一元二次多项式的判别式
Δ
{\displaystyle \Delta }
与其函数图像之间的关系 判别式 是代数学 中的概念,它可以推断出一个实 系数 或复 系数多项式 的根 的属性。
当多项式的系数不是实数或复数域 时,同样有判别式的概念。判别式总是系数域中的元素。这时,判别式为零当且仅当多项式在它的分裂域 中有重根。判别式的通常形式为:
a
n
2
n
−
2
∏
i
<
j
(
r
i
−
r
j
)
2
{\displaystyle a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}{(r_{i}-r_{j})^{2))}
其中的
a
n
{\displaystyle a_{n))
是多项式的最高次项系数,
r
1
,
.
.
.
,
r
n
{\displaystyle r_{1},...,r_{n))
是多项式在某个分裂域中的根(如有重根的按重数重复排列)。
判别式的概念也被推广到了多项式以外的其它代数结构 ,比如说圆锥曲线 、二次型 和代数数域 中。在代数数论 中,判别式与所谓的“分歧”的概念紧密相关。实际上,愈为几何的分歧类型对应着愈为抽象的判别式类型,因此在许多方面判别式都是一个中心概念。判别式在本质上表现为相应行列式 的计算。
最简单的判别式情形出现在二次多项式方程 的求解中。假设有二次多项式方程
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle ax^{2}+bx+c\,}
,其中系数
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
为实数 ,则它的判别式定义为:
Δ
=
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac\,}
判别式也是一个实数。如果设方程的两个根为
r
1
{\displaystyle r_{1))
和
r
2
{\displaystyle r_{2))
,那么根据二次方程的求根公式,两个根可以表示为:
r
1
=
−
b
+
Δ
2
a
,
r
2
=
−
b
−
Δ
2
a
.
{\displaystyle r_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta ))}{2a)),\quad \;\;r_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta ))}{2a)).}
方程的根与判别式的关系为:
Δ
=
a
2
(
r
1
−
r
2
)
2
.
{\displaystyle \Delta =a^{2}(r_{1}-r_{2})^{2}.}
两个根都是实数,当且仅当判别式大于等于零。当且仅当两根相等时,判别式等于零。如果判别式小于零,则两根是共轭 的复数 。
三次多项式
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,}
的判别式是
Δ
=
b
2
c
2
−
4
a
c
3
−
4
b
3
d
−
27
a
2
d
2
+
18
a
b
c
d
{\displaystyle \Delta =b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd\,}
二次项系数为零的首一三次多项式
x
3
+
p
x
+
q
{\displaystyle x^{3}+px+q\,}
的判别式是:
Δ
=
−
4
p
3
−
27
q
2
{\displaystyle \Delta =-4p^{3}-27q^{2}\,}
四次多项式
a
x
4
+
b
x
3
+
c
x
2
+
d
x
+
e
{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\,}
的判别式是:
Δ
=
b
2
c
2
d
2
−
4
b
3
d
3
−
4
a
c
3
d
2
+
18
a
b
c
d
3
−
27
a
2
d
4
+
256
a
3
e
3
−
4
b
2
c
3
e
+
18
b
3
c
d
e
+
16
a
c
4
e
−
80
a
b
c
2
d
e
−
6
a
b
2
d
2
e
+
144
a
2
c
d
2
e
−
27
b
4
e
2
+
144
a
b
2
c
e
2
−
128
a
2
c
2
e
2
−
192
a
2
b
d
e
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta =&b^{2}c^{2}d^{2}-4b^{3}d^{3}-4ac^{3}d^{2}+18abcd^{3}\\&-27a^{2}d^{4}+256a^{3}e^{3}-4b^{2}c^{3}e+18b^{3}cde\\&+16ac^{4}e-80abc^{2}de-6ab^{2}d^{2}e+144a^{2}cd^{2}e\\&-27b^{4}e^{2}+144ab^{2}ce^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}-192a^{2}bde^{2}\,\end{aligned))}
二次多项式
P
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle P(x)=ax^{2}+bx+c\,}
的判别式是
D
=
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle D=b^{2}-4ac\,}
。在一元二次方程 的求解中,判别式用来判断方程根的情况,并出现在根的表达式中。
如果
D
>
0
{\displaystyle D>0\,}
,那么
P
(
x
)
{\displaystyle P(x)\,}
有两个相异实根
x
1
,
2
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac))}{2a))}
,即
P
(
x
)
{\displaystyle P(x)\,}
的图像穿过
x
{\displaystyle x\,}
轴两次。
如果
D
=
0
{\displaystyle D=0\,}
,那么
P
(
x
)
{\displaystyle P(x)\,}
有两个相等实根
x
1
=
x
2
=
−
b
2
a
{\displaystyle x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a))\,}
,
P
(
x
)
{\displaystyle P(x)\,}
的图像与
x
{\displaystyle x\,}
轴相切 。
如果
D
<
0
{\displaystyle D<0\,}
,那么
P
(
x
)
{\displaystyle P(x)\,}
没有实根,即
P
(
x
)
{\displaystyle P(x)\,}
的图像与
x
{\displaystyle x\,}
轴没有交点。 对于一般的一个多项式
p
(
x
)
=
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
a
n
−
2
x
n
−
2
+
…
+
a
1
x
+
a
0
{\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots +a_{1}x+a_{0))
,其判别式等于(差一个系数)以下的
(
2
n
−
1
)
×
(
2
n
−
1
)
{\displaystyle (2n-1)\times (2n-1)\,}
的矩阵 的行列式 (见西尔维斯特矩阵 ):
[
a
n
a
n
−
1
a
n
−
2
…
a
1
a
0
0
…
…
0
0
a
n
a
n
−
1
a
n
−
2
…
a
1
a
0
0
…
0
⋮
⋮
0
…
0
a
n
a
n
−
1
a
n
−
2
…
a
1
a
0
n
a
n
(
n
−
1
)
a
n
−
1
(
n
−
2
)
a
n
−
2
…
a
1
0
…
…
0
0
n
a
n
(
n
−
1
)
a
n
−
1
(
n
−
2
)
a
n
−
2
…
a
1
0
…
0
⋮
⋮
0
0
…
0
n
a
n
(
n
−
1
)
a
n
−
1
(
n
−
2
)
a
n
−
2
…
a
1
]
.
