数学分支序理论中，最大元是某集合中，大于或等于其全体元素的特殊元素。最小元与之对偶（英语：duality (order theory)），小于等于该集合的任何元素。例如，实数集${\displaystyle \{-3,1,2.5,\pi \))$中，最大元是${\displaystyle \pi }$，而最小元是${\displaystyle -3}$，但是区间${\displaystyle (0,1)=\{x:0<x<1\))$并无最大元或最小元。

此处“大小”关系除一般实数的大小关系外，也可以是定义在任意集合上的偏序或预序。

严格定义

设${\displaystyle (P,\leq )}$为偏序集（或预序集亦可），${\displaystyle S}$为其子集。若${\displaystyle S}$的元素${\displaystyle g}$满足：

对${\displaystyle S}$的任意元素${\displaystyle s}$，皆有${\displaystyle s\leq g}$，

则${\displaystyle g}$称为${\displaystyle S}$的最大元（英语：greatest element）。对偶地，若${\displaystyle S}$的元素${\displaystyle l}$满足：

对${\displaystyle S}$的任意元素${\displaystyle s}$，皆有${\displaystyle l\leq s}$，

则${\displaystyle l}$称为${\displaystyle S}$的最小元（least element）。

由定义，${\displaystyle S}$的最大（小）元必定是${\displaystyle S}$的上（下）界。且若${\displaystyle P}$为偏序集，则集合${\displaystyle S}$至多得一个最大元：若${\displaystyle g_{1))$和${\displaystyle g_{2))$皆为最大，则由定义有${\displaystyle g_{1}\leq g_{2))$，又有${\displaystyle g_{2}\leq g_{1))$，由反对称性得${\displaystyle g_{1}=g_{2))$。所以若有最大元，则必定唯一。^[1]若改为预序集则不一定。

整个偏序集${\displaystyle P}$的最大最小元又称为顶（top）和底（bottom）。顶常以符号记作${\displaystyle 1}$或${\displaystyle \top }$，底则是${\displaystyle 0}$或${\displaystyle \bot }$，在有补格和布尔代数等结构中尤为常见。有顶和底的偏序集称为有界偏序集合。

与极大极小元、上下界之别

集合不一定有最大元，也不一定有上界。即使集合有上界和上确界，也不一定有最大元。举例，实数系${\displaystyle \mathbb {R} }$中，任何正数皆是负数子集${\displaystyle \mathbb {R} ^{-))$的上界，且${\displaystyle 0}$为其上确界，但是没有最大元：不存在“最大的负数”。最小元与下界、下确界的关系也类似。最大元又与极大元（maximal element）不同：有极大元的集合不一定有最大元，但偏序集若有最大元，则同时亦是唯一的极大元。最小元与极小元（minimal element）亦不同。^[1]

性质

设${\displaystyle (P,\leq )}$为偏序集，${\displaystyle S}$为其子集。

• 有限全序集的非空子集必有最大最小元。
• ${\displaystyle S}$若有最大元${\displaystyle g}$，则${\displaystyle g}$必定是极大元。此时，${\displaystyle S}$只有这一个极大元：对任意极大元${\displaystyle M}$，由于${\displaystyle g}$是最大元，必有${\displaystyle M\leq g}$，从而由${\displaystyle M}$极大知${\displaystyle M=g}$。所以若${\displaystyle S}$有多于一个极大元，则不能有最大元。
• 若${\displaystyle P}$满足升链条件，则其子集${\displaystyle S}$有最大元当且仅当其恰有一个极大元。
  • “仅当”：最大元必然是极大元。
  • “当”：假设${\displaystyle S}$有唯一极大元${\displaystyle m}$但没有最大元。因为${\displaystyle m}$不是最大，有${\displaystyle s_{1}\in S}$与${\displaystyle m}$不可比，又${\displaystyle s_{1))$不是极大，所以有某个${\displaystyle s_{2}\in S}$满足${\displaystyle s_{1}<s_{2))$。${\displaystyle s_{2))$与${\displaystyle m}$也不可比：若${\displaystyle m<s_{2))$，则与${\displaystyle m}$极大矛盾；反之${\displaystyle s_{2}\leq m}$又推出${\displaystyle s_{1}<m}$，与${\displaystyle s_{1))$、${\displaystyle m}$不可比又矛盾。重复以上步骤，可得无穷递升链${\displaystyle s_{1}<s_{2}<\cdots <s_{n}<\cdots }$（其中每个${\displaystyle s_{i))$皆与${\displaystyle m}$不可比，又非极大），与升链条件矛盾。

