrix))\right|,}$

其中顶行的三项是三个方向的单位向量，沿该行用余子式展开可得结果。此种滥用有助记忆，实际计算亦有用。^[5]其所以为滥用，是因为一般仅定义环上某矩阵的行列式，但向量 ${\displaystyle \mathbf {i} \in \mathbb {R} ^{3))$ 与标量 ${\displaystyle a_{1}\in \mathbb {R} }$ 等不在同一环内（除非考虑几何代数（英语：Geometric algebra））。

倒三角算子

倒三角算子 ${\displaystyle \nabla }$ 是将偏微分算子组装成类似向量的形式：

${\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x)),\,{\frac {\partial }{\partial y)),\,{\frac {\partial }{\partial z))\right),}$

以便用向量运算表示梯度 ${\displaystyle \nabla f}$、散度 ${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {v))}$、旋度 ${\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {v))}$。但是，倒三角算子并未齐备向量的全部性质，例如与其他向量的内积不可换。此观点下，是滥用向量符号。

大O记号

使用大O符号时，常以 ${\displaystyle f(x)=O(g(x))}$ 表示“当 ${\displaystyle x}$ 充分大（英语：sufficiently large）时，${\displaystyle f(x)}$ 至多为 ${\displaystyle g(x)}$ 的常数倍”。这可以看成滥用了等号，因为如德布鲁因（英语：Nicolaas Govert de Bruijn）所言，${\displaystyle O(x)=O(x^{2})}$ 但 ${\displaystyle O(x^{2})\neq O(x)}$。^[6]

主观性

一种用法是否属滥用符号，视乎学科背景和上下文。大部分数学科目中，以 ${\displaystyle f:A\to B}$ 表示偏函数（英语：partial function），皆算为滥用，但范畴论中则不一定，因为 ${\displaystyle f}$ 在集合和偏函数构成的范畴中，确实是态射。

评价

尼古拉·布尔巴基在《数学原本》起首的“本书用法”中，称任何数学书若不滥用语文或符号，则易拘于小节（pédantesque）甚至不堪卒读（illisible）。^[7]陶哲轩认为，论文的严格论证中，所用符号应当明确而不含糊，但即使如此，仍允许一定程度的滥用符号。^[8]

参见

• 数学符号——数学对象和思想的象征表征系统
• 误称（英语：Misnomer）

注

参考资料