在相对论中，四维加速度是牛顿力学中三维加速度的对应推广，其为一个四维向量。四维加速度应用于反质子湮灭反应、奇异粒子共振、加速电荷的辐射现象等研究领域中。^[1]

惯性坐标系中的四维加速度

在狭义相对论的惯性坐标系中，四维加速度${\displaystyle \mathbf {A} }$定义为四维速度${\displaystyle \mathbf {U} }$对一移动物体之固有时${\displaystyle \tau }$的微分，也就是说

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {d\mathbf {U} }{d\tau ))=\left(\gamma _{u}{\dot {\gamma ))_{u}c,\gamma _{u}^{2}\mathbf {a} +\gamma _{u}{\dot {\gamma ))_{u}\mathbf {u} \right)=\left(\gamma _{u}^{4}{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c)),\gamma _{u}^{2}\mathbf {a} +\gamma _{u}^{4}{\frac {\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} \right)}{c^{2))}\mathbf {u} \right)=\left(\gamma _{u}^{4}{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c)),\gamma _{u}^{4}\left(\mathbf {a} +{\frac {\mathbf {u} \times \left(\mathbf {u} \times \mathbf {a} \right)}{c^{2))}\right)\right)}$,

其中

${\displaystyle \mathbf {a} ={d\mathbf {u} \over dt))$ ，应用到三维加速度${\displaystyle \mathbf {a} }$与三维速度${\displaystyle \mathbf {u} }$；

以及

${\displaystyle {\dot {\gamma ))_{u}={\frac {\mathbf {a\cdot u} }{c^{2))}\gamma _{u}^{3}={\frac {\mathbf {a\cdot u} }{c^{2))}{\frac {1}{\left(1-{\frac {u^{2)){c^{2))}\right)^{3/2))))$

应用到速度${\displaystyle u}$（${\displaystyle |\mathbf {u} |=u}$）下的洛伦兹因子${\displaystyle \gamma _{u))$。变数上方的点代表对本参考系坐标时间${\displaystyle t}$的微分，而非对物体固有时${\displaystyle \tau }$的微分。也就是说${\displaystyle {\dot {\gamma ))_{u}={d\gamma _{u} \over dt))$)。

在与该物体瞬时共同移动的惯性坐标系中${\displaystyle \mathbf {u} =0}$, ${\displaystyle \gamma _{u}=1}$以及${\displaystyle {\dot {\gamma ))_{u}=0}$。亦即在这样的参考系中，

${\displaystyle \mathbf {A} =\left(0,\mathbf {a} \right)}$。

几何学上来看，四维加速度是移动物体世界线的曲率向量。^[2][3]

因此四维向量的大小（乃一标量）等同于物体沿世界线移动所“感受”到的固有加速度。

一物体的四维速度与四维加速度的内积（标量积）总是为0。

四维加速度与四维力之间有着简单的关系式：

${\displaystyle F^{\mu }=mA^{\mu },}$

其中m是物体的不变质量。

当四维力为零，则仅只重力现象影响物体的轨迹，与牛顿第二定律相应的四维向量版本简化为测地线方程。依测地线移动的物体，其四维加速度为零；这表示重力其实不是一种力，而是受到扭曲的时空几何。相应地，在牛顿力学，重力被当作一种力，其作用以三维加速度处理。

非惯性坐标系中的四维加速度

非惯性坐标系，包括了狭义相对论中的加速坐标系以及广义相对论中的任意坐标系。在这样的坐标系情况下，四维加速度为四维速度对固有时的绝对导数：

${\displaystyle A^{\lambda }:={\frac {DU^{\lambda )){d\tau ))={\frac {dU^{\lambda )){d\tau ))+\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu ))$

惯性坐标系中，克里斯多福符号${\displaystyle \Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu ))$皆为零，所以此式还原成上一节的式子。

值得注意的是：克里斯多福符号是在采用直角坐标的惯性系中为零。若选用弯曲坐标系以描述加速运动，则克里斯多福符号不全为零。

相关条目

• 四维向量
• 四维速度
• 四维动量
• 四维力

参考文献

• Papapetrou A. Lectures on General Relativity. D. Reidel Publishing Company. 1974. ISBN 90-277-0514-3. 
• Rindler, Wolfgang. Introduction to Special Relativity (2nd). Oxford: Oxford University Press. 1991. ISBN 0-19-853952-5.