全序集的最大最小元

假如${\displaystyle \,\leq \,}$限制到子集${\displaystyle S}$上为全序（如首段附图的${\displaystyle S=\{1,2,4\))$），则在${\displaystyle S}$中，最大元与极大元等价：若${\displaystyle m\in S}$为极大，则对任意其他${\displaystyle s\in S}$，必有${\displaystyle s\leq m}$（${\displaystyle m<s}$将与${\displaystyle m}$极大矛盾），故${\displaystyle m}$是最大元。

所以，全序集中，最大元与极大元两个概念重合，有时也称为最大值（maximum），同理最小元与极小元也称为最小值（minimum）。但上述用法与实值函数（日语：実数値関数）论的用法略有出入。^[2]研究实值函数时，所谓最大值是函数的值域的最大元，又称全域最大值、绝对最大值、最大值。^[3]而限制到某点邻域时，对应值域的最大元（等同于极大元）则称为局域最大值、相对最大值、极大值。^[4]最大最小值又合称最值，极值亦同。

集合${\displaystyle S}$的最大最小值分别记作${\displaystyle \max S,\min S}$。在格理论或概率论中，为方便运算，会将两数${\displaystyle a,b}$之最大最小值（即其组成二元集的最大最小元）简记作并${\displaystyle a\vee b}$和交${\displaystyle a\wedge b}$。换言之：

${\displaystyle a\vee b=\max\{a,b\},\quad a\wedge b=\min\{a,b\}.}$^[5]

例

• 实数集${\displaystyle \mathbb {R} }$中，全体整数组成的子集${\displaystyle \mathbb {Z} }$没有上界，从而没有最大元。
• 如图所示，在集合${\displaystyle \{a,b,c,d\))$上，定义自反关系${\displaystyle \,\leq \,}$使${\displaystyle a\leq c,}$ ${\displaystyle a\leq d,}$ ${\displaystyle b\leq c,}$ ${\displaystyle b\leq d.}$。则${\displaystyle c,d}$皆是集合${\displaystyle \{a,b\))$的上界，但因为不可比较，没有最小上界。又${\displaystyle a,b}$不可比，${\displaystyle \{a,b\))$没有最大元。
• 有理数集${\displaystyle \mathbb {Q} }$中，平方小于2的数所组成的子集${\displaystyle \{q\in \mathbb {Q} :q^{2}<2\))$有上界（如${\displaystyle 100}$），但没有最大元，也没有上确界。
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$中，区间${\displaystyle [0,1)}$有上确界${\displaystyle 1}$而没有最大元。但区间${\displaystyle [0,1]}$有最大元${\displaystyle 1}$，同时也是上确界。
• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2))$配备积偏序（英语：product order）时^{[注 1]}，满足${\displaystyle 0<x<1}$（而${\displaystyle y}$任意）的二元组${\displaystyle (x,y)}$的集合${\displaystyle A}$没有上界，也没有最大元。
• 但当${\displaystyle \mathbb {R} ^{2))$配备字典序时^{[注 2]}，${\displaystyle A}$有上界${\displaystyle (1,0)}$，但仍没有上确界和最大元。

参见

• 本质上确界和本质下确界
• 始对象和终对象
• 极大与极小元
• 上极限和下极限
• 上界和下界
• 上确界和下确界（英语：Infimum and supremum）

注

参考文献

• 西冈, 康夫. 数学チュートリアル やさしく語る 確率統計. オーム社. 2013. ISBN 9784274214073 （日语）. 
• 松坂, 和夫. 集合・位相入門. 岩波书店. 1968. ISBN 4-00-005424-4 （日语）. 
• Davey, B. A.; Priestley, H. A. Introduction to Lattices and Order 2nd. Cambridge University Press. 2002. ISBN 978-0-521-78451-1 （英语）.