子集（英语：subset）亦称部分集合，为某集合中部分元素的集合；关系相反时则称作父集、母集、超集。子集与父集的关系被称为“包含”。

如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（任意 a∈A，则 a∈B），那么集合A称为集合B的子集，记为 ${\displaystyle A\subseteq B}$ 或 ${\displaystyle B\supseteq A}$，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”。

即：${\displaystyle \forall a\in A}$，有 ${\displaystyle a\in B}$，则 ${\displaystyle A\subset B}$。

若${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$为集合，且 ${\displaystyle A}$ 的所有元素都是 ${\displaystyle B}$ 的元素，则可表示为：

• ${\displaystyle A}$是${\displaystyle B}$的子集（或称 ${\displaystyle A}$ 包含于 ${\displaystyle B}$）；${\displaystyle A\subseteq B}$
• ${\displaystyle B}$是${\displaystyle A}$的父集／超集（或称 ${\displaystyle B}$ 包含 ${\displaystyle A}$）；${\displaystyle B\supseteq A}$

任何集合${\displaystyle B}$皆是本身的子集（${\displaystyle B\subseteq B}$）。而${\displaystyle B}$的子集中不等于 ${\displaystyle B}$ 的集合，称为真子集，若 ${\displaystyle A}$ 是 ${\displaystyle B}$ 的真子集，写作 ${\displaystyle A\subsetneqq B}$。

定义

假设有 ${\displaystyle A}$ 和 ${\displaystyle B}$ 两个集合，如果 ${\displaystyle A}$ 中的每个元素都是${\displaystyle B}$的元素，则：

• ${\displaystyle A}$ 是 ${\displaystyle B}$ 的子集，记作 ${\displaystyle A\subseteq B}$

也可以说

• ${\displaystyle B}$ 是 ${\displaystyle A}$ 的超集，记作 ${\displaystyle B\supseteq A}$

如果 ${\displaystyle A}$ 是 ${\displaystyle B}$ 的子集，但 ${\displaystyle A}$ 不等于 ${\displaystyle B}$（即 ${\displaystyle B}$ 中至少存在一个元素不在 ${\displaystyle A}$ 集合中），则：

• ${\displaystyle A}$ 是 ${\displaystyle B}$ 的真子集，记作 ${\displaystyle A\subsetneqq B}$

也可以说

• ${\displaystyle B}$ 是 ${\displaystyle A}$ 的真超集，记作 ${\displaystyle B\supsetneqq A}$

符号

ISO 80000-2 标准中定义了两种符号搭配：^[1]

• ${\displaystyle \subseteq }$表示子集关系，${\displaystyle \subset }$表示真子集关系。使用的作品如^[2][3][4]
• ${\displaystyle \subset }$表示子集关系，${\displaystyle \subsetneqq }$表示真子集关系。使用的作品如^[5]:p.6

举例

• 集合 ${\displaystyle \left\{1,2\right\))$ 是集合 ${\displaystyle \left\{1,2,3\right\))$ 的真子集。
• 自然数集合是有理数集合的真子集。
• 集合 ${\displaystyle \{x:x}$是大于2000的素数${\displaystyle \))$ 是集合 ${\displaystyle \{x:x}$是大于1000的奇数${\displaystyle \))$ 的真子集。
• 任意集合是其自身的子集，但不是真子集。
• 空集，写作 ${\displaystyle \varnothing }$，是任意集合 ${\displaystyle X}$ 的子集。空集总是其他集合的真子集，除了其自身。

性质

命题1：空集是任意集合的子集。

这个命题说明：包含是一种偏序关系。

命题2：若 ${\displaystyle A,B,C}$ 是集合，则：

自反性：

• ${\displaystyle A\subseteq A}$

反对称性：

• ${\displaystyle A\subseteq B}$且${\displaystyle B\subseteq A}$当且仅当${\displaystyle A=B}$

传递性：

• 若${\displaystyle A\subseteq B}$且${\displaystyle B\subseteq C}$则${\displaystyle A\subseteq C}$

这个命题说明：对任意集合 ${\displaystyle S}$，${\displaystyle S}$ 的幂集按包含排序是一个有界格，与上述命题相结合，则它是一个布尔代数。

命题3：若 ${\displaystyle A,B,C}$ 是集合 ${\displaystyle S}$ 的子集，则：

存在一个最小元和一个最大元：

• ${\displaystyle \varnothing \subseteq A\subseteq S}$（ ${\displaystyle \varnothing \subseteq A}$由命题1给出）

存在并运算：

• ${\displaystyle A\subseteq A\cup B}$
• 若${\displaystyle A\subseteq C}$且${\displaystyle B\subseteq C}$则${\displaystyle A\cup B\subseteq C}$

存在交运算：

• ${\displaystyle A\cap B\subseteq A}$
• 若 ${\displaystyle C\subseteq A}$ 且 ${\displaystyle C\subseteq B}$ 则 ${\displaystyle C\subseteq A\cap B}$

命题4:对任意两个集合 ${\displaystyle A}$ 和 ${\displaystyle B}$，下列表述等价：

• ${\displaystyle A\subseteq B}$
• ${\displaystyle A\cap B=A}$
• ${\displaystyle A\cup B=B}$
• ${\displaystyle A-B=\varnothing }$
• ${\displaystyle B\subseteq A'}$

这个命题说明：表述"${\displaystyle A\subseteq B}$"，和其他使用并集，交集和补集的表述是等价的，即包含关系在公理体系中是多余的。

参考文献

参见

• 幂集：某集合的全部子集组成的集合。

查 论 编 集合论 公理 选择 可数 依赖 外延 无穷 配对 幂集 正则性 并集 马丁公理 公理模式 替代 分类 运算 笛卡儿积 德摩根定律 交集 幂集 补集 对称差 并集 概念 方法 势 基数（大基数） 类 可构造全集（英语：Constructible universe） 连续统假设 对角论证法 元素 有序对 多元组 集合族 力迫 一一对应 序数 超限归纳法 文氏图 集合类型 可数集 空集 有限集合（继承有限集合） 模糊集 无限集合 递归集合 子集 传递集合 不可数集 泛集（英语：Universal set） 理论 可替代的集合论 集合论 朴素集合论 康托尔定理 策梅洛 广义（英语：General set theory） 《数学原理》 新基础 策梅洛-弗兰克 冯诺伊曼-博内斯-哥德尔 Morse–Kelley（英语：Morse–Kelley set theory） 克里普克–普拉特克（英语：Kripke–Platek set theory） 塔斯基–格罗滕迪克（英语：Tarski–Grothendieck set theory） 悖论（英语：Paradoxes of set theory） 问题 罗素悖论 苏斯林问题 ZFC系统无法确定的命题列表 集合论者 亚伯拉罕·弗兰克尔 伯特兰·罗素 恩斯特·策梅洛 格奥尔格·康托尔 约翰·冯·诺伊曼 库尔特·哥德尔 卢菲特·泽德 保罗·贝尔奈斯（英语：Paul Bernays） 保罗·寇恩 理查德·戴德金 托马什·耶赫 威拉德·蒯因