60的因数 集
P
{\displaystyle P}
,以整除关系为偏序,所成的哈斯图 。红色子集
S
=
{
1
,
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle S=\{1,2,3,4\))
有两个极大元
3
{\displaystyle 3}
、
4
{\displaystyle 4}
和一个极小元
1
{\displaystyle 1}
。
1
{\displaystyle 1}
同时也是最小元 。 数学 分支序理论 中,预序集 子集
S
{\displaystyle S}
的极大元 (英语:maximal elements )不小于
S
{\displaystyle S}
的任何元素。极小元 (minimal elements )可对偶地 定义,其不大于
S
{\displaystyle S}
的任何元素。
极大和极小的条件比最大和最小 弱。预序集的子集
S
{\displaystyle S}
的最大元需要“大于或等于”
S
{\displaystyle S}
的全体元素(最小元同样为其对偶),极大元则只需“不小于”(例如不可比较 )。若将预序集限缩至偏序集 ,则至多只有一个最大元和一个最小元,但极大、极小元皆可有多于一个。[1] [2] 但在全序集 上,最大等价于极大,最小亦等价于极小。
以集族
S
:=
{
{
1
,
2
}
,
{
1
,
2
,
3
}
,
{
1
,
2
,
3
,
4
}
,
{
2
,
3
,
5
}
}
{\displaystyle S:=\left\{\{1,2\},\{1,2,3\},\{1,2,3,4\},\{2,3,5\}\right\))
为例,其上的偏序为包含关系 。当中
{
1
,
2
}
{\displaystyle \{1,2\))
极小,因为不包含族中任何其他集合,反之
{
1
,
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle \{1,2,3,4\))
极大,因为不被其他集合包含。
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle \{1,2,3\))
则既非极小亦非极大,但
{
2
,
3
,
5
}
{\displaystyle \{2,3,5\))
同时为极小、极大。相比之下,
S
{\displaystyle S}
无最大元 和最小元 。
设
(
P
,
≤
)
{\displaystyle (P,\leq )}
为预序集 ,又设
S
⊆
P
{\displaystyle S\subseteq P}
,则
S
{\displaystyle S}
中关于
≤
{\displaystyle \,\leq \,}
的极大元定义为满足以下性质的元素
m
∈
S
{\displaystyle m\in S}
:
若有
s
∈
S
{\displaystyle s\in S}
使
m
≤
s
,
{\displaystyle m\leq s,}
则必有
s
≤
m
.
{\displaystyle s\leq m.}
与之类似,
S
{\displaystyle S}
中关于
≤
{\displaystyle \,\leq \,}
的极小元 是满足以下性质的元素
m
∈
S
{\displaystyle m\in S}
:
若有
s
∈
S
{\displaystyle s\in S}
使
s
≤
m
,
{\displaystyle s\leq m,}
则必有
m
≤
s
.
{\displaystyle m\leq s.}
等价地,亦可将
S
{\displaystyle S}
关于
≤
{\displaystyle \,\leq \,}
的极小元定义为
S
{\displaystyle S}
关于
≥
{\displaystyle \,\geq \,}
的极大元,其中对任意
p
,
q
∈
P
{\displaystyle p,q\in P}
,
q
≥
p
{\displaystyle q\geq p}
当且仅当
p
≤
q
{\displaystyle p\leq q}
。
若无明示子集
S
{\displaystyle S}
,则所谓极大元预设是
P
{\displaystyle P}
的极大元。
若预序集
(
P
,
≤
)
{\displaystyle (P,\leq )}
实为偏序集 [注 1] ,或者限缩到
(
S
,
≤
)
{\displaystyle (S,\leq )}
是偏序集,则
m
∈
S
{\displaystyle m\in S}
为极大当且仅当
S
{\displaystyle S}
无严格较
m
{\displaystyle m}
大的元素。换言之,不存在
s
∈
S
{\displaystyle s\in S}
使
m
≤
s
{\displaystyle m\leq s}
及
m
≠
s
.
{\displaystyle m\neq s.}
将本段的
≤
{\displaystyle \,\leq \,}
号一律换成
≥
{\displaystyle \,\geq \,}
就得到极小元的描述。
极大/极小元不必存在。
例一:考虑实数 系
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
的区间
S
=
[
1
,
∞
)
⊆
R
{\displaystyle S=[1,\infty )\subseteq \mathbb {R} }
。对任意元素
m
∈
S
{\displaystyle m\in S}
,
s
=
m
+
1
{\displaystyle s=m+1}
仍在
S
{\displaystyle S}
中,但
m
<
s
{\displaystyle m<s}
,因此没有元素
m
{\displaystyle m}
为极大。
例二:考虑有理数 系
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
的子集
S
=
{
s
∈
Q
:
1
≤
s
2
≤
2
}
{\displaystyle S=\{s\in \mathbb {Q} ~:~1\leq s^{2}\leq 2\))
,因为根号2是无理数 ,对任何有理数
m
≤
2
{\displaystyle m\leq {\sqrt {2))}
皆可找到另一有理数
s
{\displaystyle s}
使
m
<
s
<
2
{\displaystyle m<s<{\sqrt {2))}
。 但在某些情况下,极大/极小元保证存在。
若
S
{\displaystyle S}
为有限非空子集,则必有极大元和极小元。(对无穷子集无此结论,如整数 系
Z
⊆
R
{\displaystyle \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {R} }
就没有极大元。)
佐恩引理 断言:“若偏序集
P
{\displaystyle P}
中,每个全序子集
S
{\displaystyle S}
皆有上界 ,则
P
{\displaystyle P}
至少有一个极大元。”此引理等价于良序定理 和选择公理 ,[3] 在数学的多个分支有重要推论,例如可证任何向量空间皆有基 (极大的代数无关子集),或是任何域 皆有代数闭包 (代数扩张 偏序下的极大元)。极大/极小元不必唯一。
帕累托效率 中,“帕累托最优”的状态即是帕累托改善 偏序下的极大元,此类极大元的集合又称为“帕累托前缘”(Pareto frontier )。
决策论 中,可容决策规则 是优势 偏序下的极大元。
现代投资组合理论 中,风险(以低为优)与回报(以高为优)的积序 [注 2] 下,极大元称为效率投资组合(efficient portfolio ),组成的集合则为效率前缘 。
集合论 中,某集合为有限 当且仅当其任意非空子集 族 (以包含 关系为偏序)皆有极小元。[注 3]
抽象代数 中,需要将最大公因数 的概念推广为极大公因子 ,因为某些数系中,若干个元素的公因子集合可能有多于一个极大元(整除意义下)。
计算几何 中,点集的极大元 是逐分量比较[注 2] 下的极大元。
^ Richmond, Bettina; Richmond, Thomas, A Discrete Transition to Advanced Mathematics , American Mathematical Society: 181, 2009, ISBN 978-0-8218-4789-3 .
^ Scott, William Raymond, Group Theory 2nd, Dover: 22, 1987, ISBN 978-0-486-65377-8
^ Jech, Thomas . The Axiom of Choice. Dover Publications . 2008 [originally published in 1973]. ISBN 978-0-486-46624-8 .