在数学的领域中，若两个数学对象在各个方面都相同，则称他们是相等的。这就定义了一个二元谓词等于，写作“${\displaystyle =}$”；${\displaystyle x=y}$当且仅当${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$相等。通常意义上，等于是通过两个元素间的等价关系来构造的。将两个表达式用等于符号连起来，就构成了等式，例如${\displaystyle 6-2=4}$，即${\displaystyle 6-2}$与${\displaystyle 4}$是相等的。

注意，有些时候“${\displaystyle A=B}$”并不表示等式。例如，${\displaystyle T(n)=O(n^{2})}$表示在数量级${\displaystyle n^{2))$上渐进。因为这里的符号“${\displaystyle =}$”不满足当且仅当的定义，所以它不等于等于符号；实际上，${\displaystyle O(n^{2})=T(n)}$是没有意义的。请参见大O符号了解这部分内容。

集合${\displaystyle A}$上的等于关系是种二元关系，满足自反性，对称性，反对称性和传递性。 实际上，这是${\displaystyle A}$ 上唯一满足所有这些性质的关系。 去掉对反对称性的要求，就是等价关系。 相应的，给定任意等价关系${\displaystyle R}$，可以构造商集${\displaystyle A/R}$，并且这个等价关系将‘下降为’${\displaystyle A/R}$上的等于。

在任何条件下都成立的等式称为恒等式，包含未知数的等式称为方程式。

逻辑形式

谓词逻辑含有标准的关于相等的公理来形式化莱布尼茨律。莱布尼茨律是由哲学家莱布尼茨在17世纪提出来的。 莱布尼茨的想法是，两样物体是同一的，当且仅当它们有完全相同的性质。 形式化这一说法，可以写成

对任意${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$，${\displaystyle x=y}$当且仅当对任意谓词${\displaystyle P}$ ，${\displaystyle P(x)}$当且仅当${\displaystyle P(y)}$。

然而，在一阶逻辑中，不能对谓词进行量化。因此，需要使用下述公理：

对任意${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$，若${\displaystyle x}$等于${\displaystyle y}$，则${\displaystyle P(x)}$当且仅当${\displaystyle P(y)}$。

这条公理对任意单变量的谓词${\displaystyle P}$都有效，但只定义了莱布尼茨律的一个方向：若${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$相等，则它们具有相同的性质。 可以通过简单的假设来定义莱布尼茨律的另一个方向：

对任意${\displaystyle x}$，${\displaystyle x}$等于${\displaystyle x}$。

则若${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$具有相同的性质，则特定的它们关于谓词${\displaystyle P}$是相同的。这里谓词${\displaystyle P}$为：${\displaystyle P(z)}$当且仅当${\displaystyle x=z}$。 由于${\displaystyle P(x)}$成立，${\displaystyle P(y)}$必定也成立（相同的性质），所以${\displaystyle x=y}$（' '${\displaystyle P}$的变量为${\displaystyle y}$）.

等于的一些基本性质

替代性

对任意量${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$和任意表达式${\displaystyle F(x)}$，若${\displaystyle a=b}$，则${\displaystyle F(a)=F(b)}$（设等式两边都有意义）。 在一阶逻辑中，不能量化像${\displaystyle F}$这样的表达式（它可能是个函数谓词）。 一些例子：

• 对任意实数${\displaystyle a,b,c}$，若${\displaystyle a=b}$，则${\displaystyle a+c=b+c}$（这里${\displaystyle F(x)}$为${\displaystyle x+c}$）
• 对任意实数${\displaystyle a,b,c}$，若${\displaystyle a=b}$，则${\displaystyle a-c=b-c}$（这里${\displaystyle F(x)}$为${\displaystyle x-c}$）
• 对任意实数${\displaystyle a,b,c}$，若${\displaystyle a=b}$，则${\displaystyle ac=bc}$（这里${\displaystyle F(x)}$为${\displaystyle xc}$）
• 对任意实数${\displaystyle a,b,c}$，若${\displaystyle a=b}$且${\displaystyle c\neq 0}$，则${\displaystyle a/c=b/c}$（这里${\displaystyle F(x)}$为${\displaystyle x/c}$）

自反性

对任意量${\displaystyle a}$，${\displaystyle a=a}$。

这个性质通常在数学证明中作为中间步骤。

对称性

例子：如果${\displaystyle a=b}$，那么${\displaystyle b=a}$

传递性

例子：如果${\displaystyle a=b}$，${\displaystyle b=c}$，那么${\displaystyle a=c}$

实数或其他对象上的二元关系“约等于”，即使进行精确定义，也不具有传递性（即使看上去有，但许多小的差能够叠加成非常大）。然而，在绝大多数情况下，等于具有传递性。

尽管对称性和传递性通常看上去是基本性质，但它们能够通过替代性和自反性证明得到。

符号的历史

“等于”符号或 “${\displaystyle =}$”被用来表示一些算术运算的结果，是由罗伯特·雷科德在1557年发明的。

由于觉得书写文字过于麻烦，雷科德在他的作品 The Whetstone of Witte 中采用了这一符号。原因是符号中的两条线一样长，表明其连接的两个量也相等。这一发明在威尔士的St Mary教堂有记录。

约等于的符号是${\displaystyle \approx }$或≒，不等于的符号是${\displaystyle \neq }$。

参见

• 等号

外部链接

• 关系符号的早期使用（英文）