{\displaystyle \left[{\begin{matrix}&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}&0\ldots &\ldots &0\\&0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}&0\ldots &0\\&\vdots \ &&&&&&&&\vdots \\&0&\ldots \ &0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}\\&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &a_{1}&0&\ldots &\ldots &0\\&0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &a_{1}&0&\ldots &0\\&\vdots \ &&&&&&&&\vdots \\&0&0&\ldots &0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &a_{1}\\\end{matrix))\right].}
这个矩阵的行列式称为
p
(
x
)
{\displaystyle p(x)\,}
和
p
′
(
x
)
{\displaystyle p'(x)\,}
的结式 ,记为
R
(
p
,
p
′
)
{\displaystyle R(p,p')\,}
。
p
(
x
)
{\displaystyle p(x)\,}
的判别式
D
(
p
)
{\displaystyle D(p)\,}
由以下公式给出:
D
(
p
)
=
(
−
1
)
1
2
n
(
n
−
1
)
1
a
n
R
(
p
,
p
′
)
{\displaystyle D(p)=(-1)^((\frac {1}{2))n(n-1)}{\frac {1}{a_{n))}R(p,p')\,}
.例如,在
n
=
4
{\displaystyle n=4\,}
的情况下,以上的行列式是:
|
a
4
a
3
a
2
a
1
a
0
0
0
0
a
4
a
3
a
2
a
1
a
0
0
0
0
a
4
a
3
a
2
a
1
a
0
4
a
4
3
a
3
2
a
2
1
a
1
0
0
0
0
4
a
4
3
a
3
2
a
2
1
a
1
0
0
0
0
4
a
4
3
a
3
2
a
2
1
a
1
0
0
0
0
4
a
4
3
a
3
2
a
2
1
a
1
|
{\displaystyle {\begin{vmatrix}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0&0\\&0&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0\\&0&0&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0&0&0\\&0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0&0\\&0&0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0\\&0&0&0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}\\\end{vmatrix))}
这个四次多项式的判别式就是这个行列式除以
a
4
{\displaystyle a_{4}\,}
。
作为等价条件,多项式的判别式等于:
a
n
2
n
−
2
∏
i
<
j
(
r
i
−
r
j
)
2
{\displaystyle a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}{(r_{i}-r_{j})^{2))}
其中
r
1
,
⋯
,
r
n
{\displaystyle r_{1},\cdots ,r_{n}\,}
是多项式
p
(
x
)
{\displaystyle p(x)\,}
的复 根(重根按重数计算):
p
(
x
)
=
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
…
+
a
1
x
+
a
0
=
a
n
(
x
−
r
1
)
(
x
−
r
2
)
…
(
x
−
r
n
)
{\displaystyle {\begin{matrix}p(x)&=&a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}\\&=&a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})\ldots (x-r_{n})\end{matrix))}
在这个表达式中可以清楚地看到
p
{\displaystyle p\,}
有重根当且仅当 判别式为零。
多项式的判别式可以在任意的域 中定义,定义方式一样。带有根
r
i
{\displaystyle r_{i}\,}
的表达式仍然有效,只是根要在系数域的某个分裂域 中取。
对于以下多项式所定义的圆锥曲线 :
a
x
2
+
b
x
y
+
c
y
2
+
d
x
+
e
y
+
f
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0}
它的判别式为:
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle b^{2}-4ac}
它决定了圆锥曲线的形状 。如果判别式小于0,则是椭圆 或圆 。如果判别式等于0,则是一条抛物线 。如果大于0,则是双曲线 。这个公式不适用于退化的情形(当这个多项式可以因式分解时)。
判别式的概念可以推广到任意特征 不为2的域K 上的二次型 Q 上。一个化简后的二次型可以表示为一系列的平方和:
Q
=
∑
i
=
1
k
a
i
L
i
2
{\displaystyle Q=\sum _{i=1}^{k}a_{i}L_{i}^{2))
其中L i 是n 个变量的线性组合。这时可以定义Q 的判别式为所有a i 的乘积。另外一个定义是Q 所对应的矩阵的行列式 。